1．（2023春·北京通州·高二通州區(qū)運河中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．5B．C．2D．
2．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)滿足（為的導(dǎo)函數(shù)），則（ ）
A．B．C．1D．
3．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)圖像特征，則函數(shù)的圖像大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·福建三明·高二三明一中?？茧A段練習(xí)）曲線在處的切線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·北京·高二北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·重慶江北·高二字水中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)滿足在上恒成立，且，則（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023春·四川瀘州·高二瀘州老窖天府中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個極值點求的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·吉林長春·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且僅有四個相異實根，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9．（2023春·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的有（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．在處有最小值
B．1是的一個極值點
C．當(dāng)時，方程有兩異根
D．當(dāng)時，方程有一根
11．（2023·全國·模擬預(yù)測）對函數(shù)，公共定義域內(nèi)的任意x，若存在常數(shù)，使得恒成立，則稱和是伴侶函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
B．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
C．與是伴侶函數(shù)
D．若，則存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
12．（2023春·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）若為正實數(shù)，且，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）
13．（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則___．
14．（2023春·山東青島·高二青島二中校考開學(xué)考試）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)________.
15．（2023春·廣東揭陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）拓?fù)淇臻g中滿足一定條件的圖象連續(xù)的函數(shù)，如果存在點，使得，那么我們稱函數(shù)為“不動點”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的不動點．類比給出新定義：若不動點滿足，則稱為的雙重不動點．則下列函數(shù)中，①；②；③具有雙重不動點的函數(shù)為_______________．（將你認(rèn)為正確的函數(shù)的代號填在橫線上）
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為_________；若關(guān)于x的方程恰有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)t的取值范圍為____________.
四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
17．（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值．
(1)求，的值；
(2)求曲線在點處的切線方程．
18．（2023春·河南·高二襄城高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
19．（2023春·天津武清·高二天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)的減區(qū)間是，求a的值；
(3)若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.
20．（2023春·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且．
(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．
21．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求證：當(dāng)時，關(guān)于x的不等式在區(qū)間上無解.
22．（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)，其中．函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點，且；
(3)若，討論函數(shù)的零點個數(shù)（直接寫出結(jié)論）．
第15講 第三章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（基礎(chǔ)卷）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．（2023春·北京通州·高二通州區(qū)運河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．5B．C．2D．
【答案】A
【詳解】
故選：A
2．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)滿足（為的導(dǎo)函數(shù)），則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【詳解】，
當(dāng)時，，解得，
故，所以.
故選：D
3．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)圖像特征，則函數(shù)的圖像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】令，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，故排除；
當(dāng)時，，，由，得，令，得，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，故排除、；
故選：D
4．（2023春·福建三明·高二三明一中?？茧A段練習(xí)）曲線在處的切線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】，所以，因此切線的斜率為，
又，由點斜式可得切線方程為，
故選：B
5．（2023春·北京·高二北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，
而 在區(qū)間上單調(diào)遞減，，∴k的取值范圍是 ，
故選：B．
6．（2023春·重慶江北·高二字水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)滿足在上恒成立，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】由，
設(shè)，則，
所以在上是增函數(shù)，
又，所以，即，
故選：B.
7．（2023春·四川瀘州·高二瀘州老窖天府中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個極值點求的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意，令，即有兩個左右異號的實根，
所以在上有兩個交點，
令，記在上單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)趨向于時趨向；當(dāng)趨向于時趨向，
綜上，當(dāng)，即時在上有兩個交點.
故選：A
8．（2023·吉林長春·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且僅有四個相異實根，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】
，，
關(guān)于的方程有且僅有四個相異實根，
根據(jù)對稱性知，時，有且僅有兩個相異實根，
即在上有兩個不相等的實數(shù)根，
化簡得：.
令，，
由，得，由，得，
在為減函數(shù)，為增函數(shù)，
又時，，
時，，的簡圖如圖所示：
直線恒過點， ，，
時，此時直線相切，直線與曲線只有一個公共點， 此時方程在上有一個實數(shù)根，不符合題意；
由圖可知當(dāng)或時，直線與均有兩個公共點，
即方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，
∴關(guān)于的方程有且僅有四個相異實根時， 的取值范圍為.
故選：D.
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9．（2023春·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【詳解】因為的定義域為R，
，
令得：或，
所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增．
故選：AC．
10．（2023春·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．在處有最小值
B．1是的一個極值點
C．當(dāng)時，方程有兩異根
D．當(dāng)時，方程有一根
【答案】BC
【詳解】對AB，，則，
故在處有唯一極大值，即最大值，B對A錯；
對CD，，又，.
故當(dāng)時，圖象與圖象有兩個交點，即方程有兩異根；
當(dāng)，圖象與圖象無交點，即方程無根，C對D錯.
故選：BC
11．（2023·全國·模擬預(yù)測）對函數(shù)，公共定義域內(nèi)的任意x，若存在常數(shù)，使得恒成立，則稱和是伴侶函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
B．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
C．與是伴侶函數(shù)
D．若，則存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
【答案】AD
【詳解】A選項：由題意得，
故存在，使得恒成立，故A正確；
B選項：由題意得，
由于為單調(diào)遞增函數(shù)，且值域為，
因此不存在，使得恒成立，故B錯誤；
C選項：由題意得，
令函數(shù)，則，
易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，不滿足，故C錯誤；
D選項：令，則，
所以為常函數(shù)，（點撥：若兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)相同，則兩個函數(shù)相差一個常數(shù)）
不妨令，故存在，使得恒成立，故D正確.
故選：AD
12．（2023春·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）若為正實數(shù)，且，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【詳解】解：對于A選項，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，故A選項錯誤；
對于B選項，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，故B選項正確；
對于C選項，令，則，
故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以與大小不定，故C選項錯誤；
對于D選項，令，則在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，，即，故D選項正確.
故選：BD
三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）
13．（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則___．
【答案】
【詳解】由已知得，，
.
故答案為：.
14．（2023春·山東青島·高二青島二中?？奸_學(xué)考試）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)________.
【答案】##
【詳解】，，
在處的切線與垂直，，解得：.
故答案為：.
15．（2023春·廣東揭陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）拓?fù)淇臻g中滿足一定條件的圖象連續(xù)的函數(shù)，如果存在點，使得，那么我們稱函數(shù)為“不動點”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的不動點．類比給出新定義：若不動點滿足，則稱為的雙重不動點．則下列函數(shù)中，①；②；③具有雙重不動點的函數(shù)為_______________．（將你認(rèn)為正確的函數(shù)的代號填在橫線上）
【答案】①③
【詳解】對于①，，，所以，
又，，則是的雙重不動點；
對于②，，，，令，
當(dāng)時，由基本初等函數(shù)圖象易知，所以，當(dāng)時，顯然成立，
所以不存在，使得，故函數(shù)不是具有雙重不動點的函數(shù)；
對于③，，，則，又，，所以是函數(shù)的雙重不動點；
綜上，具有雙重不動點的函數(shù)是①③.
故答案為：①③.
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為_________；若關(guān)于x的方程恰有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)t的取值范圍為____________.
【答案】 ##
【詳解】①定義域為，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
故是函數(shù)的極大值也是最大值；
②當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
由即，解得或，顯然只有一個解，
所以方程有兩個不同的解，所以，解得，故t的取值范圍為.
故答案為：；.
四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
17．（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值．
(1)求，的值；
(2)求曲線在點處的切線方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，
因為在處取得極值，可得，即，
整理得，解得，
經(jīng)檢驗，當(dāng)時，，
令，解得或；令解得，
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以在處取得極值，且
符合題意，所以.
（2）解：由（1）得，函數(shù)且，
則，即切線的斜率為且，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
18．（2023春·河南·高二襄城高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）.
則曲線在點處的切線方程為，
即.
（2），即.
令，由條件可知，對任意的恒成立.
因為，所以在上單調(diào)遞增.
因為，所以當(dāng)時，，所以.
故實數(shù)的取值范圍為.
19．（2023春·天津武清·高二天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)的減區(qū)間是，求a的值；
(3)若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)4
(3)
【詳解】（1），
當(dāng)時，，
，
在點處的切線方程為，即
（2）函數(shù)的減區(qū)間是(-1，4)，
而
令，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，不符合題意，
當(dāng)，無實數(shù)解，不符合題意,
故.
（3）=
令，所以，
令得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，
故在上遞減；在上遞增
所以，即，
所以，
實數(shù)的取值范圍是.
20．（2023春·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且．
(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵，∴，解得：，
∴，則，
∴在點處的切線方程為：，
即．
（2）由（1）知：，則，
∴當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，，
∴，，
由，有，即函數(shù)與的圖像有三個交點，
則有實數(shù)m的取值范圍為．
21．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求證：當(dāng)時，關(guān)于x的不等式在區(qū)間上無解.
【答案】(1)
(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為
(3)證明見解析
【詳解】（1）由可得，
當(dāng)時，，，
在點處的切線方程為；
（2）因為在處取得極值，所以，解得，
檢驗如下：
令，解得或，
若或時，則；若，則.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
故在處取得極小值，滿足題意，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（3）由（1）知，由時，得，因，
當(dāng)時，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，
因此不等式不成立，即不等式在區(qū)間上無解；
當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上遞減，在上遞增，
于是得在上的最大值為或，而，，
，即，
因此不等式不成立，即不等式在區(qū)間上無解，
所以當(dāng)時，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無解.
22．（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)，其中．函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點，且；
(3)若，討論函數(shù)的零點個數(shù)（直接寫出結(jié)論）．
【答案】(1).
(2)證明見解析.
(3)①當(dāng)時，有1個零點；②當(dāng)時，有2個零點.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，，
所以，
所以，即：，
所以在點處的切線方程為.
（2）證明：∵的定義域為，，，
則（），
令（），
則，
又∵，，
∴，
∴在上單調(diào)遞減，
又∵，，，
∴，，即：，
∴，，
∴在上有唯一零點，且，
即：有且僅有一個零點，且.
（3）①當(dāng)時，的定義域為，則，
∴由零點存在性定理知，在上單調(diào)遞增，
又∵，，
∴在上有唯一零點.
②當(dāng)時，由（2）知，在上單調(diào)遞減，且有且僅有一個零點，，
∴，即：，
∴，，
∴在上單調(diào)遞增 ，在上單調(diào)遞減，
∴，
又∵，，
令（），
則，
∴在上單調(diào)遞減，
又∵，
∴，即：，
∴由零點存在性定理知，在上有2個零點.
綜述：①當(dāng)時，有1個零點；
②當(dāng)時，有2個零點.

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