A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】解：因為，
所以.
故選：B
2．（2023秋·天津南開·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以，又，
所以.
故選：B.
3．（2023春·廣東廣州·高一廣東實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由，解得，所以，
或，
則，
所以.
故選：C.
4．（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意，所以 ，所以 ；
故選：A.
5．（2023·遼寧阜新·?？寄M預(yù)測）設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】且.
故.
故選：C.
6．（2023秋·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）集合的子集個數(shù)為（ ）．
A．4B．7C．8D．16
【答案】C
【詳解】因為，
所以該集合的子集的個數(shù)為，
故選：C．
7．（2022秋·湖南張家界·高一張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)全集，集合，M，N都是U的子集，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【詳解】注意到或，或.
又由圖可得陰影部分表示集合：且，
則陰影部分集合為：.
故選：B
8．（2023秋·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知的定義域為A，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【詳解】的定義域為A，
所以，
所以或，
①當(dāng)時，,
滿足，
所以符合題意；
②當(dāng)時，
，
所以若，
則有或，
所以或（舍）
③當(dāng)時，
，
所以若，
則有或（舍），
，
綜上所述，，
故選：B.
二、多選題
9．（2022·全國·高一期中）已知全集，集合，，則（ ）
A．集合的真子集有7個B．
C．D．中的元素個數(shù)為
【答案】ACD
【詳解】因為，所以，
因為集合，所以的真子集有，共7個，故A正確；
由，，得，所以，故B不正確；
由，，所以，所以， 故C正確；
由，得中的元素個數(shù)為，故D正確.
故選：ACD.
10．（2023秋·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，若，則m的值可以為（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】ABC
【詳解】，
，
當(dāng)時，，符合；
當(dāng)時，，
或，
或.
故選：ABC.
三、填空題
11．（2021秋·上海虹口·高一上外附中?？茧A段練習(xí)）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是__．
【答案】.
【詳解】依題意可得
所以，因為，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，又，所以，
所以，
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
12．（2022秋·四川·高一校考階段練習(xí)）高一某班共有55人，其中有14人參加了球類比賽，16人參加了田徑比賽，4人既參加了球類比賽，又參加了田徑比賽.則該班這兩項比賽都沒有參加的人數(shù)是______.
【答案】
【詳解】由題意畫出ven圖，如圖所示：
由ven圖知：參加比賽的人數(shù)為26人，
所以該班這兩項比賽都沒有參加的人數(shù)是29人，
故答案為：29
四、解答題
13．（2023秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集，已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)或；
(2).
【詳解】（1）當(dāng)，，
由得，所以或，
或；
（2）已知，
由（1）知或，
因為，且，
∴且，
解得，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
14．（2022秋·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？计谀┮阎癁?，集合，．
(1)若，求，；
(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）集合，
當(dāng)時，．
所以，或，．
（2）因為，
當(dāng)時，，成立；
當(dāng)時，，，解得：，
綜上，，所以實數(shù)的取值范圍是．
15．（2023春·甘肅武威·高一民勤縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)，其中，如果，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】或
【詳解】由，而，
對于集合有：
當(dāng)，即時，，符合；
當(dāng)，即時，，符合；
當(dāng)，即時，中有兩個元素，而；
∴得；
綜上，或.
16．（2022秋·湖北武漢·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，.
(1)若時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解不等式可得：，因為，所以，于是.
（2）因為，由，，所以，解得，∴實數(shù)的取值范圍為.
B能力提升
1．（2023秋·河南·高一校聯(lián)考期末）已知使不等式成立的任意一個x，都不滿足不等式，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由得，
因為使不等式成立的任意一個x，都不滿足不等式，
所以不等式的解集是的子集．
由，得，
當(dāng)，，符合題意；
當(dāng)，，則，；
當(dāng)，，符合題意，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．
故選：D．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）集合，，若集合只有一個子集，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由得，
又且集合只有一個子集，則.
當(dāng)時，集合，則滿足，滿足題意；
當(dāng)時，集合，則滿足，滿足題意；
當(dāng)時，集合，若滿足，則，.
綜上，則有.
故選：C
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三個圓的內(nèi)部區(qū)域分別代表集合，，，全集為，則圖中陰影部分的區(qū)域表示（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】解：如圖所示，
A. 對應(yīng)的是區(qū)域1；
B. 對應(yīng)的是區(qū)域2；
C. 對應(yīng)的是區(qū)域3；
D. 對應(yīng)的是區(qū)域4.
故選：B
4．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【詳解】對于A，，，，A正確；
對于C，，，C錯誤；
對于BD，，，
，，BD正確.
故選：ABD.
5．（2023秋·北京豐臺·高三統(tǒng)考期末）已知集合，，若為2個元素組成的集合，則實數(shù)m的取值范圍是___________．
【答案】
【詳解】集合表示直線上的點，
集合表示圓上的點，圓心為，半徑，
為2個元素組成的集合，故直線和圓相交，即，
解得.
故答案為：
6．（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第七中學(xué)?？计谀┮阎蠜]有非空真子集，則實數(shù)a構(gòu)成的集合為______.
【答案】
【詳解】解：因為集合沒有非空真子集，
所以集合中元素的個數(shù)為1或0個，
當(dāng)集合中元素的個數(shù)為1個時，
若，則有，解得，符合題意，
若，則有，解得，
當(dāng)集合中元素的個數(shù)為0個時，
則，解得，
綜上或，
即實數(shù)a構(gòu)成的集合為.
故答案為：.
C綜合素養(yǎng)
1．（2023·高三課時練習(xí)）已知集合，對它的非空子集，將中每個元素都乘以再求和，如，可求得和為，則對的所有非空子集，這些和的總和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因為，
所以，集合中所有非空子集中含有的有類：
（1）單元素的集合只有，即出現(xiàn)了次；
（2）雙元素的集合含有的有、、、，即出現(xiàn)了次；
（3）三元素的集合中出現(xiàn)的次數(shù)等同于集合中含有個元素的子集個數(shù)，此時出現(xiàn)了次；
以此類推可知，元素的集合中出現(xiàn)的次數(shù)為集合中含有個元素的子集個數(shù)，
即出現(xiàn)了次.
因此，出現(xiàn)的次數(shù)為，
同理可知，、、、都出現(xiàn)了次，
因此，對的所有非空子集，這些和的總和為.
故選：D.
2．（2023秋·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）當(dāng)一個非空數(shù)集滿足：如果，，則，，，且時，時，我們稱就是一個數(shù)域以下關(guān)于數(shù)域的說法：是任何數(shù)域的元素若數(shù)域有非零元素，則集合是一個數(shù)域．有理數(shù)集是一個數(shù)域其中正確的選項是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】對于①，當(dāng)且時，
所以是任何數(shù)域的元素，①正確；
對于②，當(dāng)時，且時，由數(shù)域定義知，
所以1+1=2，1+2=3,+2018=2019，故選項②正確；
對于③，當(dāng)時，,故選項③錯誤；
對于④，如果，，則則，，,且時，,所以有理數(shù)集是一個數(shù)域.
故選：A
3．（2023秋·山東青島·高二山東省青島第五十八中學(xué)?？计谀τ诮o定的正整數(shù)，設(shè)集合，，且?．記為集合中的最大元素，當(dāng)取遍的所有非空子集時，對應(yīng)的所有的和記為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)題意知A為集合的非空子集，滿足的集合只有1個，即；
滿足的集合有2個，即{2}，{1，2}；
滿足的集合有4個，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；
滿足的集合有個，所以，
則，
兩式相減得，所以 ，所以；
故選：D.
4．（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽二中?？茧A段練習(xí)）已知全集，集合，集合．
條件①；②；③，，使得．
(1)當(dāng)時，求
(2)定義且，當(dāng)時，求
(3)若集合A，B滿足條件______（三個條件任選一個作答），求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
（1）解不等式，得，解得：，即，有或，
當(dāng)時，，所以.
（2）由（1）知，，當(dāng)時，，
所以.
（3）選擇①，由（1）知，，因，則，
于是得，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍是．
選擇②，由（1）知，，因，則，
于是得，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍是．
選擇③，由（1）知，，因，，使得，則，
于是得，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍是．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知有限集合，定義集合中的元素的個數(shù)為集合的“容量”，記為．若集合，則______；若集合，且，則正整數(shù)的值是______．
【答案】 3 2022
【詳解】，則集合，
所以．若集合，
則集合，
故，解得．
故答案為：3；2022
第01講 集合 (精練（分層練習(xí)）
A夯實基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】解：因為，
所以.
故選：B
2．（2023秋·天津南開·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以，又，
所以.
故選：B.
3．（2023春·廣東廣州·高一廣東實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由，解得，所以，
或，
則，
所以.
故選：C.
4．（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意，所以 ，所以 ；
故選：A.
5．（2023·遼寧阜新·?？寄M預(yù)測）設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】且.
故.
故選：C.
6．（2023秋·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）集合的子集個數(shù)為（ ）．
A．4B．7C．8D．16
【答案】C
【詳解】因為，
所以該集合的子集的個數(shù)為，
故選：C．
7．（2022秋·湖南張家界·高一張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)全集，集合，M，N都是U的子集，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【詳解】注意到或，或.
又由圖可得陰影部分表示集合：且，
則陰影部分集合為：.
故選：B
8．（2023秋·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知的定義域為A，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【詳解】的定義域為A，
所以，
所以或，
①當(dāng)時，,
滿足，
所以符合題意；
②當(dāng)時，
，
所以若，
則有或，
所以或（舍）
③當(dāng)時，
，
所以若，
則有或（舍），
，
綜上所述，，
故選：B.
二、多選題
9．（2022·全國·高一期中）已知全集，集合，，則（ ）
A．集合的真子集有7個B．
C．D．中的元素個數(shù)為
【答案】ACD
【詳解】因為，所以，
因為集合，所以的真子集有，共7個，故A正確；
由，，得，所以，故B不正確；
由，，所以，所以， 故C正確；
由，得中的元素個數(shù)為，故D正確.
故選：ACD.
10．（2023秋·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，若，則m的值可以為（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】ABC
【詳解】，
，
當(dāng)時，，符合；
當(dāng)時，，
或，
或.
故選：ABC.
三、填空題
11．（2021秋·上海虹口·高一上外附中?？茧A段練習(xí)）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是__．
【答案】.
【詳解】依題意可得
所以，因為，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，又，所以，
所以，
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
12．（2022秋·四川·高一校考階段練習(xí)）高一某班共有55人，其中有14人參加了球類比賽，16人參加了田徑比賽，4人既參加了球類比賽，又參加了田徑比賽.則該班這兩項比賽都沒有參加的人數(shù)是______.
【答案】
【詳解】由題意畫出ven圖，如圖所示：
由ven圖知：參加比賽的人數(shù)為26人，
所以該班這兩項比賽都沒有參加的人數(shù)是29人，
故答案為：29
四、解答題
13．（2023秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集，已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)或；
(2).
【詳解】（1）當(dāng)，，
由得，所以或，
或；
（2）已知，
由（1）知或，
因為，且，
∴且，
解得，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
14．（2022秋·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？计谀┮阎癁椋?，．
(1)若，求，；
(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）集合，
當(dāng)時，．
所以，或，．
（2）因為，
當(dāng)時，，成立；
當(dāng)時，，，解得：，
綜上，，所以實數(shù)的取值范圍是．
15．（2023春·甘肅武威·高一民勤縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)，其中，如果，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】或
【詳解】由，而，
對于集合有：
當(dāng)，即時，，符合；
當(dāng)，即時，，符合；
當(dāng)，即時，中有兩個元素，而；
∴得；
綜上，或.
16．（2022秋·湖北武漢·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，.
(1)若時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解不等式可得：，因為，所以，于是.
（2）因為，由，，所以，解得，∴實數(shù)的取值范圍為.
B能力提升
1．（2023秋·河南·高一校聯(lián)考期末）已知使不等式成立的任意一個x，都不滿足不等式，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由得，
因為使不等式成立的任意一個x，都不滿足不等式，
所以不等式的解集是的子集．
由，得，
當(dāng)，，符合題意；
當(dāng)，，則，；
當(dāng)，，符合題意，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．
故選：D．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）集合，，若集合只有一個子集，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由得，
又且集合只有一個子集，則.
當(dāng)時，集合，則滿足，滿足題意；
當(dāng)時，集合，則滿足，滿足題意；
當(dāng)時，集合，若滿足，則，.
綜上，則有.
故選：C
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三個圓的內(nèi)部區(qū)域分別代表集合，，，全集為，則圖中陰影部分的區(qū)域表示（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】解：如圖所示，
A. 對應(yīng)的是區(qū)域1；
B. 對應(yīng)的是區(qū)域2；
C. 對應(yīng)的是區(qū)域3；
D. 對應(yīng)的是區(qū)域4.
故選：B
4．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【詳解】對于A，，，，A正確；
對于C，，，C錯誤；
對于BD，，，
，，BD正確.
故選：ABD.
5．（2023秋·北京豐臺·高三統(tǒng)考期末）已知集合，，若為2個元素組成的集合，則實數(shù)m的取值范圍是___________．
【答案】
【詳解】集合表示直線上的點，
集合表示圓上的點，圓心為，半徑，
為2個元素組成的集合，故直線和圓相交，即，
解得.
故答案為：
6．（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第七中學(xué)?？计谀┮阎蠜]有非空真子集，則實數(shù)a構(gòu)成的集合為______.
【答案】
【詳解】解：因為集合沒有非空真子集，
所以集合中元素的個數(shù)為1或0個，
當(dāng)集合中元素的個數(shù)為1個時，
若，則有，解得，符合題意，
若，則有，解得，
當(dāng)集合中元素的個數(shù)為0個時，
則，解得，
綜上或，
即實數(shù)a構(gòu)成的集合為.
故答案為：.
C綜合素養(yǎng)
1．（2023·高三課時練習(xí)）已知集合，對它的非空子集，將中每個元素都乘以再求和，如，可求得和為，則對的所有非空子集，這些和的總和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因為，
所以，集合中所有非空子集中含有的有類：
（1）單元素的集合只有，即出現(xiàn)了次；
（2）雙元素的集合含有的有、、、，即出現(xiàn)了次；
（3）三元素的集合中出現(xiàn)的次數(shù)等同于集合中含有個元素的子集個數(shù)，此時出現(xiàn)了次；
以此類推可知，元素的集合中出現(xiàn)的次數(shù)為集合中含有個元素的子集個數(shù)，
即出現(xiàn)了次.
因此，出現(xiàn)的次數(shù)為，
同理可知，、、、都出現(xiàn)了次，
因此，對的所有非空子集，這些和的總和為.
故選：D.
2．（2023秋·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）當(dāng)一個非空數(shù)集滿足：如果，，則，，，且時，時，我們稱就是一個數(shù)域以下關(guān)于數(shù)域的說法：是任何數(shù)域的元素若數(shù)域有非零元素，則集合是一個數(shù)域．有理數(shù)集是一個數(shù)域其中正確的選項是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】對于①，當(dāng)且時，
所以是任何數(shù)域的元素，①正確；
對于②，當(dāng)時，且時，由數(shù)域定義知，
所以1+1=2，1+2=3,+2018=2019，故選項②正確；
對于③，當(dāng)時，,故選項③錯誤；
對于④，如果，，則則，，,且時，,所以有理數(shù)集是一個數(shù)域.
故選：A
3．（2023秋·山東青島·高二山東省青島第五十八中學(xué)?？计谀τ诮o定的正整數(shù)，設(shè)集合，，且?．記為集合中的最大元素，當(dāng)取遍的所有非空子集時，對應(yīng)的所有的和記為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)題意知A為集合的非空子集，滿足的集合只有1個，即；
滿足的集合有2個，即{2}，{1，2}；
滿足的集合有4個，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；
滿足的集合有個，所以，
則，
兩式相減得，所以 ，所以；
故選：D.
4．（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽二中?？茧A段練習(xí)）已知全集，集合，集合．
條件①；②；③，，使得．
(1)當(dāng)時，求
(2)定義且，當(dāng)時，求
(3)若集合A，B滿足條件______（三個條件任選一個作答），求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
（1）解不等式，得，解得：，即，有或，
當(dāng)時，，所以.
（2）由（1）知，，當(dāng)時，，
所以.
（3）選擇①，由（1）知，，因，則，
于是得，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍是．
選擇②，由（1）知，，因，則，
于是得，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍是．
選擇③，由（1）知，，因，，使得，則，
于是得，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍是．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知有限集合，定義集合中的元素的個數(shù)為集合的“容量”，記為．若集合，則______；若集合，且，則正整數(shù)的值是______．
【答案】 3 2022
【詳解】，則集合，
所以．若集合，
則集合，
故，解得．
故答案為：3；2022

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