A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·安徽馬鞍山·高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）函數(shù)有兩個不同的零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·河南·高一校聯(lián)考期末）方程的解所在的一個區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？奸_學(xué)考試）用二分法求函數(shù)在內(nèi)零點近似值的過程中，得到，則函數(shù) 的零點落在區(qū)間（ ）
A．B． C． D．不能確定
5．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的所有零點之和為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知，，的零點分別是，，，則，，的大小順序是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) 若存在實數(shù)，，，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2023秋·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線，它的部分函數(shù)值如下表，則（ ）
A．在區(qū)間上不一定單調(diào)
B．在區(qū)間內(nèi)可能存在零點
C．在區(qū)間內(nèi)一定不存在零點
D．至少有個零點
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，關(guān)于的方程有且只有一個實根，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
11．（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學(xué)校考開學(xué)考試）利用二分法計算函數(shù)在區(qū)間的零點，第一次操作后確認(rèn)在內(nèi)有零點，那么第二次操作后確認(rèn)在區(qū)間__________內(nèi)有零點.
12．（2023春·江蘇南京·高三江蘇省南京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三個不同的實數(shù)解a，b，c（a＜b＜c），則（a＋b）c的取值范圍是_____________．
四、解答題
13．（2023春·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點.
(1)求的解析式；(2)關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍.
14．（2023秋·上海靜安·高一?？计谀┮阎瘮?shù)．
(1)請說明該函數(shù)圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到的；
(2)已知函數(shù)的一個零點為3，求函數(shù)的另一個零點．
15．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)在下面的平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象；
(2)方程有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.
B能力提升
1．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個解，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·安徽·高一合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知滿足，當(dāng)，若函數(shù)在上恰有八個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.
4．（2023秋·湖南湘潭·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)證明：當(dāng)時，在上有零點.
(2)當(dāng)時，關(guān)于x的方程在上沒有實數(shù)解，求m的取值范圍.
C綜合素養(yǎng)
1．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若方程有四個不同的根，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．（多選）（2023秋·云南昆明·高一云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰跀?shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理可應(yīng)用到有限維空間，并是構(gòu)成一般不動點定理的基石，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾()，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多選）（2023秋·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，，若函數(shù)且在上恰有4個不同的零點，則實數(shù)的值可以是（ ）
A．B．C．D．
4．（多選）（2023春·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個不同的根，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若，使得，則稱是函數(shù)的不動點．若函數(shù)在區(qū)間上存在不動點，則實數(shù)a的取值范圍是______．
6．（2023秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域為D，對于給定的正整數(shù)k，若存在，使得函數(shù)滿足：函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)且的最小值為ka，最大值為kb，則稱函數(shù)是“倍縮函數(shù)”，區(qū)間是函數(shù)的“k倍值區(qū)間”．
(1)判斷函數(shù)是否是“倍縮函數(shù)”？（只需直接寫出結(jié)果）
(2)證明：函數(shù)存在“2倍值區(qū)間”；
(3)設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)存在“k倍值區(qū)間”，求k的值．
1
2
3
4
5
6
第08講 函數(shù)與方程(精練（分層練習(xí)）
A夯實基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】在上單調(diào)遞增，
，
所以的零點在區(qū)間.
故選：B
2．（2023春·安徽馬鞍山·高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)有兩個不同的零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】函數(shù) 有2個不同的零點等價于方程 有2個不同的根，
，解得 或 ；
故選：D.
3．（2023秋·河南·高一校聯(lián)考期末）方程的解所在的一個區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】令，則單調(diào)遞增，
由，，
∴方程的解所在一個區(qū)間是．
故選：C．
4．（2023春·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？奸_學(xué)考試）用二分法求函數(shù)在內(nèi)零點近似值的過程中，得到，則函數(shù) 的零點落在區(qū)間（ ）
A．B． C． D．不能確定
【答案】B
【詳解】由于 均為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，故在單調(diào)遞增，
故存在，使得 ，
故選：B
5．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由可得，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：
由圖可知，函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)為，
故函數(shù)的零點個數(shù)為.
故選：C.
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的所有零點之和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】時，由得，
時，由得或，
所以四個零點和為．
故選：D．
7．（2023秋·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知，，的零點分別是，，，則，，的大小順序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：函數(shù)，，的零點，
即為函數(shù)分別與函數(shù)、、的圖象交點的橫坐標(biāo)，
如圖所示：
由圖可得.
故選：B
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) 若存在實數(shù)，，，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】畫出的圖象如下圖：
由題意可知，，由圖象可知關(guān)于直線對稱，所以，因此，
當(dāng)時，，此時，
當(dāng)時，，此時，
當(dāng)存在，，，使得時，此時，
故選：C

二、多選題(共0分)
9．（2023秋·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線，它的部分函數(shù)值如下表，則（ ）
A．在區(qū)間上不一定單調(diào)
B．在區(qū)間內(nèi)可能存在零點
C．在區(qū)間內(nèi)一定不存在零點
D．至少有個零點
【答案】ABD
【詳解】由所給表格可知，，，，
所以，，，
又函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線，所以函數(shù)在區(qū)間、、存在零點，
即至少有個零點，故D正確；
對于A，由于只知道，的函數(shù)值，故無法判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，故A正確；
對于B、C，雖然，，由于不知道函數(shù)在內(nèi)的取值情況，
所以函數(shù)在內(nèi)可能存在零點，故B正確，C錯誤；
故選：ABD
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，關(guān)于的方程有且只有一個實根，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【詳解】方程有且只有一個實根，即與有且只有1個交點，
作出的圖象與的圖象，如下：
則當(dāng)時，與有2個交點，
當(dāng)時，與有且只有1個交點，
故BCD符合條件
故選：BCD
三、填空題
11．（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學(xué)校考開學(xué)考試）利用二分法計算函數(shù)在區(qū)間的零點，第一次操作后確認(rèn)在內(nèi)有零點，那么第二次操作后確認(rèn)在區(qū)間__________內(nèi)有零點.
【答案】
【詳解】由題意可知，取區(qū)間的中點，
，
，
所以，
所以第二次操作后確認(rèn)在區(qū)間內(nèi)有零點.
故答案為：.
12．（2023春·江蘇南京·高三江蘇省南京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三個不同的實數(shù)解a，b，c（a＜b＜c），則（a＋b）c的取值范圍是_____________．
【答案】
【詳解】依題意，
函數(shù)的圖象如圖所示：
方程f（x）＝m（m∈R）恰有三個不同的實數(shù)解a，b，c（a＜b＜c），
可得a＋b＝－2，f（0）＝1＝f（1），，
則，
故答案為：．
四、解答題
13．（2023春·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點.
(1)求的解析式；
(2)關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)對數(shù)函數(shù)且，
其圖象過點，即，
故.
（2）因為關(guān)于的方程在上有解，
故在上有解，
而當(dāng)時，是增函數(shù)，故，
故的取值范圍為.
14．（2023秋·上海靜安·高一校考期末）已知函數(shù)．
(1)請說明該函數(shù)圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到的；
(2)已知函數(shù)的一個零點為3，求函數(shù)的另一個零點．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）向左平移2個單位得到，
再向上平移1個單位得到.
（2），
因為函數(shù)的一個零點為3，所以，解得.
所以，
令，解得.
所以函數(shù)的另一個零點為.
15．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)在下面的平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象；
(2)方程有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)圖象見詳解
(2)
【詳解】（1）,
函數(shù)的圖像：
（2）當(dāng)或時，函數(shù)取最小值，最小值為，且.
由圖像可知，方程有四個不相等的實數(shù)根，即與有四個交點時，所以.
故的取值范圍為.
B能力提升
1．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個解，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】令，則方程的解有3個，
由圖象可得，，且三個解分別為，
則，，，
均有兩個不相等的實根，
則，且，且，
即且，解得，
當(dāng)時，，
因為，所以，所以，且，
所以，即恒成立，
故的取值范圍為.
故選:B.
2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【詳解】令、，則、，
在同一坐標(biāo)系中分別繪出函數(shù)、、的圖像，
因為函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，
所以，，解方程組，
因為函數(shù)與互為反函數(shù)，
所以由反函數(shù)性質(zhì)知、關(guān)于對稱，
則，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時，等號成立，所以A、D錯誤，B、C正確.
故選：BC
3．（2023春·安徽·高一合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知滿足，當(dāng)，若函數(shù)在上恰有八個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.
【答案】
【詳解】因為，所以為周期是8的周期函數(shù)，則，
由，得或，
作出函數(shù)在上的大致圖象，如圖，
由圖可知，在上，函數(shù)的圖象與直線有六個交點，即時，有六個實根，從而時，應(yīng)該有兩個實根，即函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，故，得.
故答案為：.
4．（2023秋·湖南湘潭·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)證明：當(dāng)時，在上有零點.
(2)當(dāng)時，關(guān)于x的方程在上沒有實數(shù)解，求m的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時，，
因為，所以，
因此在上有零點.
（2）當(dāng)時，，由于均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增.又，故在上的值域為，
且關(guān)于x的方程在上沒有實數(shù)解，故 或，即或
所以m的取值范圍為.
C綜合素養(yǎng)
1．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若方程有四個不同的根，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，，
作出函數(shù)的部分圖象，如圖，
方程有四個不同的根，不妨令，即直線與函數(shù)的圖象有4個公共點，
觀察圖象知，，，
顯然有，且，由得，
即，則有，因此，
所以的取值范圍為.
故選：B
2．（多選）（2023秋·云南昆明·高一云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰跀?shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理可應(yīng)用到有限維空間，并是構(gòu)成一般不動點定理的基石，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾()，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【詳解】對于A：由題意，所以，此方程無解，所以A中函數(shù)不是“不動點”函數(shù)；
對于B：由題意，即，記，因為，，，，由零點存在性定理知，函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上有零點，即方程有解，故B中函數(shù)是“不動點”函數(shù)；
對于C：由題意，解得：，所以C中函數(shù)是“不動點”函數(shù)；
對于D：，在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)以及的圖像，可確定兩個函數(shù)的圖像有交點，即方程有解，所以D中函數(shù)是“不動點”函數(shù)；

故選：BCD.
3．（多選）（2023秋·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，，若函數(shù)且在上恰有4個不同的零點，則實數(shù)的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以，
即當(dāng)時，
又對任意都有則關(guān)于對稱，
且，，即函數(shù)的周期為，
又由函數(shù)且在上恰有個不同的零點，
得函數(shù)與的圖像在上有個不同的交點，又，
當(dāng)時，由圖可得，解得；
當(dāng)時，由圖可得，解得．
綜上可得.
故選：AD．
4．（多選）（2023春·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個不同的根，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【詳解】，則，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出與的圖像，如下圖所述：
對于選項A：根據(jù)圖像可得，若方程有四個不同的根，只需，故A錯誤；
對于選項B：根據(jù)圖像可得，
由題意可得：，即，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故B正確；
對于選項C;根據(jù)圖像可得點與關(guān)于直線對稱，則，
根據(jù)選項B中證明，則，故C正確；
對于選項D：，
令，
任取，且，
則，
，則，，則，即，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，即，故D正確；
故選：BCD.
5．（2023春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若，使得，則稱是函數(shù)的不動點．若函數(shù)在區(qū)間上存在不動點，則實數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】設(shè)，由題可知有解，
即有解，
即有解，
即有解，
令，則有解，
即在時有解.
易知在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增，
且，，
故，則.
故答案為：.
6．（2023秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域為D，對于給定的正整數(shù)k，若存在，使得函數(shù)滿足：函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)且的最小值為ka，最大值為kb，則稱函數(shù)是“倍縮函數(shù)”，區(qū)間是函數(shù)的“k倍值區(qū)間”．
(1)判斷函數(shù)是否是“倍縮函數(shù)”？（只需直接寫出結(jié)果）
(2)證明：函數(shù)存在“2倍值區(qū)間”；
(3)設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)存在“k倍值區(qū)間”，求k的值．
【答案】(1)是，理由見詳解
(2)證明見詳解
(3)
【詳解】（1）取，
∵在上單調(diào)遞增，
∴在上的最小值為，最大值為，且，
故函數(shù)是“倍縮函數(shù)”.
（2）取，
∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，
若函數(shù)存在“2倍值區(qū)間”，等價于存在，使得成立，
等價于至少有兩個不相等的實根，
等價于至少有兩個零點，
∵，且在定義內(nèi)連續(xù)不斷，
∴在區(qū)間內(nèi)均存在零點，
故函數(shù)存在“2倍值區(qū)間”.
（3）對，且，則，
∵，則，
∴，即，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
若函數(shù)存在“k倍值區(qū)間”，即存在，使得成立，
即在內(nèi)至少有兩個不相等的實根，
∵是方程的根，則在內(nèi)有實根，
若，則，即，且，
∴，即.
1
2
3
4
5
6

相關(guān)試卷

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第04講冪函數(shù)與二次函數(shù)(分層精練)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第04講冪函數(shù)與二次函數(shù)(分層精練)(原卷版+解析)，共17頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第01講集合(高頻精講)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第01講集合(高頻精講)(原卷版+解析)，共55頁。試卷主要包含了元素與集合，集合間的基本關(guān)系，集合的基本運算，集合的運算性質(zhì)，高頻考點結(jié)論等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第01講集合(分層精練)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第01講集合(分層精練)(原卷版+解析)，共26頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第01講數(shù)列的概念與簡單表示法(分層精練)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第01講數(shù)列的概念與簡單表示法(分層精練)(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第01講導(dǎo)數(shù)的概念及運算(分層精練)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第01講導(dǎo)數(shù)的概念及運算(分層精練)(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第01講函數(shù)的概念及其表示(分層精練)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第01講函數(shù)的概念及其表示(分層精練)(原卷版+解析)
新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點精講精練 第08講 函數(shù)與方程（高頻精講）（原卷版+解析版）

新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點精講精練 第08講 函數(shù)與方程（高頻精講）（原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部