TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21411" 第一部分：知識點必背 PAGEREF _Tc21411 \h 2
\l "_Tc18855" 第二部分：高考真題回歸 PAGEREF _Tc18855 \h 3
\l "_Tc10628" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc10628 \h 7
\l "_Tc23008" 高頻考點一：利用正、余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc23008 \h 7
\l "_Tc22499" 角度1：三角形個數(shù)問題 PAGEREF _Tc22499 \h 7
\l "_Tc29636" 角度2：利用正弦定理解三角形 PAGEREF _Tc29636 \h 12
\l "_Tc21713" 角度3：利用余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc21713 \h 15
\l "_Tc28747" 角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc28747 \h 18
\l "_Tc3049" 高頻考點二：判斷三角形的形狀 PAGEREF _Tc3049 \h 22
\l "_Tc12574" 高頻考點三：三角形面積相關(guān)問題 PAGEREF _Tc12574 \h 25
\l "_Tc21184" 角度1：求三角形面積 PAGEREF _Tc21184 \h 25
\l "_Tc3527" 角度2：三角形面積的最值（范圍） PAGEREF _Tc3527 \h 31
\l "_Tc16860" 高頻考點四：三角形周長（邊）相關(guān)問題 PAGEREF _Tc16860 \h 38
\l "_Tc26446" 角度1：求三角形周長（邊長） PAGEREF _Tc26446 \h 38
\l "_Tc7766" 角度2：三角形周長（邊長）的最值 PAGEREF _Tc7766 \h 43
\l "_Tc32211" 第四部分：數(shù)學(xué)文化題 PAGEREF _Tc32211 \h 51
\l "_Tc8593" 第五部分：高考新題型 PAGEREF _Tc8593 \h 54
\l "_Tc16358" ①開放性試題 PAGEREF _Tc16358 \h 54
\l "_Tc6064" ②探究性試題 PAGEREF _Tc6064 \h 55
\l "_Tc18856" ③劣夠性試題 PAGEREF _Tc18856 \h 56
\l "_Tc21166" 第六部分：數(shù)學(xué)思想方法 PAGEREF _Tc21166 \h 58
\l "_Tc14849" ①函數(shù)與方程的思想 PAGEREF _Tc14849 \h 58
\l "_Tc8006" ②分類討論的思想 PAGEREF _Tc8006 \h 60
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第一部分：知識點必背
1、正弦定理
1.1正弦定理的描述
①文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
②符號語言：在中， 若角、及所對邊的邊長分別為，及，則有
1.2正弦定理的推廣及常用變形公式
在中， 若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤，，（可實現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）
⑥，，（可實現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號語言：在中，內(nèi)角，所對的邊分別是,則：
；
2.2余弦定理的推論
；
；
3、三角形常用面積公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).
4、常用結(jié)論
在三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若或
第二部分：高考真題回歸
1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．
2．（2022·全國（甲卷文理）·統(tǒng)考高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
4．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
5．（2022·全國（乙卷文）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形個數(shù)問題
典型例題
例題1．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)?？茧A段練習）在中，，則的解的個數(shù)是（ ）
A．0個B．2個C．1個D．1個或2個
例題2．（2023春·陜西榆林·高一?？茧A段練習）在中，，若解三角形時有兩解，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例題3．（2023春·上海青浦·高一校考階段練習）如果滿足的恰有一個，則實數(shù)的取值范圍是__________.
例題4．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習）已知中，，若滿足上述條件的三角形有兩個，則的范圍是__________．
練透核心考點
1．（2023春·天津靜?！じ咭混o海一中?？茧A段練習）在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，不解三角形，確定下列判斷正確的是（ ）
A．，，，有兩解B．，，，有一解
C．，，，有一解D．，，，無解
2．（2023·全國·高一專題練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，若只有一解，則實數(shù)x的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．或
3．（多選）（2023春·陜西西安·高一統(tǒng)考階段練習）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件判斷三角形的情況，則正確的是（ ）
A．，，，有兩解
B．，，，有兩解
C．，，，只有一解
D．，，，只有一解
4．（多選）（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為，且.若有兩解，則的值可以是（ ）
A．4B．5C．7D．10
5．（2023·全國·高一專題練習）不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù)．
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，．
角度2：利用正弦定理解三角形
典型例題
例題1．（2023春·甘肅白銀·高一校考階段練習）在中，角的對邊分別為，已知 則（ ）
A．45°或135°B．135°
C．45°D．60°或120°
例題2．（多選）（2023春·河北邢臺·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習）在中，已知，，的外接圓面積為，則（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023·全國·高三專題練習）在平面四邊形中，，，求長度的取值范圍．
練透核心考點
1．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，，那么（ ）
A．B．C．或D．
2．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)校考階段練習）在三角形ABC中，已知，則三角形面積_________．
3．（2023春·河南洛陽·高一洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習）在中，角的對邊分別為，且，，則 _________.
角度3：利用余弦定理解三角形
典型例題
例題1．（2023春·吉林·高一?？茧A段練習）冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化風格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想．某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求．該同學(xué)取端點繪制了，測得，，，，若點恰好在邊上，請幫忙計算的值（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，求角．
例題3．（2023春·河北邢臺·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習）在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知為銳角，且.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，求面積的最大值；
(3)若，點為的中點，且，求邊的長.
練透核心考點
1．（2023春·河北邢臺·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習）在中，角所對的邊分別為，已知，則角___________.
2．（2023·全國·高三專題練習）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則C＝______
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知△ABC的角A，B，C對邊分別為a，b，c，滿足，且，
(1)求C；
(2)求△ABC外接圓的半徑R.
角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023春·河北衡水·高一河北武強中學(xué)校考階段練習）已知銳角中，角，，的對邊分別為，，．若，，，則（ ）
A．9B．8C．5D．4
例題2．（多選）（2023春·山西太原·高一太原五中?？茧A段練習）在中，在邊上，且，，若，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．為銳角三角形C．的外接圓半徑為D．的內(nèi)切圓半徑為
例題3．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預(yù)測）中，，，，為邊上一點，且，則的面積等于________.
練透核心考點
1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在四邊形ABCD中，，，則的最大值為（ ）
A．25B．C．D．
2．（2023春·寧夏銀川·高一銀川二中校考階段練習）在△ABC中，若，，△ABC的面積，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·河南鄭州·高一校考階段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．且，，，則______．
高頻考點二：判斷三角形的形狀
典型例題
例題1．（2023春·河南周口·高三校考階段練習）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．銳角三角形
例題2．（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習）在中，若，則的形狀是（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
例題3．（2023春·陜西西安·高二西安中學(xué)?？计谥校┤?，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
例題4．（2023·全國·高一專題練習）在，若，則的形狀是________.
練透核心考點
1．（2023春·寧夏銀川·高一銀川二中?？茧A段練習）在△ABC中，已知，且，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
2．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為，已知，，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等邊三角形D．等腰直角三角形
3．（2023春·全國·高一專題練習）在中，若，則是（ ）
A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
4．（2023春·浙江金華·高一?？茧A段練習）在中，滿足，則的形狀是________．
高頻考點三：三角形面積相關(guān)問題
角度1：求三角形面積
典型例題
例題1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知在非 中，，，且，則的面積為（ ）
A．1B．C．2D．3
例題2．（2023春·山西太原·高一太原五中?？茧A段練習）在中，已知的平分線，則的面積為_____________.
例題3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學(xué)?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的面積.
例題4．（2023春·貴州·高二遵義一中校聯(lián)考階段練習）從①；②；③的外接圓的半徑為2且，這三個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并解答.
已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，__________.
(1)求角的大??；
(2)若，求的面積.
注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.
練透核心考點
1．（2023春·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，且，則該三角形的面積為（ ）
A．1B．2C．2D．
2．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知O是的外心，，若且，則的面積為____.
3．（2023·北京·?？寄M預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面積．
4．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習）在①，②，③向量，，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．
在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且__________．
(1)求角的大小；
(2)是線段上的點，且，，求的面積．
角度2：三角形面積的最值（范圍）
典型例題
例題1．（2023·全國·高一專題練習）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)校考階段練習）在中，、、三個內(nèi)角所對的邊依次為、、，且，若，則的面積的最大值為___________
例題3．（2023·全國·高一專題練習）在中，角所對的邊分別為，若
(1)求角.
(2)若角為鈍角，求面積的取值范圍.
例題4．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習）已知為銳角三角形，角所對的邊分別為，且．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求面積的取值范圍．
練透核心考點
1．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？茧A段練習）在銳角中，角所對的邊分別為，它的面積等于且，則的面積的取值范圍是_________.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若為的垂心，，求面積的最大值.
3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學(xué)?？茧A段練習）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答．
已知的角對邊分別為，而且_____．
（I）求；
（Ⅱ）求面積的最大值．
4．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知的三個角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求邊；
(2)若是銳角三角形，且___________，求的面積的取值范圍.
要求：從①，②從這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并給出解答.如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
高頻考點四：三角形周長（邊）相關(guān)問題
角度1：求三角形周長（邊長）
典型例題
例題1．（2023春·貴州黔西·高一校考階段練習）在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面積為，求的值．
例題2．（2023春·天津河?xùn)|·高一天津市第四十五中學(xué)校考階段練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足.
(1)求角的大??；
(2)已知，的面積為，求邊長的值.
例題3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學(xué)?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為且
(1)求角的大小；
(2)若，的面積為求的周長.
例題4．（2023春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？茧A段練習）在中，、、三個內(nèi)角所對的邊依次為、、，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若，的面積為，求的周長
練透核心考點
1．（2023春·陜西西安·高一西安市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，且的面積為，求的周長.
2．（2023春·浙江湖州·高一湖州中學(xué)校考階段練習）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且．
(1)求A；
(2)若，則的面積為，求的周長．
3．（2023春·甘肅白銀·高一?？茧A段練習）在中，角、、的對邊分別為、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面積，求的周長．
4．（2023春·陜西西安·高二西安中學(xué)?？计谥校┮阎校撬鶎Φ倪叿謩e為，且，外接圓的半徑為.
(1)求A的值；
(2)若，求的周長.
角度2：三角形周長（邊長）的最值
典型例題
例題1．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）若的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足.
(1)求角；
(2)若，求周長的取值范圍.
例題2．（2023春·云南·高二校聯(lián)考階段練習）的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，求周長的最大值.
例題3．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范圍.
例題4．（2023·全國·高三專題練習）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行求解．
問題：在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知______，．
(1)求；
(2)求周長的取值范圍
例題5．（2023春·山西太原·高一太原五中?？茧A段練習）已知銳角的面積是，．
(1)求的值；
(2)若，求周長的取值范圍.
練透核心考點
1．（2023春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求；
(2)若，求周長的取值范圍.
2．（2023春·河北邢臺·高三邢臺市第二中學(xué)?？茧A段練習）在四邊形中，四點共圓，，，．
(1)若，求的長；
(2)求四邊形周長的最大值．
3．（2023·全國·高三專題練習）在中，角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范圍.
4．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習）在下列3個條件中任選一個，補充到下面問題，并給出問題的解答．
①；②；③；
已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，D為邊上的一點，______．
(1)求角C；
(2)若為角平分線，且，求最小值．
5．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
第四部分：數(shù)學(xué)文化題
1．（2023·全國·高三專題練習）勾股定理被稱為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理，漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖1），證明了商高結(jié)論的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長，相同的長度（如將CA延長至D）得到圖2．在圖2中，若，，D，E兩點間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長為（ ）
A．B．C．1D．
2．（2023春·青海西寧·高三?？奸_學(xué)考試）1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了一種曲線，取一個正三角形，在每個邊以中間的三分之一部分為一邊，向外凸出作一個正三角形，再把原來邊上中間的三分之一部分擦掉，就成了一個很像雪花的六角星，如圖所示.現(xiàn)在向圓中均勻散落1000粒豆子，則落在六角星中的豆子數(shù)約為（，）（ ）
A．331B．481C．508D．577
3．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中校考開學(xué)考試）我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》卷九“勾股”中有一測量問題：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何?這個問題體現(xiàn)了古代對直角三角形的研究，現(xiàn)有一豎立的木頭柱子，高4米，繩索系在柱子上端，牽著繩索退行，當繩索與底面夾角為75°時繩索未用盡，再退行米繩索用盡（繩索與地面接觸），則繩索長為（ ）
A．米B．米C．米D．米
4．（2023·全國·高三專題練習）我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動.如圖（2），傘完全收攏時，傘圈已滑到的位置，且，，三點共線，，為的中點，當傘從完全張開到完全收攏，傘圈沿著傘柄向下滑動的距離為24cm，則當傘完全張開時，的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
第五部分：高考新題型
①開放性試題
1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？茧A段練習）已知是一個銳角三角形的三邊長，請寫出一個的值__________.
2．（2022秋·山東青島·高三?？茧A段練習）如圖所示，點在線段上，，，若再給出一條線段的長度，可以使唯一確定，這個線段可以是______（只需寫出代表該線段的字母，無需給出長度）
3．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且外接圓的面積為，請寫出一組滿足上述條件的邊和角：______，______．
②探究性試題
1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考一模）△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．
(1)證明；△ABC是鈍角三角形；
(2)在四個條件① ② ③ ④中，哪三個條件同時成立能使△ABC存在？請說明理由．
③劣夠性試題
1．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．
(1)求B；
(2)在下面兩個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求BC邊上的中線的長度．
①的周長為；②面積為．
2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）請從①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評分.選擇的編號請?zhí)顚懙酱痤}卡對應(yīng)位置上）
在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若___________，
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC為銳角三角形，，求的取值范圍.
第六部分：數(shù)學(xué)思想方法
①函數(shù)與方程的思想
1．（2023·全國·高一專題練習）在中，角所對的邊分別為，，，則面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·廣東廣州·高三?？迹┮阎膬?nèi)角的對邊分別為，滿足，
(1)求；
(2)是線段邊上的點，若，求的面積.
3．（2023·高二課時練習）若，求的最大值．
②分類討論的思想
1．（2023秋·吉林·高一吉林一中?？茧A段練習）已知中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．若為直角三角形，則的面積為________．
2．（2023·遼寧·高二統(tǒng)考）△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若．
(1)求A的大??；
(2)若，，求a．
3．（2023春·云南文山·高一?？茧A段練習）在△ABC中，已知，b＝1，B＝30°．
(1)求角A；
(2)求△ABC的面積．
第04講 正弦定理和余弦定理 (精講）
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21411" 第一部分：知識點必背 PAGEREF _Tc21411 \h 2
\l "_Tc18855" 第二部分：高考真題回歸 PAGEREF _Tc18855 \h 3
\l "_Tc10628" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc10628 \h 7
\l "_Tc23008" 高頻考點一：利用正、余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc23008 \h 7
\l "_Tc22499" 角度1：三角形個數(shù)問題 PAGEREF _Tc22499 \h 7
\l "_Tc29636" 角度2：利用正弦定理解三角形 PAGEREF _Tc29636 \h 12
\l "_Tc21713" 角度3：利用余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc21713 \h 15
\l "_Tc28747" 角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc28747 \h 18
\l "_Tc3049" 高頻考點二：判斷三角形的形狀 PAGEREF _Tc3049 \h 22
\l "_Tc12574" 高頻考點三：三角形面積相關(guān)問題 PAGEREF _Tc12574 \h 25
\l "_Tc21184" 角度1：求三角形面積 PAGEREF _Tc21184 \h 25
\l "_Tc3527" 角度2：三角形面積的最值（范圍） PAGEREF _Tc3527 \h 31
\l "_Tc16860" 高頻考點四：三角形周長（邊）相關(guān)問題 PAGEREF _Tc16860 \h 38
\l "_Tc26446" 角度1：求三角形周長（邊長） PAGEREF _Tc26446 \h 38
\l "_Tc7766" 角度2：三角形周長（邊長）的最值 PAGEREF _Tc7766 \h 43
\l "_Tc32211" 第四部分：數(shù)學(xué)文化題 PAGEREF _Tc32211 \h 51
\l "_Tc8593" 第五部分：高考新題型 PAGEREF _Tc8593 \h 54
\l "_Tc16358" ①開放性試題 PAGEREF _Tc16358 \h 54
\l "_Tc6064" ②探究性試題 PAGEREF _Tc6064 \h 55
\l "_Tc18856" ③劣夠性試題 PAGEREF _Tc18856 \h 56
\l "_Tc21166" 第六部分：數(shù)學(xué)思想方法 PAGEREF _Tc21166 \h 58
\l "_Tc14849" ①函數(shù)與方程的思想 PAGEREF _Tc14849 \h 58
\l "_Tc8006" ②分類討論的思想 PAGEREF _Tc8006 \h 60
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第一部分：知識點必背
1、正弦定理
1.1正弦定理的描述
①文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
②符號語言：在中， 若角、及所對邊的邊長分別為，及，則有
1.2正弦定理的推廣及常用變形公式
在中， 若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤，，（可實現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）
⑥，，（可實現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號語言：在中，內(nèi)角，所對的邊分別是,則：
；
2.2余弦定理的推論
；
；
3、三角形常用面積公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).
4、常用結(jié)論
在三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若或
第二部分：高考真題回歸
1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．
【答案】.
【詳解】因為，所以．
故答案為：.
2．（2022·全國（甲卷文理）·統(tǒng)考高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．
【答案】##
【詳解】[方法一]：余弦定理
設(shè)，
則在中，，
在中，，
所以
，
當且僅當即時，等號成立，
所以當取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
[方法四]：判別式法
設(shè)，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時
所以當取最小值時，，即.
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)；
(2)．
【詳解】（1）由于， ，則．因為，
由正弦定理知，則．
（2）因為，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面積．
4．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
（2）由正弦定理得：，則，則，.
5．（2022·全國（乙卷文）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
【答案】(1)；
(2)證明見解析．
【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡得：
，故原等式成立．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形個數(shù)問題
典型例題
例題1．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)?？茧A段練習）在中，，則的解的個數(shù)是（ ）
A．0個B．2個C．1個D．1個或2個
【答案】B
【詳解】
如圖，在中，因為，
所以，
所以，所以可以構(gòu)成兩個三角形，
所以的解的個數(shù)是2個，故A，C，D錯誤.
故選：B.
例題2．（2023春·陜西榆林·高一?？茧A段練習）在中，，若解三角形時有兩解，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意作圖，如下圖所示
當x的值確定以后，以C為圓心，2為半徑的圓與c邊的交點即為頂點A的位置，
由圖可知，兩種臨界條件分別為：
（1）圓與c邊所在直線相切，此時，三角形只有一個解，
此時根據(jù)正弦定理，，可得；
（2）圓過B時，，三角形只有一個解，此時；
所以當時，三角形有兩個解，
所以x的取值范圍為.
故選：C.
例題3．（2023春·上海青浦·高一?？茧A段練習）如果滿足的恰有一個，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【詳解】由，得，
又，所以，
則當時，三角形只有一個解，
此時，
所以.
故答案為：.
例題4．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習）已知中，，若滿足上述條件的三角形有兩個，則的范圍是__________．
【答案】
【詳解】解：如圖所示，作，交于點為，垂足為，若要滿足題意，則有，
易知∴的范圍是.
故答案為：
練透核心考點
1．（2023春·天津靜?！じ咭混o海一中校考階段練習）在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，不解三角形，確定下列判斷正確的是（ ）
A．，，，有兩解B．，，，有一解
C．，，，有一解D．，，，無解
【答案】D
【詳解】因為，，如圖于，
由直角可得.
當或時，有一解；
當時，無解；
當時，有兩解.
結(jié)合四個選項，可知，選項A，B，C三項錯誤.
故選：D
2．（2023·全國·高一專題練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，若只有一解，則實數(shù)x的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【詳解】如圖， ，為正三角形，則點在射線上.易得當在時，只有一解，此時；當在或右邊時只有一解，此時.故 或
故選：D
3．（多選）（2023春·陜西西安·高一統(tǒng)考階段練習）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件判斷三角形的情況，則正確的是（ ）
A．，，，有兩解
B．，，，有兩解
C．，，，只有一解
D．，，，只有一解
【答案】CD
【詳解】對于A，因為，，則，由正弦定理，
得，顯然有唯一結(jié)果，即只有一解，A錯誤；
對于B，，，，由正弦定理得，無解，B錯誤；
對于C，，，，有，則，
由正弦定理得，有唯一解，C正確；
對于D，，，，有，則，此時，有唯一解，D正確.
故選：CD
4．（多選）（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為，且.若有兩解，則的值可以是（ ）
A．4B．5C．7D．10
【答案】BC
【詳解】解：如圖：
要使有兩個解，則，
即，解得：，
故選：BC
5．（2023·全國·高一專題練習）不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù)．
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，．
【答案】(1)一解
(2)兩解
(3)無解
【詳解】（1）由正弦定理，
∴，
∵，∴，
∴只有一解，三角形解的個數(shù)為一解.
（2）由正弦定理，
∴，∴，
∵，，∴，
∴有兩解，三角形解的個數(shù)為兩解.
（3）∵，∴，∴，
∴無解，三角形無解.
角度2：利用正弦定理解三角形
典型例題
例題1．（2023春·甘肅白銀·高一校考階段練習）在中，角的對邊分別為，已知 則（ ）
A．45°或135°B．135°
C．45°D．60°或120°
【答案】C
【詳解】由正弦定理得：得：，
因為，所以，所以.
故選：C
例題2．（多選）（2023春·河北邢臺·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習）在中，已知，，的外接圓面積為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，則，解得；
在中，由正弦定理得：，
又，則，
再由正弦定理得：，
因為，所以，則或，
故選：AD.
例題3．（2023·全國·高三專題練習）在平面四邊形中，，，求長度的取值范圍．
【答案】
【詳解】解：如圖所示：
延長AD，BC相交于點E，平移CD，當C，D重合于點E時，AD最大，
在中，，
由正弦定理得，
又，
所以，
平移CD，當D重合于點A，到AF位置時，AD最小，最小為0，
所以AD長度的取值范圍是
練透核心考點
1．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，，那么（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【詳解】因為，
由正弦定理，可得，
又因為，所以，故，所以.
故選：B.
2．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)?？茧A段練習）在三角形ABC中，已知，則三角形面積_________．
【答案】
【詳解】由正弦定理得，
，
，
.
故答案為：.
3．（2023春·河南洛陽·高一洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習）在中，角的對邊分別為，且，，則 _________.
【答案】
【詳解】由正弦定理得，
即，
，
∵，
∴，
，，
，
∴，
由正弦定理得，
所以 .
故答案為：
角度3：利用余弦定理解三角形
典型例題
例題1．（2023春·吉林·高一?？茧A段練習）冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化風格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想．某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求．該同學(xué)取端點繪制了，測得，，，，若點恰好在邊上，請幫忙計算的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得，
，
因為，所以，
在中，由正弦定理，
即，解得.
故選：C.
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，求角．
【答案】
【詳解】，，
，
整理可得，即，
所以，
，
.
例題3．（2023春·河北邢臺·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習）在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知為銳角，且.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，求面積的最大值；
(3)若，點為的中點，且，求邊的長.
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）為銳角，且，
，即，
由余弦定理可知，即，
又，即，所以，
故實數(shù)的值為1.
（2）由（1）得：，
又，即，當且僅當時取等號，
，當且僅當時取等號，
面積的最大值為.
（3）在中，，
，
，
，即①；
在中，，
，代入①化簡得：，
解得或（舍去），
的長為.
練透核心考點
1．（2023春·河北邢臺·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習）在中，角所對的邊分別為，已知，則角___________.
【答案】##
【詳解】由，
得，
所以，
則，
又，所以.
故答案為：.
2．（2023·全國·高三專題練習）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則C＝______
【答案】##
【詳解】由余弦定理得，即，所以，
又，所以，可得．
故答案為：
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知△ABC的角A，B，C對邊分別為a，b，c，滿足，且，
(1)求C；
(2)求△ABC外接圓的半徑R.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由可得，
∴，
∵，∴.
（2）∵，，
∴，
整理得，∴.
由正弦定理可得，
∴，即△ABC外接圓的半徑為.
角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023春·河北衡水·高一河北武強中學(xué)?？茧A段練習）已知銳角中，角，，的對邊分別為，，．若，，，則（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】C
【詳解】∵，，
∴，，
∴．
∵為銳角三角形，∴，∴．而，∴．
由余弦定理可得，∴，∴，
則．
故選：C
例題2．（多選）（2023春·山西太原·高一太原五中校考階段練習）在中，在邊上，且，，若，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．為銳角三角形C．的外接圓半徑為D．的內(nèi)切圓半徑為
【答案】ACD
【詳解】
設(shè)，則，
由，，可得，
在中，由正弦定理可得，
故A正確；
在中，由余弦定理，有：，
即：，解得，
故
在中，，
，
故
，
所以，
又，
由，
可知為鈍角三角形，故B錯誤；
設(shè)的外接圓半徑，
由正弦定理可得，，故C正確；
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，
則，
解得，故D正確．
故選:ACD．
例題3．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預(yù)測）中，，，，為邊上一點，且，則的面積等于________.
【答案】
【詳解】在中，，，，由余弦定理得：
，即有，而，解得，
由正弦定理得：，顯然為銳角，則，
，因為D為BC邊上一點，且，則，
所以的面積.
故答案為：
練透核心考點
1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在四邊形ABCD中，，，則的最大值為（ ）
A．25B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)（），則，
在中，由正弦定理可得，
又，
在中，，
，則，則，
在中，由余弦定理可得，
即，
又，則，
所以當，即時，取得最大值為．
故選：B．
2．（2023春·寧夏銀川·高一銀川二中?？茧A段練習）在△ABC中，若，，△ABC的面積，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由已知，
可得，
，
，
.
故選：D.
3．（2023春·河南鄭州·高一?？茧A段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．且，，，則______．
【答案】
【詳解】∵，根據(jù)正弦定理得，
∴，又，∴，，
再根據(jù)余弦定理得
∴，解得．
故答案為：．
高頻考點二：判斷三角形的形狀
典型例題
例題1．（2023春·河南周口·高三校考階段練習）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．銳角三角形
【答案】C
【詳解】因為，
由正弦定理（為外接圓的直徑），
可得，
所以．
又因為，所以．即為等腰三角形.
故選：C
例題2．（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習）在中，若，則的形狀是（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【詳解】因為，
所以，
所以.
因為，所以.
又因為，所以，為直角三角形.
故選：B
例題3．（2023春·陜西西安·高二西安中學(xué)校考期中）若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【詳解】由，得，
化簡得，
所以由余弦定理得，
因為，所以，
因為，
所以由正余弦定理角化邊得，化簡得，
所以，
所以為等邊三角形，
故選：B
例題4．（2023·全國·高一專題練習）在，若，則的形狀是________.
【答案】等腰三角形或直角三角形
【詳解】[方法一]：由余弦定理，，化簡得，
∴或，
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
故答案為：等腰三角形或直角三角形.
[方法二]：由可知，，即，，
由正弦定理結(jié)合題意可得，
即，
據(jù)此有或，
即或.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
故答案為：等腰三角形或直角三角形.
練透核心考點
1．（2023春·寧夏銀川·高一銀川二中校考階段練習）在△ABC中，已知，且，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【詳解】在△ABC中, ,
，故△ABC為直角三角形，
，即，
，
故△ABC為等腰三角形，
綜上：△ABC的形狀是等腰直角三角形.
故選：D.
2．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為，已知，，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等邊三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【詳解】由正弦定理得：，
，又，，
，則；
，，或，又，，
，為等邊三角形.
故選：C.
3．（2023春·全國·高一專題練習）在中，若，則是（ ）
A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
【答案】A
【詳解】解：因為，所以
所以，即，
因為，
所以，
因為，
所以，
因為，
所以，即是直角三角形.
故選：A
4．（2023春·浙江金華·高一校考階段練習）在中，滿足，則的形狀是________．
【答案】直角三角形
【詳解】，
，
整理得，
故是直角三角形.
故答案為：直角三角形.
高頻考點三：三角形面積相關(guān)問題
角度1：求三角形面積
典型例題
例題1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知在非 中，，，且，則的面積為（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【詳解】，
，
又不是直角三角形，
，
，即，
又，
，解得，
，即，
，
，
故選：C．
例題2．（2023春·山西太原·高一太原五中?？茧A段練習）在中，已知的平分線，則的面積為_____________.
【答案】
【詳解】如圖：
因為是的平分線，
所以，
不妨設(shè)，，
由題意得，
由余弦定理得：，，
所以，解得，負值舍去，
所以．
所以，
可得，
所以．
故答案為：.
例題3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學(xué)校考階段練習）在中，角所對的邊分別為，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題設(shè)，
，
又，故，解得.
（2）若，由（1）知：，解得，
又，故，即，所以，
所以是以為頂角的等腰三角形，，
所以的面積為.
例題4．（2023春·貴州·高二遵義一中校聯(lián)考階段練習）從①；②；③的外接圓的半徑為2且，這三個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并解答.
已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，__________.
(1)求角的大?。?br>(2)若，求的面積.
注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解:選①：因為，
所以，
即，
因為，所以，
即，即，
解得，因為，所以；
選②：因為，
在中，將正弦定理代入化簡可得：
，即，即，
在中，由余弦定理可得：，
因為，所以；
選③：因為的外接圓的半徑為2且，
在中，由正弦定理可得：
，解得，
因為，所以，所以；
（2）由（1）知，，，
在中，由余弦定理可得：，
即，解得，即，
所以，所以.
練透核心考點
1．（2023春·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，且，則該三角形的面積為（ ）
A．1B．2C．2D．
【答案】D
【詳解】因為，
所以，
所以．
由正弦定理得：，由余弦定理得，，
所以，因為，所以．
故選：D．
2．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知O是的外心，，若且，則的面積為____.
【答案】或24
【詳解】為的外心，，
，，
，
即；①
，
即；②
由得，③
把③代入①②得，解得或.
又，
當時，，；
當時，，.
故答案為：或24.
3．（2023·北京·?？寄M預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由，得，
因為所以，，所以，
因為，所以.
（2）由（1）知，，因為，所以，
因為，所以，
所以.
由正弦定理，得.
所以.
4．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習）在①，②，③向量，，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．
在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且__________．
(1)求角的大??；
(2)是線段上的點，且，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：選條件①，因為，
故，
所以，，
即，
、，所以，，則，故，
因此，.
選②，因為，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
，則；
選③，因為，，，
所以，，
由正弦定理可得，
即，
、，則，所以，，因此，.
（2）解：設(shè)，因為，則，
因為，所以，，，，
在中，由正弦定理可知，即，
即，化簡可得，即，
所以，，
所以，.
角度2：三角形面積的最值（范圍）
典型例題
例題1．（2023·全國·高一專題練習）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由余弦定理得：，
（當且僅當時取等號），，
，即面積的最大值為.
故選：A.
例題2．（2023春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？茧A段練習）在中，、、三個內(nèi)角所對的邊依次為、、，且，若，則的面積的最大值為___________
【答案】
【詳解】由余弦定理，，
∵，∴.
由余弦定理及基本不等式，，
∴，當且僅當時取等號，
∴當且僅當時，的面積的最大值為.
故答案為：.
例題3．（2023·全國·高一專題練習）在中，角所對的邊分別為，若
(1)求角.
(2)若角為鈍角，求面積的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）
，
即
又，即得
又或
（2）角為鈍角，
由余弦定理得：
角為鈍角，，即
例題4．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習）已知為銳角三角形，角所對的邊分別為，且．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：
，則，
所以或，即或，
所以，
因為為銳角三角形，可得，即，
解得：，所以，，，
故的取值范圍為.
（2）在中，由正弦定理可得
，又，
，
，
因為，
當時，，
當時，，
，
又，在上單調(diào)遞增，
當時，的面積最小，最小值為.
綜上所述，三角形面積的最小值為.
練透核心考點
1．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中校考階段練習）在銳角中，角所對的邊分別為，它的面積等于且，則的面積的取值范圍是_________.
【答案】
【詳解】，，
即，又，；
由得：，；
由正弦定理得：，，，
；
為銳角三角形，，解得：，
，，則，
.
故答案為：.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若為的垂心，，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題可得，
結(jié)合正弦定理可得，即，
∴，又，∴.
（2）設(shè)邊，上的高分別為，則為與的交點，
則在四邊形中，，
∵，∴，故，
在中，，，
則，即，
當且僅當時取等號.∴，故面積的最大值為.
3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學(xué)?？茧A段練習）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答．
已知的角對邊分別為，而且_____．
（I）求；
（Ⅱ）求面積的最大值．
【答案】（I）；（Ⅱ）
【詳解】解：（I）選①，∵a，
∴，
∵sinA≠0，
∴，即，
又0＜C＜π，
∴，故，即；
選②，∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，
∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，
∴，
∵0＜C＜π，
∴；
（Ⅱ）由（I）可知，，
在△ABC中，由余弦定理得，即，
∴
∴，當且僅當那個a＝b時取等號，
∴，即△ABC面積的最大值為．
4．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知的三個角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求邊；
(2)若是銳角三角形，且___________，求的面積的取值范圍.
要求：從①，②從這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并給出解答.如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）解法一：因為，
由余弦定理，得；
解法二：因為，
由正弦定理，得，
∴，
∴，即.
（2）選擇①：因為
所以，，
所以
因為是銳角三角形，
所以，又，所以，所以.
所以，所以，
所以，
所以.
選擇②：因為，則，
因為是銳角三角形，所以，
即，
所以，
因為，
所以，
所以
，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，
當時，函數(shù)取最大值，當時，，又，
所以，即，所以，
所以.
高頻考點四：三角形周長（邊）相關(guān)問題
角度1：求三角形周長（邊長）
典型例題
例題1．（2023春·貴州黔西·高一?？茧A段練習）在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．
(1)求角的大??；
(2)若，的面積為，求的值．
【答案】(1)
(2)2
【詳解】（1）由已知及正弦定理得，
∵
∵，

∵ ∴.
（2）∵ ∴,
又∵ ∴,
所以．
例題2．（2023春·天津河?xùn)|·高一天津市第四十五中學(xué)校考階段練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足.
(1)求角的大??；
(2)已知，的面積為，求邊長的值.
【答案】(1)；
(2)．
【詳解】（1）在中，由正弦定理得：
因為，所以，
從而，又 ，
所以，又，
所以；
（2）在中，，得，
由余弦定理得：．
所以．
例題3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學(xué)?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為且
(1)求角的大小；
(2)若，的面積為求的周長.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，由正弦定理有：
，
因為在中，，所以，
所以，由倍角公式有：，
因為在中，，所以，
所以，所以.
（2）由（1）有：，因為的面積為
所以，即，解得，
由余弦定理有：，
即，解得，所以，
所以的周長.
例題4．（2023春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？茧A段練習）在中，、、三個內(nèi)角所對的邊依次為、、，且．
(1)求角的大??；
(2)若，的面積為，求的周長
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，
且，，則，即，
且，所以.
（2）因為，則可得，
在中，由余弦定理可得，
代入可得，即，
且，
所以.
則的周長為.
練透核心考點
1．（2023春·陜西西安·高一西安市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A的大?。?br>(2)若，且的面積為，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意及正弦定理知，，
，
，.
（2），
又，
由①，②可得，
所以的周長為.
2．（2023春·浙江湖州·高一湖州中學(xué)?？茧A段練習）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且．
(1)求A；
(2)若，則的面積為，求的周長．
【答案】(1)
(2)6
【詳解】（1）由正弦定理得，
其中，
故，
因為，所以，故，
即，所以，
因為，所以，
故，解得；
（2）由三角形面積公式得，
故，
由余弦定理得，
解得，
故，解得，
故，周長為6.
3．（2023春·甘肅白銀·高一?？茧A段練習）在中，角、、的對邊分別為、、，且．
(1)求角的大??；
(2)若，的面積，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，
由正弦定理得，
因為，所以，即，
因為，所以.
（2），所以，
由余弦定理得，
所以的周長為．
4．（2023春·陜西西安·高二西安中學(xué)?？计谥校┮阎?，角所對的邊分別為，且，外接圓的半徑為.
(1)求A的值；
(2)若，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）依題意由，可得，
由正弦定理得，則，
故，而，
故，則，
而，故.
（2）因為外接圓的半徑為，即，，
故由正弦定理，得，
又，解得，
由余弦定理，，得，
又，故，則，
則的周長為.
角度2：三角形周長（邊長）的最值
典型例題
例題1．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）若的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足.
(1)求角；
(2)若，求周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由正弦定理可得：，
，，
（2）因為，，所以，故
由正弦定理得：
所以，
所以周長
因為，則，所以
故
求周長的取值范圍為.
例題2．（2023春·云南·高二校聯(lián)考階段練習）的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，求周長的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：由正弦定理知，所以，解得，
因為為鈍角，所以.
（2）解：由余弦定理得，
又由，則，
所以，
所以，當且僅當時，等號成立，即的最大值為，
所以周長的最大值為.
例題3．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)校考階段練習）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：由正弦定理及，
所以.
所以由余弦定理得，
又，所以.
（2）解：因為，，由余弦定理可得，
可得，所以，，
可得，當且僅當時取等號，
又由三角形三邊關(guān)系得，
所以的取值范圍是.
例題4．（2023·全國·高三專題練習）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行求解．
問題：在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知______，．
(1)求；
(2)求周長的取值范圍
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）選①：由得：，
由正弦定理得，
即，
化簡得，因為，所以，
由三角形內(nèi)角性質(zhì)知：．
選②：在中，由正弦定理得：，
因為，所以，
即，
因為，所以，
由三角形內(nèi)角性質(zhì)知：．
選③：在中，由得：，
由正弦定理得，由余弦定理得，
由三角形內(nèi)角性質(zhì)知：．
（2）由余弦定理得，
所以，解得，
當且僅當b＝c時等號成立，又，
所以，，
故周長的取值范圍是．
例題5．（2023春·山西太原·高一太原五中?？茧A段練習）已知銳角的面積是，．
(1)求的值；
(2)若，求周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由，得，，
所以，即，
在銳角中， ，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
在中，.
在中，得，
所以周長
，
因為是銳角三角形，
所以 ，解得，
所以
所以，
所以.
所以周長的取值范圍是.
練透核心考點
1．（2023春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考階段練習）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求；
(2)若，求周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），由倍角公式得，
由余弦定理，，化簡得，
則，由，得.
（2）由正弦定理得︰ ，
∴ ， ，，

，
由， ，∴， 即（當且僅當時，等號成立），
從而周長的取值范圍是
2．（2023春·河北邢臺·高三邢臺市第二中學(xué)?？茧A段練習）在四邊形中，四點共圓，，，．
(1)若，求的長；
(2)求四邊形周長的最大值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為四點共圓，所以，
因為，所以，
因為，
故，
在中，由余弦定理得：，
故，
在中，由正弦定理得：，即，
解得：；
（2）由（1）知：，，
在中，由余弦定理得：，
整理得：，故，
其中，故，
解得：，當且僅當時，等號成立，
故四邊形周長的最大值為.
3．（2023·全國·高三專題練習）在中，角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因為，
由正弦定理得，
即，
即，
因為，所以，
所以.
因為，所以，
所以，因為，所以.
（2）解：由正弦定理得，
所以
，
所以.
因為，所以，
所以，所以.
4．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習）在下列3個條件中任選一個，補充到下面問題，并給出問題的解答．
①；②；③；
已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，D為邊上的一點，______．
(1)求角C；
(2)若為角平分線，且，求最小值．
【答案】(1)
(2)4
【詳解】（1）選①，因為，
所以，則有
，∵，∴，即.
選②：因為，則，
所以，
則有
，∵
∴，即
選③：
，∵，∴
（2）由余弦定理得：，
由角平分線定理得：，得
則，
當且僅當時，等號成立.
5．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【詳解】（1）因為，即，
所以，即，
所以，即，
再由正弦定理可得，
（2）由（1）可知，，即，且，故，
由可得，即.
令，則，因為，則，
則，即，所以，，
且恒成立，即，解得，
所以.
第四部分：數(shù)學(xué)文化題
1．（2023·全國·高三專題練習）勾股定理被稱為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理，漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖1），證明了商高結(jié)論的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長，相同的長度（如將CA延長至D）得到圖2．在圖2中，若，，D，E兩點間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【詳解】連接，由條件可得，在中，由余弦定理得
，
∴，
∴，，
∴，
所以弦圖中小正方形的邊長為．
故選：C
2．（2023春·青海西寧·高三?？奸_學(xué)考試）1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了一種曲線，取一個正三角形，在每個邊以中間的三分之一部分為一邊，向外凸出作一個正三角形，再把原來邊上中間的三分之一部分擦掉，就成了一個很像雪花的六角星，如圖所示.現(xiàn)在向圓中均勻散落1000粒豆子，則落在六角星中的豆子數(shù)約為（，）（ ）
A．331B．481C．508D．577
【答案】D
【詳解】設(shè)原正三角形的邊長為3a，圓的半徑為R，
則由正弦定理得，即，所以圓的面積.
由題意，凸出來的小正三角形的邊長為a，則
六角星的面積，
則，
所以落在六角星中的豆子數(shù)約為，
故選：D.
3．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_學(xué)考試）我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》卷九“勾股”中有一測量問題：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何?這個問題體現(xiàn)了古代對直角三角形的研究，現(xiàn)有一豎立的木頭柱子，高4米，繩索系在柱子上端，牽著繩索退行，當繩索與底面夾角為75°時繩索未用盡，再退行米繩索用盡（繩索與地面接觸），則繩索長為（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】B
【詳解】解：依題意可得如下圖形：
則，，，所以，
所以
，
所以，所以，
所以繩索長為米.
故選：B
4．（2023·全國·高三專題練習）我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動.如圖（2），傘完全收攏時，傘圈已滑到的位置，且，，三點共線，，為的中點，當傘從完全張開到完全收攏，傘圈沿著傘柄向下滑動的距離為24cm，則當傘完全張開時，的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】依題意分析可知，當傘完全張開時，，
因為為的中點，所以，
當傘完全收攏時，，所以，
在中，，
所以.
故選： A
第五部分：高考新題型
①開放性試題
1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？茧A段練習）已知是一個銳角三角形的三邊長，請寫出一個的值__________.
【答案】（答案不唯一）
【詳解】因為是一個銳角三角形的三邊長，
所以，解得，任取一個的值，
故答案為：（答案不唯一）.
2．（2022秋·山東青島·高三?？茧A段練習）如圖所示，點在線段上，，，若再給出一條線段的長度，可以使唯一確定，這個線段可以是______（只需寫出代表該線段的字母，無需給出長度）
【答案】或或（三者填一個即可）
【詳解】依題意得：，，
所以在中，三個角度均已知，只要知道三邊中其中一條的數(shù)據(jù)，根據(jù)正弦定理即可求出剩余兩邊的數(shù)據(jù)，
于是在中，將會確定，且也已知，于是唯一確定.而給出無法確保三角形的存在性，
在中，根據(jù)正弦定理，，的取值將可能會讓有零解，一解或者兩解.
故答案為：或或（三者填一個即可）．
3．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且外接圓的面積為，請寫出一組滿足上述條件的邊和角：______，______．
【答案】 （答案不唯一）
【詳解】依題意，的外接圓半徑，由正弦定理得，即，又，
取，則.
故答案為：；
②探究性試題
1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考一模）△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．
(1)證明；△ABC是鈍角三角形；
(2)在四個條件① ② ③ ④中，哪三個條件同時成立能使△ABC存在？請說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)條件①③④同時成立能使△ABC存在，理由見解析
【詳解】（1）因為，由正弦定理可知．
由余弦定理可得，所以．
于是△ABC是鈍角三角形．
（2）由（1）知，若①成立，則；若②成立，則．
因為，所以①與②不能同時成立．③④將同時成立，
由正弦定理可得：．
若①③④同時成立，則，由（1）可知．從而，△ABC存在．
若②③④同時成立，則，△ABC不存在．
綜上，條件①③④同時成立能使△ABC存在．
③劣夠性試題
1．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．
(1)求B；
(2)在下面兩個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求BC邊上的中線的長度．
①的周長為；②面積為．
【答案】(1)
(2)選①，；選②，
【詳解】（1）依題意，，
由正弦定理得，，
由于，則，所以，．
（2）如圖所示，設(shè)D為BC的中點，則AD為BC邊上的中線．
若選①，由（1）知，設(shè)，
由，得，則，
故周長為，解得，所以，，
則在中，由余弦定理得，解得．
若選②，已知，得，即，則，
在中，由余弦定理得，
所以，因此BC邊上的中線長為．
2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）請從①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評分.選擇的編號請?zhí)顚懙酱痤}卡對應(yīng)位置上）
在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若___________，
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC為銳角三角形，，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）若選①
因為，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，所以，即，
因為，所以.
若選②
由，化簡得.
由正弦定理得：，即，所以.
因為，所以.
若選③
由正弦定理得，即，
因為，所以，
所以，所以，
又因為，所以.
（2）在中，由正弦定理，得，
由（1）知：，又с=1代入上式得：
因為為銳角三角形，所以，解得，
所以，，
所以.
第六部分：數(shù)學(xué)思想方法
①函數(shù)與方程的思想
1．（2023·全國·高一專題練習）在中，角所對的邊分別為，，，則面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由得：，
即，由正弦定理得：；
由余弦定理得：，，
即，，，
，
，，
，
則當時，，.
故選：A.
2．（2023·廣東廣州·高三?？迹┮阎膬?nèi)角的對邊分別為，滿足，
(1)求；
(2)是線段邊上的點，若，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，，，
所以，即，
又，所以，
又，所以，則，故，
又，所以.
（2）設(shè)，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，，
所以，，整理得①，
在中，由余弦定理得，則②，
由①－②得，故，
將代入①式得，
所以的面積.
.
3．（2023·高二課時練習）若，求的最大值．
【答案】
【詳解】設(shè)，則，
根據(jù)面積公式，得，
所以；
根據(jù)余弦定理，得，
代入上式，得
，
所以當時，的最大值為8，即時，的最大值為，
此時，，，滿足條件，
所以的最大值為.
②分類討論的思想
1．（2023秋·吉林·高一吉林一中?？茧A段練習）已知中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．若為直角三角形，則的面積為________．
【答案】或
【詳解】由正弦定理，可化為：
，即，
所以，，所以，
又為直角三角形，
若，則，，，，
若，則，，，．
2．（2023·遼寧·高二統(tǒng)考）△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若．
(1)求A的大??；
(2)若，，求a．
【答案】(1)或；
(2)答案見解析.
【詳解】（1）解：由以及正弦定理可得，.
又，所以.
因為，所以或.
（2）解：當時，，由余弦定理可得，
，，
解得；
當時，，由余弦定理可得，
，，
解得.
綜上所述，當時，；當時，.
3．（2023春·云南文山·高一校考階段練習）在△ABC中，已知，b＝1，B＝30°．
(1)求角A；
(2)求△ABC的面積．
【答案】(1)A＝90°或A＝30°；
(2)或．
【詳解】（1）由得：．
由且C為三角形內(nèi)角，則，故或，而B＝30°，
所以A＝90°或A＝30°．
（2）當A＝90°時，．
當A＝30°時，，
所以△ABC的面積為或．

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