A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過第三象限，則a的值可以是（ ）
A．B．2C．D．
2．（2023秋·四川成都·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·青海西寧·高一統(tǒng)考期末）已知點在冪函數(shù)的圖象上，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f (x)，，則函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且是方程的兩根，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023秋·遼寧鞍山·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，且，滿足，若，且，，則的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．無法判斷
8．（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）設(shè)二次函數(shù)在上有最大值，最大值為，當(dāng)取最小值時，的值為（ ）
A．0B．1C．D．4
二、多選題
9．（2023秋·四川成都·高一統(tǒng)考期末）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則（ ）
A．B．
C．函數(shù)的定義域為D．函數(shù)的值域為
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
11．（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知冪函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點，則實數(shù)__________.
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對于，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為___________.
四、解答題
13．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點．
(1)求的解析式，并指明函數(shù)的定義域；
(2)設(shè)函數(shù)，用單調(diào)性的定義證明在單調(diào)遞增．
14．（2023秋·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
15．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；
(2)解不等式．
B能力提升
1．（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.
2．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)在定義域上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為____.
3．（2023秋·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)
①當(dāng)時，不等式的解集為______；
②若是定義在R上的增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為______．
4．（2023秋·北京房山·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)存在最小值，則的一個取值為______；的最大值為______.
C綜合素養(yǎng)
1．（2023秋·四川成都·高三樹德中學(xué)?？计谀┰O(shè)表示函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值.若正實數(shù)滿足，則正實數(shù)的取值范圍是______.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則____．
3．（2023秋·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．
4．（2023秋·重慶銅梁·高一校聯(lián)考期末）已知定義在上的函數(shù)，滿足.
(1)求的解析式.
(2)若在區(qū)間上的最小值為6，求實數(shù)的值.
第04講 冪函數(shù)與二次函數(shù) (精練（分層練習(xí)）
A夯實基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過第三象限，則a的值可以是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【詳解】當(dāng)時，為偶函數(shù)，圖象在第一和第二象限，
不經(jīng)過第三象限，A不合題意；
當(dāng)時，為偶函數(shù)，圖象過原點分布在第一和第二象限，
圖象不經(jīng)過第三象限，B不合題意；
當(dāng)時，，圖象過原點分布在第一象限，不經(jīng)過第三象限，C不合題意；
當(dāng)時，為奇函數(shù)，圖象經(jīng)過原點和第一、三象限，D符合題意，
故選：D
2．（2023秋·四川成都·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】因為的對稱軸為，且其圖象開口向上，
所以或，解得或，所以的取值范圍是.
故選：B.
3．（2023秋·青海西寧·高一統(tǒng)考期末）已知點在冪函數(shù)的圖象上，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，
，即點在冪函數(shù)的圖象上，
2，即，故.
故選：D.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f (x)，，則函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】,對稱軸,當(dāng),又因為,
所以函數(shù)的值域為.
故選:D
5．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】的圖像的對稱軸為，
因為函數(shù)在區(qū)間上時單調(diào)函數(shù)，
所以或，
得或，
即的取值范圍是，
故選：D
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且是方程的兩根，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】為二次函數(shù)，開口向上，
因為是方程的兩根，
故為圖象與軸的兩個交點橫坐標(biāo)，
其中，
畫出圖象如下：
顯然，
故選：C
7．（2023秋·遼寧鞍山·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，且，滿足，若，且，，則的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．無法判斷
【答案】A
【詳解】對任意的，且，滿足，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，
是冪函數(shù)，可得，解得或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，不滿足單調(diào)性，排除，
故，．
，，故恒成立．
故選：A
8．（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰O(shè)二次函數(shù)在上有最大值，最大值為，當(dāng)取最小值時，的值為（ ）
A．0B．1C．D．4
【答案】A
【詳解】由題意可得：，即，
且的對稱軸為，
故，
令，則，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
即當(dāng)時，取最小值2.
故選：A.
二、多選題
9．（2023秋·四川成都·高一統(tǒng)考期末）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則（ ）
A．B．
C．函數(shù)的定義域為D．函數(shù)的值域為
【答案】BD
【詳解】因為是冪函數(shù),所以,解得,故B正確;
所以,又因的圖像經(jīng)過點,所以,所以,解得,故A錯誤;
因為,則其定義域,值域均為,故C錯誤,D正確.
故選:BD.
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【詳解】由解得，
所以，
函數(shù)圖象如圖所示，
由圖可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，
故選：AC
三、填空題
11．（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知冪函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點，則實數(shù)__________.
【答案】
【詳解】由已知函數(shù)為冪函數(shù)，
得，解得或，
當(dāng)時，，定義域為，函數(shù)圖像不經(jīng)過原點，
當(dāng)時，，定義域為，且，函數(shù)圖像經(jīng)過原點，
綜上所述：，
故答案為：.
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對于，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【詳解】由題意，可得，即，
當(dāng)時，，所以在上恒成立，
只需，
當(dāng)時有最小值為1，則有最大值為3，
則，實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
四、解答題
13．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點．
(1)求的解析式，并指明函數(shù)的定義域；
(2)設(shè)函數(shù)，用單調(diào)性的定義證明在單調(diào)遞增．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【詳解】（1）設(shè)，則，，
則，
的定義域是；
（2）由（1）知，任取，則
，
，，，，
，即，
在上單調(diào)遞增．
14．（2023秋·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為是冪函數(shù)，所以，即
解得或2，
因為在上單調(diào)遞增，所以，即；
（2）由（1）知即，要使此不等式在上恒成立，
只需使函數(shù)在上的最小值大于0即可，
因為在上單調(diào)遞減，
所以，
由，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.
15．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，不等式的解集為，
當(dāng)時，不等式的解集為，
當(dāng)時，不等式的解集為，
【詳解】（1）函數(shù)的對稱軸，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)
依題意得或，
解得或，
所以實數(shù)的取值范圍為.
（2）由，
即，
即，
令
得方程的兩根分別為，
當(dāng)，即時，不等式的解集為，
當(dāng)，即時，不等式的解集為，
當(dāng)，即時，不等式的解集為，
綜上，當(dāng)時，不等式的解集為，
當(dāng)時，不等式的解集為，
當(dāng)時，不等式的解集為，
B能力提升
1．（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，即在上遞增，則，
當(dāng)時，函數(shù)是二次函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)性質(zhì)知，，
則有，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
2．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)在定義域上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為____.
【答案】
【詳解】函數(shù)f（x）＝x2﹣2x的對稱軸方程為x＝1，在[﹣1，1]上為減函數(shù)，且值域為[﹣1，3]，
當(dāng)x≥1時，函數(shù)為增函數(shù)，且
∴要使函數(shù)f（x）＝x2﹣2x在定義域[﹣1，n]上的值域為[﹣1，3]，實數(shù)n的取值范圍是[1，3]．
故答案為：[1，3]
3．（2023秋·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)
①當(dāng)時，不等式的解集為______；
②若是定義在R上的增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為______．
【答案】
【詳解】①時，，由得x無解，或.
故所求解集為；
②是定義在R上的增函數(shù)等價于單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，且，
則有，故實數(shù)m的取值范圍為.
故答案為：；.
4．（2023秋·北京房山·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)存在最小值，則的一個取值為______；的最大值為______.
【答案】 0（答案不唯一） 4
【詳解】對于，在上遞減，上遞增，在R上的最小值為0；
對于，開口向上且對稱軸為，
所以，在上遞減，上遞增，在R上的最小值為；
綜上，對于f(x)：當(dāng)時，在上遞減，上遞增，
此時恒成立，所以不存在最小值；
當(dāng)時，在上遞減，上遞增，此時最小值為0；
當(dāng)時，在上遞減，,上遞增，且，
又，
若時，，此時最小值為0；
若時，，此時最小值為0；
若時，，此時最小值為0；
若時，，此時最小值為0；
若時，，此時不存在最小值；
綜上，，故m的最大值為4.
故答案為：0（答案不唯一），4
C綜合素養(yǎng)
1．（2023秋·四川成都·高三樹德中學(xué)?？计谀┰O(shè)表示函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值.若正實數(shù)滿足，則正實數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】函數(shù)的圖像如下：
的對稱軸為，；當(dāng)時，，
分類討論如下：
（1）當(dāng)時，，,
依題意，，而函數(shù)在時是增函數(shù)，此時，故不可能；
（2）當(dāng)時，，
依題意，，即，
令，解得：，
則有：并且，解得：；
或者并且，無解；
綜上：
故答案為：
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則____．
【答案】或##3或1
【詳解】解：函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象縱向?qū)φ圩儞Q得到的，
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
則函數(shù)的最大值只能在或處取得，
若時，函數(shù)取得最大值3，
則，，
當(dāng)時，時，，滿足條件；
當(dāng)時，時，，不滿足條件；
若時，函數(shù)取得最大值3，
則，，或，
當(dāng)時，時，，不滿足條件；
當(dāng)時，時，，滿足條件；
綜上所述：值為1或3；
故答案為：1或3．
3．（2023秋·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）解：依題設(shè)，
由，得，
，得恒成立，
∴，
得，
所以，又，
所以，
∴；
（2）解：由題意可得：，，
若，則，則在[0,1]上單調(diào)遞增，
所以；
若，當(dāng)，即時，在[0,1]上單調(diào)遞增，
當(dāng)，只須比較與的大小，
由，得：，此時，
時，，此時，
綜上，，
時，，
時，，
時，，
綜上可知：的最小值為．
4．（2023秋·重慶銅梁·高一校聯(lián)考期末）已知定義在上的函數(shù)，滿足.
(1)求的解析式.
(2)若在區(qū)間上的最小值為6，求實數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)或.
【詳解】（1）由，
令，即，，
則，，
所以.
（2）函數(shù)對稱軸為，
當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則此時，，解得或（舍去）.
當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則此時，，不符合題意.
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則此時，，解得（舍去）或.
綜上所述，或.

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