A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（ ）
A．110B．128C．144D．89
2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足，則（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
3．（2023春·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，，則該數(shù)列的前4項依次為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前10項和（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列{an}的前n項和為，，，則（ ）
A．64B．62C．32D．30
6．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，若表示不超過的最大整數(shù)，則（ ）
A．1B．2C．3D．5
7．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項和為，則使得最小時的n是（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠縣第一中學(xué)校聯(lián)考二模）九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串.在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需要移動的最少次數(shù)，數(shù)列滿足，且，則（ ）
A．287B．272C．158D．143
二、多選題
9．（2023春·遼寧本溪·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，，則（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023春·山東淄博·高二山東省淄博實驗中學(xué)校聯(lián)考期中）數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的有（ ）
A．B．是周期數(shù)列C．D．
三、填空題
11．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為______．
12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，若，則的值為___________.
四、解答題
13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項公式；
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)，通項為的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求的取值范圍．
15．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，.
(1)求的通項公式；
B能力提升
1．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列共有100項，滿足，且，則符合條件的不同數(shù)列有（ ）個．
A．4753B．4851C．4937D．4950
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，最早記載九連環(huán)的典籍是《戰(zhàn)國策·齊策》，《紅樓夢》第7回中有林黛玉解九連環(huán)的記載，我國古人已經(jīng)研究出取下n個圓環(huán)所需的最少步驟數(shù)，且，，，，，，…，則取下全部9個圓環(huán)步驟數(shù)最少為（ ）
A．127B．256C．341D．512
3．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)
C．
D．，總存在，使得成立
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他的著作《算盤書》中，從兔子的繁殖問題得到一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，這個數(shù)列稱斐波那契數(shù)列，也稱兔子數(shù)列.斐波那契數(shù)列中的任意一個數(shù)叫斐波那契數(shù).人們研究發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)在自然界中廣泛存在，如圖所示：
大多數(shù)植物的花斑數(shù)、向日葵花盤內(nèi)葵花籽排列的螺線數(shù)就是斐波那契數(shù)等等，而且斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著直接的應(yīng)用.設(shè)斐波那契數(shù)列為，其中，有以下幾個命題：①；②；③；④.其中正確命題的序號是________.
5．（2023春·浙江寧波·高二余姚中學(xué)?？计谥校┍本┒瑠W會開幕式上，由所有參賽國家和地區(qū)的引導(dǎo)牌“小雪花”與橄欖枝編織而成的主火炬臺“大雪花”給全世界留下了深刻印象，以獨特浪漫的方式彰顯了“一起向未來”的北京冬奧主題和“更高、更快、更強、更團結(jié)”的奧林匹克格言.1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫把雪花的六角結(jié)構(gòu)理想化，構(gòu)造出了“雪花曲線”：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖）.反復(fù)進行這一過程就可以得到“雪花曲線”.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為1，則圖③中的圖形比圖②中的圖形新增的面積為________，如果這個操作過程可以一直繼續(xù)下去，那么所得圖形的面積將趨近于________·
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)若，求的通項公式.
(2)若，求的通項公式.
第01講 數(shù)列的概念與簡單表示法
A夯實基礎(chǔ) B能力提升
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（ ）
A．110B．128C．144D．89
【答案】C
【詳解】已知表示第n行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個數(shù)，
則由于每個白圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和一個黑圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和2個黑圈，
所以，，
又因為，，
所以，；
，；
，；
，；
，；
．
故選：C.
2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足，則（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】B
【詳解】由題意，，，
兩式相減，得，
．
，．
當(dāng)時，，，
是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
．
故選：B
3．（2023春·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，，則該數(shù)列的前4項依次為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】把，2，3，4依次代入通項公式，得，，
，.
故選：A
4．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前10項和（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】∵，，，
∴數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴，∴．
∴，
∴數(shù)列的前10項和為
．
故選：C．
5．（2023春·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列{an}的前n項和為，，，則（ ）
A．64B．62C．32D．30
【答案】B
【詳解】，，
則，，，.
故.
故選：B
6．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，若表示不超過的最大整數(shù)，則（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】A
【詳解】因為，，
所以，，，，
，，，，
，
∴．
故選：A．
7．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項和為，則使得最小時的n是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【詳解】當(dāng)時，數(shù)列恒為負，
當(dāng)時，數(shù)列恒為正，
所以當(dāng)時最小.
故選:B.
8．（2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠縣第一中學(xué)校聯(lián)考二模）九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串.在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需要移動的最少次數(shù)，數(shù)列滿足，且，則（ ）
A．287B．272C．158D．143
【答案】D
【詳解】因為數(shù)列滿足，且，
所以，
,
所以.
故選：D.
二、多選題
9．（2023春·遼寧本溪·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【詳解】對于A項，因為，所以，故A項正確；
對于B項，因為，所以，故B項錯誤；
對于C項，因為，
所以，，，
觀察可知，所以數(shù)列是周期數(shù)列，周期是3，
則，故C項正確；
對于D項，，故D項正確.
故選：ACD.
10．（2023春·山東淄博·高二山東省淄博實驗中學(xué)校聯(lián)考期中）數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的有（ ）
A．B．是周期數(shù)列C．D．
【答案】ABC
【詳解】由題意，數(shù)列滿足，，
當(dāng)n=1時，；當(dāng)n=2時，；
當(dāng)n=3時，；當(dāng)n=4時，；
當(dāng)n=5時，；當(dāng)n=6時，，，
歸納可得數(shù)列構(gòu)成以4為周期的周期數(shù)列，所以A正確，B正確；
又由，所以C正確；
因為，所以，所以D錯誤．
故選：ABC．
三、填空題
11．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為______．
【答案】
【詳解】，兩邊同除得：
，
所以，即，
化簡得，∵，∴．
故答案為：.
12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，若，則的值為___________.
【答案】
【詳解】由已知可得，，，，，，
所以，是一個周期數(shù)列，周期為3，
所以，.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項公式；
【答案】
【詳解】數(shù)列滿足，
，
，
且，所以當(dāng)n=1時成立.
所以.
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)，通項為的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求的取值范圍．
【答案】
【詳解】依題意，可得，即，解得．
15．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，.
(1)求的通項公式；
【答案】(1)；
【詳解】（1）∵，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以，即（），
又∵也適合，
∴；
B能力提升
1．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列共有100項，滿足，且，則符合條件的不同數(shù)列有（ ）個．
A．4753B．4851C．4937D．4950
【答案】B
【詳解】因為，所以或，
因為，
又，所以，
不妨設(shè)99個差中有個5，個，則，解得，
于是，所求數(shù)列的99個差中，有97個5，2個，
因為這97個5，2個的每一個排列均唯一對應(yīng)一個滿足條件的數(shù)列，
所以所求數(shù)列的個數(shù)為.
故選：B.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，最早記載九連環(huán)的典籍是《戰(zhàn)國策·齊策》，《紅樓夢》第7回中有林黛玉解九連環(huán)的記載，我國古人已經(jīng)研究出取下n個圓環(huán)所需的最少步驟數(shù)，且，，，，，，…，則取下全部9個圓環(huán)步驟數(shù)最少為（ ）
A．127B．256C．341D．512
【答案】C
【詳解】由觀察可得若時，當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，，∴，
又，∴，∴，
故選：C．
3．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)
C．
D．，總存在，使得成立
【答案】BCD
【詳解】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，3，6，10，…，
則有，
利用累加法，得，得到，n=1時也成立；
正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，4，9，16，…，
則有，
利用累加法，得，得到，n=1時也成立.
對于A，，利用裂項求和法：，故A錯誤；
對于B，令，解得；
令，解得；故B正確；
對于C，，則
，
整理得，，故C正確；
對于D，取，且，則令，
則有，故，總存在，使得成立，
故D正確.
故選：BCD.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他的著作《算盤書》中，從兔子的繁殖問題得到一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，這個數(shù)列稱斐波那契數(shù)列，也稱兔子數(shù)列.斐波那契數(shù)列中的任意一個數(shù)叫斐波那契數(shù).人們研究發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)在自然界中廣泛存在，如圖所示：
大多數(shù)植物的花斑數(shù)、向日葵花盤內(nèi)葵花籽排列的螺線數(shù)就是斐波那契數(shù)等等，而且斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著直接的應(yīng)用.設(shè)斐波那契數(shù)列為，其中，有以下幾個命題：①；②；③；④.其中正確命題的序號是________.
【答案】①②③
【詳解】斐波那契數(shù)列從第項起，每一項都是前項的和，所以，①正確.
，②正確.
，所以③正確.
當(dāng)時，，，所以④錯誤.
故答案為：①②③
5．（2023春·浙江寧波·高二余姚中學(xué)?？计谥校┍本┒瑠W會開幕式上，由所有參賽國家和地區(qū)的引導(dǎo)牌“小雪花”與橄欖枝編織而成的主火炬臺“大雪花”給全世界留下了深刻印象，以獨特浪漫的方式彰顯了“一起向未來”的北京冬奧主題和“更高、更快、更強、更團結(jié)”的奧林匹克格言.1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫把雪花的六角結(jié)構(gòu)理想化，構(gòu)造出了“雪花曲線”：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖）.反復(fù)進行這一過程就可以得到“雪花曲線”.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為1，則圖③中的圖形比圖②中的圖形新增的面積為________，如果這個操作過程可以一直繼續(xù)下去，那么所得圖形的面積將趨近于________·
【答案】 / /
【詳解】若第幅圖中圖形的邊數(shù)記為，則，又，
故
注意到每次操作都是使得原來圖形的每條邊上長出一個小三角形，設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為1，面積，
故第幅圖比第幅圖新增部分的面積，
則圖③中的圖形比圖②中的圖形新增的面積為；
從而圖形的總面積
，
當(dāng)時，，不斷地趨于，
.
故答案為：；.
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)若，求的通項公式.
(2)若，求的通項公式.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)，展開得，
與比對系數(shù)求得，
所以，，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以；
（2）時，可化為，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，即.

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