一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A，B，由此能求出.
【詳解】因為集合，，所以
.
故選：B.
2. 復數(shù)對應的點在復平面內(nèi)的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用復數(shù)的乘法化簡復數(shù)，利用復數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.
【詳解】因為，因此，復數(shù)對應的點在復平面內(nèi)的第二象限.
故選：B.
3. 設，則“”充要條件是（ ）
A. a，b不都為1B. a，b都不為0
C. a，b中至多有一個是1D. a，b都不為1
【答案】D
【解析】
【分析】由，求得且，即可求解.
【詳解】由，可得，所以且，
所以“”的充要條件是“都不為”.
故選：D.
4. 已知函數(shù)的定義域為R，且是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列選項中值一定為0的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)定義的抽象式，采用賦值法求解，再構造滿足條件的函數(shù)，判斷錯誤選項.
【詳解】由偶函數(shù)，得，
由為奇函數(shù)，得，即，
則有，于是，即，
因此，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
由，，得，由，，得，B正確；
令，則有，
，即，
定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，
此時，A錯誤；
，C錯誤；
，D錯誤.
故選：B
5. 若，則的大小關系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對應的冪函數(shù)單調(diào)性進行求解.
【詳解】由題意得函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為，所以得：，故A項正確.
故選：A.
6. 設，，則
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】分析：求出，得到的范圍，進而可得結(jié)果．
詳解：.
,即
又
即
故選：B.
7. 若定義在上的函數(shù)滿足且時，，則方程的根的個數(shù)是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意作出函數(shù)與的圖象，兩圖象的交點個數(shù)即為方程的根的個數(shù).
【詳解】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).
又時，，所以函數(shù)的圖象如圖所示.
再作出的圖象，易得兩圖象有個交點，所以方程有個零點．故應選A．
【點睛】本題考查函數(shù)與方程.函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標之間是可以等價轉(zhuǎn)化的.
8. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時，，若關于的方程至少有兩解，則的取值范圍為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性與周期性，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)交點情況，進而確定方程解的情況.
【詳解】由已知，則，則，
可知函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期，
又當時，，
可知函數(shù)的圖象如圖所示，且的值域為，
關于的方程至少有兩解，
可得函數(shù)y=fx與函數(shù)的圖象至少有兩個交點，
如圖所示，

可知當時，，解得，即，
當時，，解得，即，
綜上所述，
故選：C.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 與表示同一個函數(shù)
B. 函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為
C. 已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是
D. 函數(shù)的值域為
【答案】ABD
【解析】
【分析】選項A，利用相等函數(shù)的定義，即可求解；選項B，根據(jù)條件，利用抽象函數(shù)的定義，得到的定義域為，即可求解；選項C，利用分段函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；選項D，通過換元，將問題轉(zhuǎn)化成求的值域，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】對于選項A，因為的定義域需滿足，
解得，的定義域需滿足，解得，
故兩函數(shù)有相同的定義域及對應關系，表示同一個函數(shù)，所以選項A正確；
對于選項B，因為函數(shù)的定義域為，由，得，所以的定義域為，
對于函數(shù)，由，得，
所以函數(shù)的定義域為，所以選項B正確；
對于選項C，由題意可得，解得，即，所以選項C錯誤；
對于選項D，令，（），則，
所以函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當時，y有最小值，所以函數(shù)的值域為，所以選項D正確.
故選：ABD.
10. 對于定義域為的函數(shù)，若存在區(qū)間，同時滿足下列條件：①在上是單調(diào)的；②當定義域是時，的值域也是，則稱為該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由 “和諧區(qū)間”定義，結(jié)合每個函數(shù)進行判斷，逐一證明函數(shù)存在或不存在“和諧區(qū)間”即可
【詳解】對A，可知函數(shù)單調(diào)遞增，則若定義域為時，值域為，故不存在“和諧區(qū)間”；
對B，，可假設在存在“和諧區(qū)間”，函數(shù)為增函數(shù)，若定義域為時，值域為，則，解得（符合），（舍去），故函數(shù)存在“和諧區(qū)間”；
對C，，對稱軸為，先討論區(qū)間，函數(shù)為減函數(shù)，若定義域為時，值域為，則滿足，解得，故與題設矛盾；同理當時，應滿足，解得，故無解，所以不存在“和諧區(qū)間”；
對D，為單增函數(shù)，則應滿足，可將解析式看作，，由圖可知，兩函數(shù)圖像有兩個交點，則存在“和諧區(qū)間”
故選BD
【點睛】本題考查函數(shù)新定義，函數(shù)基本性質(zhì)，方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，屬于難題
11. 已知函數(shù)，若方程有四個不同的零點，，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】在同一直角坐標系內(nèi)作出和圖象，結(jié)合圖象，可判定A正確；再由圖象得到且，，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.
【詳解】如圖所示，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)和的圖象，
由圖象知，要使得方程有四個不同的零點，只需，所以A正確；
對于B中，因為，
且函數(shù)關于對稱，
由圖象得，且，
所以，可得，則，
所以，其中，
令，當且僅當時，取得最小值，
所以，所以B正確；
對于C中，是的兩個根，
所以，即，所以，
由是的兩個根，所以，
所以，所以C不正確；
對于D中，由，可得，
令，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，，所以D正確.
故選：ABD.
【點睛】知識方法點撥：求解復合函數(shù)的零點個數(shù)或方程解的個數(shù)與范圍問題的策略：
1、先換元解“套”，令，則，再作出和的圖象；
2、由函數(shù)的圖象觀察有幾個的值滿足條件，結(jié)合的值觀察的圖象，求出每一個被對應，將的個數(shù)匯總后，即為的根的個數(shù)，即“從外到內(nèi)”.
3、由零點的個數(shù)結(jié)合與的圖象特點，從而確定的取值范圍，進而決定參數(shù)的范圍，即“從內(nèi)到外”，此法成為雙圖象法（換元+數(shù)形結(jié)合）.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. ________.
【答案】12##0.5
【解析】
【分析】根據(jù)，，再根據(jù)對數(shù)的運算即可得出答案.
【詳解】因為，
，
所以.
故答案為：.
13. 若命題“”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，即“”是真命題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)對的符號分類討論即可.
【詳解】根據(jù)題意可得“”是真命題，
當，即時，命題成立；
當時，得，解得，
綜上，符合題意的實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 若關于的不等式恰有個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】分和兩種情況作出圖象，根據(jù)不等式的解集即可求解.
【詳解】當時，作出和的圖象，
由圖像可知沒有整數(shù)解，不符合題意；
當時，作出和的圖象，
因為恰有個整數(shù)解，
所以是不等式的整數(shù)解，
所以，解得，
即實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 記為等差數(shù)列的前項和，已知．
（1）求的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結(jié)果；
（2）先求，討論的符號去絕對值，結(jié)合運算求解.
【小問1詳解】
設等差數(shù)列的公差為，
由題意可得，即，解得，
所以，
【小問2詳解】
因為，
令，解得，且，
當時，則，可得；
當時，則，可得
；
綜上所述：.
16. 在中，角所對的邊分別為a,b,c，已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，則得到；
（3）法一：根據(jù)大邊對大角確定為銳角，則得到，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.
【小問1詳解】
設，，則根據(jù)余弦定理得，
即，解得（負舍）；
則.
【小問2詳解】
法一：因為為三角形內(nèi)角，所以，
再根據(jù)正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因為，則
【小問3詳解】
法一：因為，且B∈0,π，所以，
由（2）法一知，
因為，則，所以，
則，
.
法二：，
則，
因為為三角形內(nèi)角，所以，
所以
17. 已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．

（1）求證平面；
（2）求平面與平面的夾角余弦值；
（3）求點到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；
（2）建立適當空間直角坐標系，計算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計算即可得解；
（3）借助空間中點到平面的距離公式計算即可得解.
【小問1詳解】
取中點，連接，，
由是的中點，故，且，
由是的中點，故，且，
則有、，
故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，
故平面；
【小問2詳解】
以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
有A0,0,0、、、、C1,1,0、，
則有、、，
設平面與平面的法向量分別為、，
則有，，
分別取，則有、、，，
即、，
則，
故平面與平面的夾角余弦值為；
【小問3詳解】
由，平面的法向量為，
則有，
即點到平面的距離為.
18. 已知函數(shù)表達式為且
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若方程 有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）已知若方程的解分別為，，
方程的解分別為，，求的最大值.
【答案】（1）
（2）;
（3）.
【解析】
【分析】（1）將點代入解析式中求出的值，即可求得函數(shù)解析式
（2）結(jié)合已知條件得到方程，然后令，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程并求根，然后根據(jù)自變量的取值范圍即可求出參數(shù)的取值范圍；
（3）首先通過求解含絕對值的方程，得到，同理解方程，得到，然后根據(jù)指數(shù)運算可得，最后根據(jù)的取值范圍即可求解的最大值.
【小問1詳解】
由可得，又，，；
【小問2詳解】
由和方程
可得：，令，
可得，則有，
且方程有兩個不同的實數(shù)解，
，解得：.
【小問3詳解】
由，得或，
所以，，，
由，得，，
，，
又因為，所以；
，，
即的最大值為.
19. 已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.
（1）用表示出，；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍；
（3）證明：.
【答案】（1）.
（2）
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的結(jié)合意義，列出等式，即可求解；
（2）由在上恒成立，設函數(shù)，求得其導數(shù)，分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)不等式恒成立，求得參數(shù)范圍.
（3）利用（2）的結(jié)論，可得當時，，令 ，則可推得，將這n個不等式累加,即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
由可得，
則，且，
則.
【小問2詳解】
由（1）知，，
令，
則 ，
當時，，
若，則，是減函數(shù)，所以 ，這與題意不符；
當時， ，
若，則，僅當時等號成立，是增函數(shù)，
所以，即恒成立，僅當時等號成立，
綜上所述，所求a的取值范圍為.
【小問3詳解】
由（2）知，當 時，有 ，
取，有，且當時，，
令，則 ，
即，
即，，，，
將上述n個不等式依次相加得 ，
兩邊加，整理得
【點睛】關鍵點點睛：證明不等式時，要利用（2）中結(jié)論，即當 時，有 ，取，有，且當時，，因此解答的關鍵點就在于要采用賦值的方法，即令，得到，然后采用累加的方法，即可證明.

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