一、單選題（本題共8小題 每小題5分 共40分）
1. 已知集合，，，則M、N、P的關系滿足（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先將集合化簡變形成統(tǒng)一形式，然后分析判斷即可.
【詳解】因為，
所以．
故選：B．
2. 已知集合，若集合有15個真子集，則實數的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據真子集的定義，推斷出集合含有4個元素，即不等式的解集中有且僅有4個整數解，由此進行分類討論，列式算出實數的取值范圍．
【詳解】若集合有15個真子集，則中含有4個元素，
結合，可知，即，且區(qū)間,中含有4個整數，
①當時，,的區(qū)間長度，此時,中不可能含有4個整數；
②當時，,,，其中含有4、5、6、7共4個整數，符合題意；
③當時，,的區(qū)間長度大于3，
若,的區(qū)間長度，即．
若是整數，則區(qū)間,中含有4個整數，根據，可知，，
此時,,，其中含有5、6、7、8共4個整數，符合題意．
若不是整數，則區(qū)間,中含有5、6、7、8這4個整數，則必須且，解得；
若時，,,，其中含有5、6、7、8、9共5個整數，不符合題意；
當時，,的區(qū)間長度，此時,中只能含有6、7、8、9這4個整數，
故，即，結合可得．
綜上所述，或或，即實數的取值范圍是,,．
故選：D．
【點睛】關鍵點點睛：由真子集的個數可得，且區(qū)間,中含有4個整數，結合區(qū)間長度，即可對討論求解.
3. 設集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用最小公倍數排除A，B，利用奇數和偶數排除C，求解即可.
【詳解】易知集合，，
則中前面的系數應為的最小公倍數，故排除A，B，
對于C，當時，集合為，
而令，可得不為整數，故不含有7，
可得中不含有7，故C錯誤，
故選：D
4. 已知命題“”為真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據命題是真命題的意思求解即可.
【詳解】因為命題“”為真命題，
所以命題“”為真命題，
所以時，.
因，
所以當時，，此時.
所以時，，即實數的取值范圍是.
故選：C.
5. 如果對于任意實數，表示不超過的最大整數.例如，.那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據所給定義以及充分條件與必要條件的定義推導即可.
【詳解】如果，比如，則有，
根據定義，，
即“”不是“”的充分條件，
如果，則有，
，所以“”是“”的必要條件；
故“”是“”的必要而不充分條件.
故選：B.
6. 已知實數，且，則以下說法正確的是（ ）
A. B. 的值為4或8C. D. 的值為
【答案】B
【解析】
【分析】由，且可得或，后驗證各選項即可得答案.
【詳解】因，則，又，
則或.
則或，結合，得或.
A選項，當時，；當時，，故A錯誤；
B選項，當時，；當時，，故B正確；
C選項，當時，；當時，，故C錯誤；
D選項，當時，；當時，，故D錯誤.
故選：B
7. “喊泉”是一種地下水的毛細現象.在合適的條件下，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲響時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生一系列物理聲學作用.已知聲音越大，涌起的泉水越高，聲強與參考聲強之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作（單位：分貝），即.若某處“喊泉”的聲強級（單位：分貝）與噴出的泉水高度（單位：分米）滿足關系式，兩人分別在這處“喊泉”大喊一聲，若“喊泉”噴出泉水的高度比“喊泉”噴出的泉水高度高5分米，則“喊泉”的聲強是“喊泉”聲強的（ ）
A. 5倍B. 10倍C. 20倍D. 100倍
【答案】D
【解析】
【分析】根據對數的運算性質可求.
【詳解】設的聲強分別為“喊泉”噴出泉水的高度分別為，
則，即，
從而，即，所以.
故“喊泉”的聲強是“喊泉”聲強的100倍.
故選：D
8. 已知，，且，則的最小值為（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
分析】先得出，再利用基本不等式求解即可.
【詳解】因為，
所以，
所以，所以，
當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
故選：C.
二、多選題（本題共4小題 每小題5分 滿分20分）
9. 設，若，則實數a的值為（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】分、兩種情況討論，分別確定集合，即可求出參數的值.
【詳解】因為，且，
當時，，符合題意；
當時，，又，所以或，解得或，
綜上，或或.
故選：ABD
10. 當兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時，稱這兩個集合構成“全食”；當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合成“偏食”.對于集合，，若與B構成“全食”或“偏食”，則實數的取值可以是（ ）
A. -2B. C. 0D. 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】考慮時，，時，，依次將各個選項中的數據帶入，計算集合，再判斷和之間的關系得到答案.
【詳解】當時，，
當時，，
對選項A：若，，此時，不滿足；
對選項B：若，，此時，滿足；
對選項C：若，，此時，滿足；
對選項D：若，，此時，滿足；
故選：BCD.
11. 下列說法正確的有（ ）
A. 是的必要不充分條件
B. “”是‘’成立的充分條件
C. 命題，則
D. 為無理數是為無理數的既不充分也不必要條件
【答案】BD
【解析】
【分析】根據充分條件和必要條件的定義判斷ABD，根據全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題的否定判斷C.
【詳解】對于A，若，則，但由不能推出，
所以是的充分不必要條件，故A錯誤；
對于B，時，一定成立，
所以是成立的充分條件，故B正確；
對于C，命題，則，故C錯誤；
對于D，當時，，
當時，為無理數，
所以為無理數是為無理數的既不充分也不必要條件，故D正確.
故選：BD.
12. ，運算“”為，則（ ）
A. B.
C. D. 若，則
【答案】ABCD
【解析】
【分析】由運算“”的定義分別計算判斷A、B、C，用分析法分別從條件和結論出發(fā)證明得到D.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，
，
所以，故C正確；
對于D，若，則，，
要證，只需要證，即證，
即證，即證，即證，
因為，，所以上式成立，所以，故D正確.
故選：ABCD.
三、填空題（本題共4小題 每小題5分 滿分20分）
13. 設、是非空集合，定義且.已知，，則________.
【答案】或
【解析】
【分析】先求出，再求出，從而可求 。
【詳解】∵、是非空集合，且，
而，，∴，，
故或.
故答案為：或.
14. 已知集合，，若，則實數的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】可求出集合，然后根據，得到，從而求出實數的取值范圍.
【詳解】由，可得，
由于，且，則，
所以，則實數的取值范圍是，
故答案：
15. 已知命題“：，”，若是假命題，則實數的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由特稱量詞與全稱量詞得出命題的否定，再由一元二次不等式恒成立得出實數的取值范圍.
【詳解】若是假命題，則，，
當時，代入不等式得成立；
當時，，
綜上可得實數的取值范圍是.
故答案為：
16. 設正實數滿足，且，則的最小值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】化簡，利用基本不等式得
可得答案
【詳解】，
由于是正實數，且，
所以
，
當且僅當，即，所以時等號成立，
則的最小值為2，所以
，
當且僅當，即時等號成立，
則最小值為.
故答案為：.
四、解答題（本題共6小題 第17題10分 第18-22題12分 滿分70分）
17. 設為全集，集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求實數的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，，然后結合集合的交集及補集運算即可求解；
（2）由已知結合集合的包含關系對集合是否為空集進行分類討論即可求解.
【小問1詳解】
（1）由題意可得，
當時，，
所以，
因為，
所以
【小問2詳解】
由(1)知，，
若，即，解得，此時滿足；
若，要使，則，解得，
綜上，若，所求實數的取值范圍為
18. 已知集合，.
（1）若，求實數的取值范圍；
（2）若將題干中的集合改為，是否有可能使命題：“，都有”為真命題，請說明理由.
【答案】（1）
（2）不可能，理由見解析
【解析】
【分析】（1）直接根據列不等式求解；
（2）先得到，再根據包含關系列不等式求解.
【小問1詳解】
因為，
所以或或，
解得或或，
所以；
【小問2詳解】
若，，
對，都有，則，
所以，該不等式組無解，
故命題：“，都有”為真命題不可能.
19. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若存在正實數m，使得“”是“”成立的充分不必要條件，求正實數m的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解指數不等式，一元二次不等式化簡集合，然后由交集定義計算；
（2）根據充分不必要條件的定義得不等式組求解；
【小問1詳解】
因，則.
當時，，所以.
【小問2詳解】
因“”是“”成立充分不必要條件，則A是B的真子集.
所以，經檢驗“=”滿足.
所以實數m的取值范圍是.
20. （1）計算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）9；（2）1
【解析】
【分析】（1）根據對數的運算性質和分數指數冪的運算性質求解；
（2）由求出，然后代入中化簡計算即可.
【詳解】（1）
；
（2）∵，
∴，，
∴
．
21. 為了豐富學生的課余生活、給學生更好的校園生活體驗，某高中決定擴大學校規(guī)模，為學生打造一所花園式的校園．學校決定在原有的矩形花園的基礎上，拓展建成一個更大的矩形花園．為了方便施工，建造時要求點B在上，點D在上，且對角線過點C，如圖所示．已知．
（1）當的長度為多少時，矩形的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．
（2）要使矩形的面積大于，則的長應在什么范圍內？
【答案】（1）時，矩形的面積最小，最小面積2400
（2）
【解析】
【分析】（1）設出的長為，則，表示出矩形面積的解析式，利用不等式求解；
（2）化簡矩形面積，利用基本不等式求解.
【小問1詳解】
設出的長為，則，
，，，
∴矩形的面積，
由基本不等式得：，
當且僅當時，取“=”，當,即時，；
【小問2詳解】
由（1）得，即，
∴，
∴或，
的范圍在．
22. 已知整數，集合，，，滿足，對任意的，都有且.記.
（1）若，寫出兩組滿足條件的集合，并寫出相應的；
（2）證明：；
（3）求的所有可能取值.
【答案】（1）答案見解析；
（2）證明見解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）根據中的元素遞增，中元素遞減，即可列舉求解，
（2）根據和兩種情況，結合中的元素遞增，中元素遞減，即可分類求解，
（3）根據，，可得，根據，可得，，…，是，…，的排列，即可由求解.
【小問1詳解】
（共6組，任寫2組即可）
，，.，，.
，，.，，.
，，.，，.
【小問2詳解】
由題設可得，
若，則，而，，，…，，
所以，
若，由于即，由于，
故，由于，
而需要有個不同的元素，故矛盾，因此，，結論成立.
若，則由且，，…，互不相同的正整數，知，
若，由于即，由于，
故，由于，
而需要有個不同的元素，故，而，
故此時不符合要求，
故，所以，結論成立.
【小問3詳解】
設，則，，
兩個中，其中一個取等號，另一個不取等號，所以比中至少個數大，
因此，即，，…，，而，，…，兩兩不同，
所以，，…，恰好是，…，的一個排列.
再設，則，，…，，
，，…，恰好是，…，的一個排列，
所以，，…，是，…，的排列，故有：
【點睛】方法點睛：對于以集合為背景的新定義問題的求解策略：
1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把心定義所敘述的問題的本質弄清楚，應用到具體的解題過程中；
2、用好集合的性質，解題時要善于從試題中發(fā)現可以使用的集合的性質的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素個數問題往往可采用維恩圖法，基于課標要求的，對于集合問題，要熟練基本的概念，數學閱讀技能、推理能力，以及數學抽象和邏輯推理能力.

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