一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知集合集合則（ ）
A．(-∞，0)∪[2，+∞)B．(0，2]
C．(0，2)D．(0，+∞)
2．函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，則實數(shù)等于（ ）
A． B．1C．0D．無法確定
3．已知，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
4．若，則（ ）
A．B．C．D．
5．若三個變量、、，隨著變量的變化情況如下表.
則關(guān)于分別呈函數(shù)模型：、、變化的變量依次是（ ）
A．、、B．、、C．、、D．、、
6．與角的終邊相同的角的集合是
A．
B．
C．
D．
7．牛頓冷卻定律描述一個物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過一定時間后的溫度將滿足，其中是環(huán)境溫度，稱為半衰期.現(xiàn)有一杯85℃的熱茶，放置在25℃的房間中，如果熱茶降溫到55℃，需要10分鐘，則欲降溫到45℃，大約需要多少分鐘（ ）
A．12B．14C．16D．18
8．已知函數(shù)，若函數(shù)，且函數(shù)有6個零點，則非零實數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9．若函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值和最小值的和為，則的值可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列說法不正確的是（ ）
A．已知方程的解在內(nèi)，則
B．函數(shù)的零點是，
C．函數(shù)，的圖象關(guān)于對稱
D．用二分法求方程在內(nèi)的近似解的過程中得到，，則方程的根落在區(qū)間上
11．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．終邊經(jīng)過點的角的集合是
B．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是
C．若是第三象限角，則是第二象限角
D．若，，則
12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為
B．在上是增函數(shù)
C．的解集為
D．的解集為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．已知扇形的面積為4，半徑為2，則扇形的圓心角為 弧度.
14．若對任意a＞0且a≠1，函數(shù)的圖象都過定點P，且點P在角θ的終邊上，則tanθ＝ .
15．設(shè)，則 .
16．設(shè)滿足，滿足，則 .
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（1）計算：；
（2）化簡：
18．已知集合，．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實數(shù)的值．
19．設(shè)函數(shù)．
(1)若不等式的解集，求a，b的值；
(2)若，
①，，求的最小值，并指出取最小值時a，b的值．
②求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．
20．我國某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識產(chǎn)權(quán)的平板電腦，并從2021年起全面發(fā)售.經(jīng)測算，生產(chǎn)該平板電腦每年需投入固定成本1350萬元，每生產(chǎn) （千臺）電腦需要另投成本萬元，且另外每臺平板電腦售價為0.6萬元，假設(shè)每年生產(chǎn)的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺平板電腦，企業(yè)獲得年利潤為1650萬元.
(1)求該企業(yè)獲得年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 （千臺）的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千臺時，該企業(yè)所獲年利潤最大?并求最大年利潤.
21．已知函數(shù).
（1）若，解關(guān)于x的不等式；
（2）已知為定義在R上的奇函數(shù).
①當(dāng)時，求的值域；
②若對任意成立，求m的取值范圍.
22．已知函數(shù)，．
(1)求證：為R上的偶函數(shù)；
(2)若函數(shù)在R上只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍
2
1．D
解二次不等式得集合；求函數(shù)定義域得集合，再由并集的概念，即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，，
因此.
故選：D.
本題主要考查求集合的并集，涉及二次不等式，以及根式型函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題型.
2．C
【分析】利用偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱即可得解.
【詳解】因為為定義在上的偶函數(shù)，
所以，解得.
故選：C.
3．D
【分析】先判斷，然后根據(jù)弧度得到，最后比較大小即可.
【詳解】因為，，
而 ，所以，
所以，
故選：D
4．C
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則求出，結(jié)合對數(shù)的換底公式即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意知，，
所以，
所以.
故選：C
5．B
【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合函數(shù)的變化率，即可求解.
【詳解】解：由表可知，隨著的增大而迅速的增大，是指數(shù)函數(shù)型的變化，
隨著的增大而增大，但是變化緩慢，是對數(shù)函數(shù)型的變化，
相對于的變化要慢一些，是冪函數(shù)型的變化.
故選：B.
6．B
【分析】在范圍內(nèi)找出與角終邊相同的角，然后可得出與角終邊相同的角的集合.
【詳解】因為，所以角與角的終邊相同，所以與角的終邊相同的角的集合為.
故選B．
本題考查終邊相同的角的集合，一般要在范圍內(nèi)找出終邊相同的角，并以此角來表示相應(yīng)的集合，屬于基礎(chǔ)題.
7．C
【分析】先計算出，再根據(jù)條件計算即可.
【詳解】根據(jù)題意有：，
∴.
故選：C.
8．C
【分析】作出函數(shù)的圖像，原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與共有6個交點，等價于與有三個交點，結(jié)合圖像得出其范圍.
【詳解】解：作出函數(shù)的圖像如下：

數(shù)，且函數(shù)有6個零點等價于有6個解，
等價于或共有6個解
等價于函數(shù)與共有6個交點，
由圖可得與有三個交點，所以與有三個交點
則直線應(yīng)位于之間，
所以
故選：C.
根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)有三種常用方法：
（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
（2）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
9．BC
【分析】分、兩種情況討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的等式，即可求得實數(shù)的值.
【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在上為減函數(shù)，
則，解得；
當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)，
則，解得.
綜上所述，或.
故選：BC.
10．B
【分析】利用零點的定義，零點存在性定理，反函數(shù)的定義及函數(shù)的單調(diào)性一一判定即可.
【詳解】對于選項A，令，
易知在上是增函數(shù)，且，
所以方程的解在，所以，故A正確；
對于選項B，令得或，
故函數(shù)的零點為和，故B錯誤；
對于選項C，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以它們的圖象關(guān)于對稱，故C正確；
對于選項D，令，易知在上是增函數(shù)，
由于，所以由零點存在性定理可得方程的根落在區(qū)間上，故D正確.
故選：B.
11．ABD
【分析】求出角的集合表示判斷A；求出旋轉(zhuǎn)角的弧度數(shù)判斷B；舉例說明判斷C；分析兩個集合判斷D.
【詳解】對于A，當(dāng)時，角終邊為射線，該角的集合為，
當(dāng)時，角終邊為射線，該角的集合為，
所以所求角的集合為，A正確；
對于B，將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是，B正確；
對于C，取，滿足是第三象限角，而是第四象限角，C錯誤；
對于D，，，
是整數(shù)，是整數(shù)，而是奇數(shù)，因此，D正確.
故選：ABD
12．AD
【分析】分析可知為偶函數(shù)，研究時的函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得出AB的正確與否；研究函數(shù)的零點，結(jié)合單調(diào)性，奇偶性，即可判定C錯誤；分類討論求解，即可得到不等式的解集，從而判定D正確.
【詳解】，
所以是偶函數(shù)，
在時，,
圖象為開口向下的拋物線的部分，
對稱軸為,
在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
最大值為,
∴函數(shù)在R上的最大值為,
在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
故A正確，B錯誤；

由于,
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和偶函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象如圖所示.
可知的解集為,
故C錯誤；
畫出圖象如圖所示：

由圖象可得不等式的解集為，故D正確.
故選：AD.
13．2
【分析】根據(jù)扇形的面積公式求解即可.
【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，
由題意得，，解得，
所以扇形的圓心角為2弧度.
故2.
14．-2
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的圖象經(jīng)過定點的坐標(biāo)，進而根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義即可求解.
【詳解】令x＋1＝0，求得x＝－1，y＝2，
可得函數(shù)（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過定點P(－1,2)，
所以點P在角θ的終邊上，則tanθ＝＝－2.
故－2.
15．
【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡所求代數(shù)式后，利用齊次化切法求值即可解決.
【詳解】
又，則
故
16．
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)并探討其單調(diào)性，借助函數(shù)零點確定與得解.
【詳解】令函數(shù)，而函數(shù)在上都是增函數(shù)，因此函數(shù)是增函數(shù)，
由滿足，得，即，于是，
由滿足，得，因此，而函數(shù)在上遞增，
于是，即，所以.
故
關(guān)鍵點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，觀察題目所給式子的結(jié)構(gòu)特點，合理構(gòu)造函數(shù)，借助單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
17．（1）；（2）1.
【分析】（1）利用指數(shù)運算及對數(shù)的換底公式計算即得.
（2）利用同角公式及誘導(dǎo)公式化簡即得.
【詳解】（1）.
（2）
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）化簡集合，根據(jù)補集和交集的概念運算可得結(jié)果；
（2）由求出，再求出，然后根據(jù)列式可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由得，得，
所以，
當(dāng)時，由，得，
所以，
所以或，
所以.
（2）因為，
所以，
所以，即，
由得，得，，
所以，
因為，所以，，
解得.
19．(1)
(2)①，時，取最小值2 ；②當(dāng)時，的最小值為，當(dāng)時，的最小值為．
【分析】（1）根據(jù)題意可知?1，1是方程的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理求解；（2）根據(jù)題意得，①利用基本不等式進行處理運算，注意“1”得運用；②分類討論判斷單調(diào)性求解．
【詳解】（1）由的解集是知?1，1是方程的兩根，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得
解得
（2）由得，
①，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，
的最小值是2．
②由于，得，則，
函數(shù)的圖象對稱軸為，
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則的最小值為，
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則的最小值為．
20．(1)
(2)100千臺，最大年利潤為5 900萬元.
【分析】（1）由已知的條件知道該函數(shù)為一個分段函數(shù)，所以分兩種情況把表達(dá)式分別求出來即可
（2）由（1）知當(dāng)時，為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求它在該區(qū)間上的最大值，當(dāng)時，利用基本不等式性質(zhì)求最大值.
【詳解】（1）解：10 000臺=10千臺,則，根據(jù)題意得：，解得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
，
綜上所述.
（2）當(dāng)時，
當(dāng)時， 取得最大值；
當(dāng)時，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，
因為，
故當(dāng)年產(chǎn)量為100千臺時,該企業(yè)所獲年利潤最大,最大年利潤為5 900萬元.
21．（1）；（2）①；②.
（1）將代入函數(shù)解析式，不等式即為，令，不等式即為，解得，即，進而求得不等式的解集；
（2）①根據(jù)其為奇函數(shù)，得到，求得，再根據(jù)，解得，從而求得函數(shù)解析式，利用換元思想，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)值域；
②利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明其為增函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的條件，將轉(zhuǎn)化為相應(yīng)不等式組，求得結(jié)果.
【詳解】（1），時，由可得，令，得，
解得，即，所以.
（2）①因為為上的奇函數(shù)，所以，即，則，
所以，根據(jù)為上的奇函數(shù)可得.
所以，即對任意恒成立，
所以，
令，令，則.
所以原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為的值域，
又因為在上單調(diào)遞增，所以的值域為.
②，設(shè)任意，且，
則，
所以在上單調(diào)遞增.
又因為對任意成立，且為上的奇函數(shù)，
所以對任意成立，
所以對任意成立.
當(dāng)時，滿足題意；
當(dāng)時，解得，
綜上所述，.
方法點睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的問題，解題方法如下：
（1）將參數(shù)代入函數(shù)解析式，解不等式即可得結(jié)果；
（2）①根據(jù)奇函數(shù)的定義，求得參數(shù)值，進而求得函數(shù)的值域；
②利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化，得到結(jié)果.
22．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)定義，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)，即可得證
（2）在R上只有一個零點，轉(zhuǎn)化為有唯一實數(shù)根，令，可得在上有唯一實數(shù)根，分別討論三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.
【詳解】（1）證明：對任意的，
，
因此，函數(shù)為偶函數(shù)．
（2）解：．
因為在R上只有一個零點，
所以關(guān)于的方程（※）有唯一的實數(shù)解．
方程（※）即，
即，化簡得．
令 ，研究關(guān)于的方程（※※）．
當(dāng)時，，符合條件；
當(dāng)時，則，且，
故方程（※※）有異號的兩個實根，符合條件；
當(dāng)時，則，故只需，解得，
此時方程（※※）有兩個相等的正根，符合條件．
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．
解題的關(guān)鍵是熟練掌握偶函數(shù)的定義、指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)，并靈活應(yīng)用，難點在于需討論三種情況，并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解，屬中檔題.

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