北京市石景山區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用交集定義即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故選：D.
2. 已知命題p：“”，則為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷．
【詳解】特稱命題的否定是全稱命題．
命題p：“”，的否定為：．
故選：C．
3. 已知等差數(shù)列，則等于（）
A. B. 0C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差為，建立等量關(guān)系求解即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋裕?br>解得：，.
故選：B.
4. 已知事件A，B相互獨(dú)立，，，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用事件獨(dú)立性的概率乘法公式及條件概率公式進(jìn)行求解.
【詳解】因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，所以，
所以，
故選：B.
5. 在數(shù)列中，，（），則的值為（）
A. -2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】數(shù)列中，由，，計(jì)算，，，...，可得，利用周期性計(jì)算得出.
【詳解】數(shù)列中，由，，得，
同理可得，，...，
所以，則 .
故選：D.
6. 函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到在點(diǎn)處的切線斜率為，進(jìn)而通過及的值得到答案.
【詳解】由知，故.
由于的斜率為，故在點(diǎn)處的切線斜率為.
所以，故，得.
故選：A.
7. 已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性可得答案.
【詳解】，
當(dāng)x∈R時(shí)，，所以是單調(diào)遞增函數(shù)，
因?yàn)椋?
故選：D
8. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】在已知條件下，，都與等價(jià)，由此即可得解.
【詳解】，
而，所以，充分性成立；
反過來若，若，則一定有，
所以，，故，必要性成立；
也就是說，已知數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“”的充分必要條件.
故選：C.
9. 若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】即函數(shù)圖象與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，通過導(dǎo)數(shù)畫出函數(shù)圖象，即可得答案.
【詳解】，則函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)圖象與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).
又，則當(dāng)時(shí)，，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值.
又時(shí)，，據(jù)此可得大致圖象如下：
則.
故選：C

10. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），前n項(xiàng)和為，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①存在正整數(shù)，使得；
②存在正整數(shù)，使得；
③記，則數(shù)列有最大項(xiàng)和最小項(xiàng).
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，令，求得，得到，可判定①正確；由當(dāng)時(shí)，可判定②正確；由當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)，當(dāng)最大，可判定③正確.
【詳解】由題意，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為，
令，即，解得或（舍去），即，
所以，即存在正整數(shù)，使得，所以①正確；
由，存在正整數(shù)，使得，所以②正確；
由數(shù)列an的通項(xiàng)公式為，
可得，且當(dāng)時(shí)，，
所以，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列有最小項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列有最大項(xiàng)，所以③正確.
故選：A.
第二部分（非選擇題共60分）
二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．
11. 函數(shù)的定義域?yàn)開____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)定義域求解方法即可.
【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為： .
12. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為其?dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示，且，，則不等式的解集為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系，即可解不等式.
【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，
即不等式的解集為；
故答案為：
13. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義得到，然后利用已知項(xiàng)的值即可得到結(jié)果.
【詳解】由等比數(shù)列，知.
所以.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則__________，過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為_______________.
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求解，設(shè)切點(diǎn)，求斜率，寫切線方程，即可求解直線方程.
【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，
，解得，故，即；
設(shè)過點(diǎn)且與曲線相切，切點(diǎn)為，且，
故切線斜率為，即切線方程為，
切線方程過點(diǎn)，代入方程可得，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線方程為；
當(dāng)時(shí)，直線方程為.
故答案為：4，.
15. 已知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①可能是負(fù)數(shù)；
②；
③為定值；
④若存在，使得，則.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】對于①，分是否大于0進(jìn)行討論；對于②，由韋達(dá)定理即可判斷；對于③，結(jié)合②中結(jié)論直接驗(yàn)算；對于④，原命題等價(jià)于關(guān)于的不等式有解，進(jìn)一步等價(jià)于關(guān)于的不等式有解，故只需求出不等式左邊的最小值即可驗(yàn)算.
【詳解】對于①，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以有兩個(gè)相異實(shí)根，這意味著，
否則時(shí)，f′x≥0，即單調(diào)遞增，這與已知矛盾，
若，則當(dāng)時(shí)，f′x>0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，f′x>0，
即在的條件下，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；
對于②，是方程的兩根，從而，故②正確；
對于③，，故③正確；
對于④，若存在，使得，
即關(guān)于的不等式有解，
而沒有最大值，
故原命題等價(jià)于關(guān)于的不等式有解，
令,
而函數(shù)的最小值為1，
所以當(dāng)且僅當(dāng)，即滿足題意，
即若存在，使得，則，故④正確.
故答案為：②③④.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷④的關(guān)鍵是將原問題等價(jià)轉(zhuǎn)換為關(guān)于的不等式有解，由此即可順利得解.
三、解答題共5小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
16. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若對都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）極大值；極小值
（2）
【解析】
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)極值的定義即可求解；
（2）只需求出不等式左邊的最小值即可，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系即可得解.
【小問1詳解】
由，得.
令得或.
當(dāng)變化時(shí)，在各區(qū)間上的正負(fù)，以及的單調(diào)性如下表所示：
所以當(dāng)時(shí)取極大值；當(dāng)時(shí)取極小值.
【小問2詳解】
由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則在上的最小值為.
對都有恒成立，所以.
17. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和．
條件①，條件②，條件③.
注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1），；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）選①②或②③時(shí)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求出首項(xiàng)與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；選①③時(shí)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；
（2），利用裂項(xiàng)相消法即可證明.
【小問1詳解】
（1）由于是等差數(shù)列，設(shè)公差為，
當(dāng)選①②時(shí)：，解得，
所以的通項(xiàng)公式，．
選①③時(shí)，解得，
所以的通項(xiàng)公式，．
選②③時(shí)，解得，
所以的通項(xiàng)公式，．
【小問2詳解】
由（1）知，，
所以，
所以，
因?yàn)?，所?
18. 某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

（1）求的值；
（2）若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機(jī)抽取3株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）以頻率估計(jì)概率，若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的概率.
【答案】（1）；
（2）分布列見解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）依題頻率和為1可得答案；
（2）求出的取值及相應(yīng)的概率可得答案；
（3）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)概率公式可得答案.
【小問1詳解】
依題意可得，解得；
【小問2詳解】
由（1）可得高度在和的頻率分別為和，
所以分層抽取的5株中，高度在和的株數(shù)分別為2和3，
所以可取0，1，2，
所以，，，
所以的分布列為：
所以；
【小問3詳解】
從所有花卉中隨機(jī)抽取3株，
記至少有2株高度在為事件，
則.
19. 已知函數(shù).
（1）求證：當(dāng)時(shí)，；
（2）當(dāng)時(shí)，若曲線在曲線的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造，求導(dǎo)可得，分析的符號(hào)可得的單調(diào)性，從而可證明；
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，滿足題意. 令，求導(dǎo)，分與討論即可求解.
【小問1詳解】
令，
.
由得，于是，故函數(shù)是上的增函數(shù).
所以當(dāng)時(shí)，，即；
小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，由（1）知，滿足題意.
令，則.
當(dāng)時(shí)，若，，
則在上是減函數(shù).
所以時(shí)，，不合題意.
當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)，
所以，不合題意.
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍.
20. 若數(shù)列對任意的，均滿足，則稱為“速增數(shù)列”.
（1）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1公比為3 的等比數(shù)列，判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說明理由；
（2）若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)k的最大值.
【答案】（1）數(shù)列an是“速增數(shù)列”，理由見解析
（2）63
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“速增數(shù)列”的定義判斷即可；
（2）根據(jù)數(shù)列bn為“速增數(shù)列”，得可得的答案
【小問1詳解】
數(shù)列an是“速增數(shù)列”，理由如下：
由，則，
，
因?yàn)?，故?br>所以數(shù)列an是“速增數(shù)列”；
【小問2詳解】
數(shù)列bn為“速增數(shù)列”，，，，
任意項(xiàng)，
時(shí)，
，
即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故正整數(shù)k的最大值為63.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)“速增數(shù)列”的定義，緊緊圍繞不等式進(jìn)行，當(dāng)時(shí)，利用累加法的思想確定是解題的關(guān)鍵．
＋
0
－
0
＋
↗
極大
↘
極小
↗
0
1
2

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