?2023年北京市石景山區(qū)高二下學期期末數(shù)學試卷
本試卷共8頁，共100分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回．
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定義可求.
【詳解】由題設(shè)有，
故選：B .
2. 設(shè)函數(shù),則（ ）
A. 是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B. 是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減
C. 是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D. 是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域為，利用定義可得出函數(shù)為奇函數(shù)，
再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出．
【詳解】因函數(shù)定義域為，其關(guān)于原點對稱，而，
所以函數(shù)為奇函數(shù)．
又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增．
故選：A．
【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3. 某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】解：根據(jù)題意，播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽即4次獨立重復(fù)事件恰好發(fā)生2次，
由n次獨立重復(fù)事件恰好發(fā)生k次的概率的公式可得，

故選B．

4. 若，則（ ）
A. B. C. 31 D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】利用賦值法可求出結(jié)果.
【詳解】在中，
令，得，
令，得，
所以.
故選：C
5. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】求絕對值不等式、一元二次不等式的解集，根據(jù)解集的包含關(guān)系即可判斷充分、必要關(guān)系.
【詳解】由，可得，即；
由，可得或，即；
∴是的真子集，
故“”是“”的充分而不必要條件.
故選：A

6. 某班級要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為
A. 14 B. 24 C. 28 D. 48
【答案】A
【解析】
【詳解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男兩種情況，
故不同的選派方案種數(shù)為．故選A.
法二：從4男2女中選4人共有種選法，4名都是男生的選法有種，
故至少有1名女生的選派方案種數(shù)為-=15-1=14．故選A

7. 函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：由題： ，求導(dǎo)得：， 即：
令：為增區(qū)間，為減區(qū)間．，得圖為C
考點：運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).
8. 設(shè)是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
【答案】C
【解析】
【詳解】先分析四個答案，A舉一反例，而，A錯誤，B舉同樣反例，，而，B錯誤，
D選項，故D錯，
下面針對C進行研究，是等差數(shù)列，若，則設(shè)公差為，則，數(shù)列各項均為正，由于，則，
故選C.
考點：本題考點為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問題，重 點是對知識本質(zhì)的考查.

9. 設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.
【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.
有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.
當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故
當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.
綜上所述，成立.
故選：D
【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法可以快速解答.




10. 若集合且下列四個關(guān)系：①；②；③；④有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組的個數(shù)是（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】因為①；②；③；④中有且只有一個是正確的,故分四種情況進行討論,分別分析可能存在的情況即可.
【詳解】若僅有①成立,則必有成立,故①不可能成立；
若僅有②成立,則,,,成立,此時有,兩種情況；
若僅有③成立,則,,,成立,此時僅有成立；
若僅有④成立則,,,成立,此時有三種情況，
綜上符合條件的所有有序數(shù)組的個數(shù)是6個，
故選：B
第二部分（非選擇題 共60分）
二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．
11. 已知，，則等于______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根據(jù)條件概率公式求解可得結(jié)果.
【詳解】因為，，
所以.
故答案為：.
12. 設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】分和兩種情況討論從而解不等式即可.
【詳解】當時，由，得，所以，又因為，所以；
當時，由，得，所以，又因為，所以.
所以滿足成立的的取值范圍為 .
故答案為：.
13. 若隨機變量的分布列為

0
1
2




則______，為隨機變量的方差，則______．（用數(shù)字作答）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出，根據(jù)方差公式求出.
【詳解】由題意得，得.
，
.
故答案為：；.
14. 二項式的展開式中存在常數(shù)項，則可以為______．（只需寫出一個符合條件的值即可）
【答案】（答案不唯一，為的倍數(shù)的正整數(shù)均可）
【解析】
【分析】在通項公式中，令的指數(shù)為，可求出結(jié)果
【詳解】，，
令，得，因為為整數(shù)，為正整數(shù)，所以為偶數(shù)，為的倍數(shù)的正整數(shù).
故答案為：（答案不唯一，為的倍數(shù)的正整數(shù)均可）.
15. 已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：
①的第2項小于3； ②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項．
其中所有正確結(jié)論的序號是__________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】推導(dǎo)出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.
【詳解】由題意可知，，，
當時，，可得；
當時，由可得，兩式作差可得，
所以，，則，整理可得，
因為，解得，①對；
假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，
所以，，可得，解得，不合乎題意，
故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；
當時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；
假設(shè)對任意的，，則，
所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.
故答案為：①③④.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復(fù)雜時，可采用反證法來進行推導(dǎo).

三、解答題共5小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
16. 已知函數(shù)

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；
（2）在給定的直角坐標系中畫出函數(shù)的大致圖像；
（3）討論關(guān)于x的方程的實根個數(shù)．
【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；極小值為，無極大值
（2）圖象見解析 （3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性以及極值；
（2）由單調(diào)性畫出函數(shù)的大致圖像；
（3）畫出函數(shù)與函數(shù)的簡圖，由圖像得出方程根的個數(shù).
【小問1詳解】

，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
極小值為，無極大值.
【小問2詳解】
當時，；當時，，且
結(jié)合單調(diào)性，可畫出函數(shù)的大致圖像，如下圖所示
【小問3詳解】
畫出函數(shù)與函數(shù)的簡圖，如下圖所示

由圖可知，當時，方程沒有實數(shù)根；
當或時，方程只有一個實數(shù)根；
當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
17. 已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)與等比中項的性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式可得，再裂項求和求解即可
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，即，由，，成等比數(shù)列，得，即，又得，所以，，故數(shù)列的通項公式為．
【小問2詳解】
由，得，所以，

．
18. 某同學參加甲、乙、丙3門課程的考試，設(shè)該同學在這3門課程的考試中取得優(yōu)秀成績的概率分別為，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立．
（1）求該同學這3門課程均未取得優(yōu)秀成績的概率．
（2）求該同學取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)X的分布列和期望．
【答案】（1）
（2）分布列見解析；期望為
【解析】
【分析】（1）由獨立事件的乘法公式代入即可得出答案.
（2）X的可能取值為，分別求出其對應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望.
【小問1詳解】
該同學這3門課程均未取得優(yōu)秀成績的概率.
【小問2詳解】
X的可能取值為，所以
，

，
，
該同學取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)X的分布列：
X
0
1
2
3
P




期望.
19. 設(shè)，，．
（1）分別求函數(shù)，在點處的切線方程；
（2）判斷與的大小關(guān)系，并加以證明．
【答案】（1）點處的切線方程為，在點處的切線方程為；
（2），證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果；
（2）作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證結(jié)論成立.
【小問1詳解】
因為，，，，，
所以點處的切線方程為，即.
因為，，，，，
所以在點處的切線方程為，即.
【小問2詳解】
，證明如下：
設(shè)，
，
當時，；當時，，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
所以.
20. 某中學號召學生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）．該校合唱團共有100名學生，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示．

（I）求合唱團學生參加活動的人均次數(shù)；
（II）從合唱團中任意選兩名學生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等概率．
（III）從合唱團中任選兩名學生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．
【答案】（I）合唱團學生參加活動的人均次數(shù)為；（II）；（III）．
【解析】
【詳解】解：由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數(shù)分別為10、50和40．
（I）該合唱團學生參加活動的人均次數(shù)為．
（II）從合唱團中任選兩名學生，他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率為．
（III）從合唱團中任選兩名學生，
記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件，
“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件，
“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件．
易知；
；.
的分布列：

0
1
2




的數(shù)學期望：．


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