考生須知
1.本試卷共6頁，共兩部分，21道小題，滿分150分.考試時間120分鐘.
2.在答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校、姓名、班級和教育ID號.
3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.
4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.
5.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）
1. 直線l：的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)斜率即可求解傾斜角.
【詳解】直線的斜率為1，故傾斜角為，
故選：B
2. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若向量，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，從而得到方程組，求出，得到答案.
【詳解】設(shè)，則，
故，解得，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為
故選：C
3. 圓：與圓：的位置關(guān)系是（ ）
A. 外離B. 外切C. 相交D. 內(nèi)切
【答案】A
【解析】
分析】根據(jù)圓心距大于半徑之和，得到位置關(guān)系.
【詳解】圓：的圓心為，半徑為1，
圓：的圓心為，半徑為3，
圓心距，故兩圓外離.
故選：A
4. 在數(shù)列中，，且，則等于（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到為公比為2的等比數(shù)列，從而求出答案.
【詳解】因?yàn)?，，所以為公比?的等比數(shù)列，
所以.
故選：C
5. 在長方體中，，，，則點(diǎn)D到平面的距離為（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，以及，由公式即可得解.
【詳解】由題意，以為原點(diǎn)，分別為軸所在直線建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
因?yàn)?，，?br>所以，
則，
不妨設(shè)平面的法向量為，
所以，不妨令，解得，
即取平面的法向量為，
所以點(diǎn)D到平面距離為.
故選：D.
6. 已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，其漸近線方程為，則雙曲線C的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由漸近線方程可設(shè)雙曲線為且，再由點(diǎn)在雙曲線上，將點(diǎn)代入求參數(shù)m，即可得雙曲線方程.
【詳解】由題設(shè)，可設(shè)雙曲線為且，又在雙曲線上，
所以，則雙曲線的方程是.
故選：C.
7. 已知直線：，：.若，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 0或B. 0C. D. 或2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行得到方程，求出或，檢驗(yàn)后得到答案.
【詳解】由題意得，解得或，
當(dāng)時，直線：，：，滿足，
當(dāng)時，直線：，：，兩直線重合，不合要求，舍去，
綜上，.
故選：B
8. 已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為q，記（），則“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、充分性和必要性的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由題意，，
，
當(dāng)時，對于不一定恒成立，例如；
當(dāng)為遞減數(shù)列時，且對于恒成立，
又因?yàn)?，所以得?
因此“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件，
故選：C.
9. 《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣.立竿測影，得其最短日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，春分日影長為7.5尺，則這十二個節(jié)氣中后六個（春分至芒種）日影長之和為（ ）
A. 8.5尺B. 30尺C. 66尺D. 96尺
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列基本量列方程組、方程求解.
【詳解】設(shè)這個等差數(shù)列為，公差為，首項(xiàng)為冬至日最短日影長，根據(jù)題意有
即，解得
所以.
故選:B
10. 如圖，在正方體中，E是棱上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線與所成角的范圍是
B. 直線與平面所成角的最大值為
C. 二面角的大小不確定
D. 直線與平面不垂直
【答案】D
【解析】
【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，對于A，由直線方向向量夾角余弦的范圍即可判斷；對于B，由線面角正弦值的公式即可判斷；對于C，由兩平面的法向量夾角余弦即可判斷；對于D，由即可判斷.
【詳解】以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
不妨設(shè)正方體棱長為1， ，
對于A，，
不妨設(shè)直線與所成角為，
所以，
當(dāng)增大時，分別減小，增大，所以關(guān)于單調(diào)遞減，
所以，所以，故A錯誤；
對于B，由題意，且顯然平面的法向量為，
不妨設(shè)直線與平面所成角為，
則單調(diào)遞增，，
所以，所以，故B錯誤；
對于C，，
所以，
不妨設(shè)平面與平面的法向量分別為，
所以有和，令，解得，
即取平面與平面的法向量分別為，
二面角為銳角，不妨設(shè)為，
則，
所以二面角的大小為，故C錯誤；
對于D，，
所以，
所以與不垂直，所以直線與平面不垂直.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：C選項(xiàng)的關(guān)鍵是看兩平面法向量夾角是否固定不變，由此即可順利得解.
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題（本題共5道小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡上.）
11. 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則______.
【答案】24
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，，
設(shè)公差為d，可得，解得，
所以，
故答案為：24.
12. 已知平面的法向量為，，若直線AB與平面平行.則______.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)題目條件得到與垂直，從而得到方程，求出答案.
【詳解】因?yàn)橹本€AB與平面平行，所以與垂直，
即，解得.
故答案為：1
13. 已知圓C：，若直線與圓C有兩個不同的交點(diǎn)，寫出符合題意的一個實(shí)數(shù)k的值______.
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】運(yùn)用直線和圓的位置關(guān)系直接求解即可.
【詳解】已知直線與圓C有兩個不同的交點(diǎn)，且設(shè)圓心到直線的距離為，化簡圓方程得，故有，解得.
故答案為：(答案不唯一)
14. 探照燈、汽車燈等很多燈具的反光鏡是拋物面（其縱斷面是拋物線的一部分），正是利用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射之后沿對稱軸方向射出.根據(jù)光路可逆圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：，一條光線經(jīng)過點(diǎn)，與x軸平行射到拋物線C上，經(jīng)過兩次反射后經(jīng)過點(diǎn)射出，則光線從點(diǎn)M到點(diǎn)N經(jīng)過的總路程為______.
【答案】24
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析求解.
【詳解】由題意可知：拋物線C：的準(zhǔn)線，
設(shè)入射光線所在直線與拋物線和準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)，兩次反射后反射光線所在直線與拋物線和準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)，
可知，
所以光線從點(diǎn)M到點(diǎn)N經(jīng)過的總路程為
.
故答案為：24.
15. 在數(shù)列中，若，（，，p為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，給出以下四個結(jié)論：①不是等方差數(shù)列；②若是等方差數(shù)列，則（，k為常數(shù)）是等差數(shù)列；③若是等方差數(shù)列，則（，k、l為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；④若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列也一定是等比數(shù)列.其中所有正確結(jié)論的序號是______.
【答案】②③
【解析】
【分析】根據(jù)等方差數(shù)列定義可判斷①③；根據(jù)等方差數(shù)列定義結(jié)合等差數(shù)列的定義判斷③④.
【詳解】對于①，時，為常數(shù)，
故是等方差數(shù)列，①錯誤；
對于②，若是等方差數(shù)列，即有，（，，p為常數(shù)）
則為常數(shù)，
故（，k為常數(shù)）是等差數(shù)列，②正確；
對于③，若是等方差數(shù)列，即有，（，，p為常數(shù)），
則，
故為常數(shù)，
則（，k、l為常數(shù)）也是等方差數(shù)列，③正確；
對于④，若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，
則時，，且（d為常數(shù)），
則，
當(dāng)時，則為常數(shù)列，滿足是等方差數(shù)列，
若，則不為等比數(shù)列，④錯誤；
故答案為：②③
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于理解等方差數(shù)列的定義，明確其含義，并由此結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的定義求解即可.
三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，，（）.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若為等差數(shù)列，且滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出公比，得到通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)出公差，根據(jù)題目條件得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到答案.
【小問1詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
因?yàn)?，，所以，所以?br>所以；
【小問2詳解】
等差數(shù)列的公差為d，則，，
解得，，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為.
17. 已知是正方體，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用的數(shù)量積來判斷垂直關(guān)系；
（2）利用空間向量法求二面角余弦值即可.
【小問1詳解】
∵是正方體，∴兩兩垂直，
∴以為x軸，以為y軸，以為z軸如圖建系:
設(shè)，∴，，，，，，，
∴，，
∴，
∴
小問2詳解】
平面FCB的法向量，
設(shè)平面EFC的法向量，，，
，
令，得，；∴，
設(shè)二面角的平面角為，則，
∴二面角的余弦值為.
18. 如圖，已知M是拋物線C：（）上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，以Fx為始邊，F(xiàn)M為終邊的，且，l為拋物線C的準(zhǔn)線，O為原點(diǎn).
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線FM與拋物線C交于另一個點(diǎn)N，過N作x軸的平行線與l相交于點(diǎn)E.求證：M，O，E三點(diǎn)共線.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）方法1：作出輔助線，由焦半徑公式和得到為等邊三角形，求出，得到拋物線方程；
方法2：過M作軸，垂足為G，設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為，得到方程組，求出答案；
方法3：點(diǎn)，求出，代入拋物線方程中，得到方程，求出，得到答案；
（2）求出直線FM的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到M，進(jìn)而得到E，從而求出，，證明出結(jié)論.
【小問1詳解】
方法1：過M作，垂足為A，連結(jié)FA，則，
因?yàn)?，所以，為等邊三角形?br>故.
因?yàn)?，所以?br>即，
故拋物線C的方程為.

方法2：過M作軸，垂足為G，
則.
設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，
根據(jù)題意得：
解得.拋物線C的方程為.

方法3：設(shè)點(diǎn)，
則，
因在拋物線C上，所以，
化簡得，
解得或（舍）.
拋物線C的方程為.
【小問2詳解】
證明：拋物線C的焦點(diǎn)，，
直線FM的方程為.
聯(lián)立方程得，
解得，，所以，
M點(diǎn)坐標(biāo)為，E點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?

所以M，O，E三點(diǎn)共線.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，處理三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共圓，或兩直線傾斜角互補(bǔ)或相等問題時，往往會轉(zhuǎn)化為斜率之和為0或斜率相等，進(jìn)而列出方程，代入計(jì)算即可.
19. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，是等邊三角形，平面平面，M為PC的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求MD與平面ABCD所成角的正弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)N在線段PB上，且，PA的中點(diǎn)為Q，判斷點(diǎn)Q與平面MND的位置關(guān)系，并說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）點(diǎn)Q在平面MND內(nèi)，理由見解析
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，得到線線平行，進(jìn)而得到線面平行；
（2）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到OB，OD，OP兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到線面角的正弦值；
（3）求出平面MND的法向量為，計(jì)算出，得到，從而得到點(diǎn)Q在平面內(nèi).
【小問1詳解】
連接交于E，連接.
∵四邊形是菱形，
∴E為中點(diǎn)，
∵M(jìn)是線段中點(diǎn)，
∴ME是中位線，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
【小問2詳解】
取中點(diǎn)O，連接、，
∵是等邊三角形，
∴.
∵四邊形是菱形，，
∴是等邊三角形.
∴.
∵平面平面，平面平面，在平面內(nèi)，
∴平面.
∵平面，
∴⊥，
∴，，兩兩垂直.
∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，以為y軸，以為z軸建立坐標(biāo)系.如圖，
∴，，，，，，，
∴
∴平面的法向量為.
設(shè)與平面所成角為，
則.
∴與平面所成角正弦值為.
【小問3詳解】
點(diǎn)Q在平面內(nèi)，理由如下：
連接，
∵，∴，
∴，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令得，，
∴.
∵的中點(diǎn)為Q，
∴，.
∴.
∴.
∵D在平面內(nèi)，
∴DQ在平面內(nèi).
∴點(diǎn)Q在平面內(nèi).
20. 已知橢圓E：（）與y軸的一個交點(diǎn)為，離心率為.
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓E交于點(diǎn)B，過點(diǎn)A與l垂直的直線與直線交于點(diǎn)C.若為等腰直角三角形，求直線l的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)和離心率求出橢圓方程；
（2）方法1，設(shè)出l的方程與橢圓聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)為等腰直角三角形列式運(yùn)算得解；方法2，過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為D，再過點(diǎn)B作直線的垂線，垂足為F，易判斷，可得，求出點(diǎn)坐標(biāo)，得解.
【小問1詳解】
由已知得解得，.
所以橢圓E的方程為.
【小問2詳解】
方法1：由題意可知，直線l與y軸不垂直，
又當(dāng)l與x軸垂直時，顯然.
所以，設(shè)直線l的方程為（），
聯(lián)立方程，消去y整理得（*），易得，
設(shè)點(diǎn)，則由點(diǎn)及方程（*）的根與系數(shù)的關(guān)系得，，
，
因?yàn)?，所以直線的方程為，
將代入，解得.故點(diǎn)C的坐標(biāo)為
.
由為等腰直角三角形知，即，
化簡整理得，即，解得
所以直線l的方程為或.
方法2：
由題意可知，直線l與y軸不垂直，又當(dāng)l與x軸垂直時，顯然.
過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為D，再過點(diǎn)B作直線的垂線，垂足為F.
因?yàn)?，所?
當(dāng)時，易判斷.所以.
由，求得，
由此可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為或，
直線l的斜率或，
所以直線l的方程為或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問方法二，關(guān)鍵利用點(diǎn)到直線的距離為1，利用圖形構(gòu)造全等三角形得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為或，得到直線l的方程.
21. 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若對任意.總存在.使得.則稱是“M數(shù)列”.
（1）判斷數(shù)列（）是不是“M數(shù)列”，并說明理由；
（2）設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng).公差.且是“M數(shù)列”
①求d的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式：
②設(shè)，直接寫出數(shù)列中最小的項(xiàng).
【答案】（1）不是，理由見解析
（2）①，；②
【解析】
【分析】（1）直接由“M數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷即可.
（2）①由題意關(guān)于的方程即恒有正整數(shù)解，結(jié)合數(shù)論知識即可求解出；②由題意得，故當(dāng)當(dāng)時或當(dāng)時，取最小值.
【小問1詳解】
數(shù)列不是“M數(shù)列”，理由如下：
∵，當(dāng)時，，此時找不到，使得.
所以數(shù)列不是“M數(shù)列”.
【小問2詳解】
①是等差數(shù)列，且首項(xiàng)，公差，
則，
故對任意，總存在，使得成立，
則，其中為非負(fù)整數(shù)，
要使，需要恒為整數(shù)，即d為所有非負(fù)整數(shù)的公約數(shù)，
又，所以，所以.
②∵，所以.
由的單調(diào)性知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以，當(dāng)時，有最小值.即數(shù)列中最小的項(xiàng)為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵是得到關(guān)于的方程恒有正整數(shù)解，由此得出，從而順利得解.

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