?北京市石景山區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試
數(shù)學(xué)
本試卷共6頁，滿分為100分，考試時間為120分鐘.請務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用誘導(dǎo)公式求解.
【詳解】 ，
故選：C
2. 已知正四棱錐的底面邊長為，高為，則它的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根據(jù)棱錐的體積公式求解即可.
【詳解】正四棱錐的體積。
故選：B
3. 在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：，對應(yīng)的點為，在第一象限
考點：復(fù)數(shù)運(yùn)算
4. 在單位圓中，的圓心角所對的弧長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)弧度制與角度制互化公式，結(jié)合弧長公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，因為半徑為，
所以的圓心角所對的弧長為，
故選：B
5. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 在上單調(diào)遞減 B. 在上單調(diào)遞增
C. 在上單調(diào)遞減 D. 在上單調(diào)遞增
【答案】C
【解析】
【分析】化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出合適的選項.
【詳解】因為.
對于A選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；
對于B選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，B錯；
對于C選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，C對；
對于D選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，D錯.
故選：C.

6. 平面向量與的夾角為，，，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】轉(zhuǎn)化為平面向的數(shù)量積可求出結(jié)果.
【詳解】因，所以，
.
故選：B
7. 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)（ ）
A. 向左平移個單位 B. 向右平移個單位
C. 向左平移個單位 D. 向右平移個單位
【答案】A
【解析】
【分析】由函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．
【詳解】解：，
將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位，即可得到函數(shù)的圖象．
故選：A．
8. 在中，內(nèi)角滿足，則的形狀為（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 正三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)得到，求出，得到三角形形狀.
【詳解】，
故，即，
因，所以，
故為等腰三角形.
故選：B
9. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式分別證明充分性和必要性，進(jìn)而得出結(jié)果.
【詳解】若，則，
即，
所以，所以，即，所以，
所以，所以，
所以“”是“”的充分條件．
若，則，則，
即，所以，所以或，
所以“”不是“”的必要條件，
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
10. 扇形的半徑為，，點在弧上運(yùn)動，，下列說法錯誤的是（ ）
A. 的最小值是1
B. 的最大值是
C. 的取值范圍為
D. 的取值范圍為
【答案】D
【解析】
【分析】建立坐標(biāo)系，得出點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)，化已知問題為三角函數(shù)的最值可判斷結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】以為原點，以為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，其中，，．
因為，
所以，即，
所以．
所以當(dāng)時，取得最大值，此時點為的中點，
當(dāng)或時，取得最小值，此時點為或點，故AB正確，
而，，
所以，
．
因為，所以，故，
因此，
所以的取值范圍為，故C正確，
，，，
因為，所以,故，
，，所以D錯誤．
故選：D
第二部分（非選擇題 共60分）
二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.
11. 已知平面向量，，且，則實數(shù)__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，得.
故答案為：.
12. 若復(fù)數(shù)，則_________，______________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得，根據(jù)模長公式得.
【詳解】，
，
.
故答案為：；.
13. 已知一個正方體的個頂點都在一個球面上，則球的表面積與這個正方體的全面積之比為_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正方體的對角線是球的直徑以及球的表面積公式可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)正方體棱長為，依題意得正方體的對角線是球的直徑，
所以球的半徑為，表面積為，
正方體的全面積為，
所以球的表面積與這個正方體的全面積之比為.
故答案為：.
14. 函數(shù)的值域是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
【詳解】，
因為，所以.
15. 水車在古代是進(jìn)行灌溉的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖，一個半徑為米的水車逆時針勻速轉(zhuǎn)動，水輪圓心O距離水面米.已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動1圈，如果當(dāng)水輪上一點從水中浮現(xiàn)時(圖中點)開始計時，經(jīng)過秒后，水車旋轉(zhuǎn)到點.
給出下列結(jié)論：

①在轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點的高度在水面米以上的持續(xù)時間為秒；
②當(dāng)時，點距水面的最大距離為米；
③當(dāng)秒時，；
其中所有正確結(jié)論的序號是_____________.
【答案】①③
【解析】
【分析】設(shè)經(jīng)過秒后，點的高度為，根據(jù)題意求出，得，由可得，①正確；由，得②錯誤；根據(jù)秒時，，為正三角形，可得③正確.
【詳解】設(shè)經(jīng)過秒后，點的高度為，
則，解得，，
因為水輪每分鐘轉(zhuǎn)動1圈，所以，
所以，
由，得，因為，所以，
所以.
對于①，由，得，
得，，得，，
又因為，所以，，
所以在轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點高度在水面米以上的持續(xù)時間為秒.
故①正確；
對于②，，故②錯誤；
對于③，當(dāng)秒時，，又，
所以為正三角形，所以米，故③正確.
故答案為：①③.
三、解答題共5小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 已知角頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點.
（1）求，；
（2）若角滿足，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義求，，對用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化后求解；
（2）由（1）先求出，利用兩角和的正切公式求出.
【詳解】解：（1）∵，∴
∴，，
∴.
（2）由（1）得：
∴
.
即
【點睛】(1) 三角函數(shù)值的大小與點P（x,y）在終邊上的位置無關(guān)，嚴(yán)格代入定義式子就可以求出對應(yīng)三角函數(shù)值；
(2)利用三角公式求三角函數(shù)值的關(guān)鍵：根據(jù)條件進(jìn)行合理的拆角，如等．
17. 已知向量，，．
（1）若點A，B，C共線，求實數(shù)m的值；
（2）若△ABC為直角三角形，求實數(shù)m的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】首先求出，，的坐標(biāo)；
（1）依題意可得，再根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示計算可得；
（2）對直角分三種情況討論，若為直角，則，所以，即可求出參數(shù)的值，其余類似；
【詳解】解：（1）因為，，，
所以，

因為、、三點共線，所以，所以，解得
（2）①若為直角，則，所以，解得
②若為直角，則，所以，解得
③若為直角，則，所以，即，因為，所以方程無解；
綜上可得，當(dāng)或時為直角三角形
18. 在中，．
（1）求角的大?。?br /> （2）若，，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角得，根據(jù)兩角和的正弦公式得，再根據(jù)三角形中的恒等式可求出結(jié)果；
（2）由余弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
在中，，
結(jié)合正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
，，
，，
【小問2詳解】
若，，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的面積
19. 已知函數(shù)，是的一個零點.
（1）求的值；
（2）當(dāng)時，若曲線與直線有個公共點，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，解方程可得結(jié)果；
（2）化簡得，利用正弦函數(shù)的圖象可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
由，得 ，
因為， 所以，所以，
所以．
【小問2詳解】
由（1）知，，
因為， 所以.
于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值,
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值,
又，即時，.
所以的取值范圍是．
20. 如圖，在四邊形中，，，.再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，解決下列問題．

①面積；
②.
（1）求的值；
（2）求的大小.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）若選①，根據(jù)面積公式求出，根據(jù)余弦定理求出求出，根據(jù)面積公式求出；若選②，根據(jù)兩角差的正弦公式可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)正弦定理可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
若選①，因為，所以，
所以，
又由，
得，得.
所以，得，
所以.
若選②，在中，，所以，

.
【小問2詳解】
由（1）及，則.
在△ADC中，，即，得.
又因為，所以滿足這樣的三角形有兩解.
所以或.


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