1、指數(shù)及指數(shù)運算
（1）根式的定義：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．
（2）根式的性質(zhì)：
當(dāng)為奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù).
當(dāng)為偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，它們互為相反數(shù).
（3）指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運算中的一個參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運算表示指數(shù)個底數(shù)相乘.
（4）有理數(shù)指數(shù)冪的分類
①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；
③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
（5）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指數(shù)函數(shù)
一、單選題
1．（2024高三上·陜西西安·期中）若是指數(shù)函數(shù)，則有（ ）
A．或B．
C．D．且
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念，由所給解析式，可直接求解.
【詳解】因為是指數(shù)函數(shù)，
所以，解得.
故選：C．
2．（2024高三·山東·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（ ）
A．或B．C．D．且
【答案】C
【分析】由指數(shù)函數(shù)的定義可得，同時，且，從而可求出的值
【詳解】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時，且，所以解得.
故選：C
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）當(dāng)x>0時，函數(shù)的值總大于1，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．1c>bB．a(chǎn)>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
【答案】A
【詳解】試題分析：∵函數(shù)是減函數(shù)，∴；又函數(shù)在上是增函數(shù)，故.從而選A
考點：函數(shù)的單調(diào)性.
11．（2024高二下·安徽宣城·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱可得，再根據(jù)當(dāng)時，單調(diào)遞減可得答案.
【詳解】定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，所以，
因為當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，
定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，
因為，所以，即.
故選：B.
12．（2024·海南·模擬預(yù)測）不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性可解.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，易知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)．
因為不等式等價于，
又，所以，
所以由函數(shù)的單調(diào)性知，即，
解得或，所以原不等式的解集為.
故選：D
13．（2024·全國）設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立，一定會有，從而求得結(jié)果.
詳解：將函數(shù)的圖像畫出來，觀察圖像可知會有，解得，所以滿足的x的取值范圍是，故選D.
點睛：該題考查的是有關(guān)通過函數(shù)值的大小來推斷自變量的大小關(guān)系，從而求得相關(guān)的參數(shù)的值的問題，在求解的過程中，需要利用函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖像，從而得到要出現(xiàn)函數(shù)值的大小，絕對不是常函數(shù)，從而確定出自變量的所處的位置，結(jié)合函數(shù)值的大小，確定出自變量的大小，從而得到其等價的不等式組，從而求得結(jié)果.
14．（2024·全國）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
15．（2024·北京）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．
【詳解】，故A錯誤，C正確；
，不是常數(shù)，故BD錯誤；
故選：C．
16．（2024·北京西城·三模）在下列四個函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】A.利用正切函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.利用絕對值函數(shù)的性質(zhì)判斷；C.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷；D.利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷.
【詳解】解：A. 的增區(qū)間為，在整個定義域上不單調(diào)，故錯誤；
B.的增區(qū)間是，在整個定義域上不單調(diào)，故錯誤；
C. 在R上遞增，故正確；
D. 的增區(qū)間是，在整個定義域上不單調(diào)，故錯誤；
故選：C
17．（2024高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)對于任意的實數(shù)、都有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由指數(shù)的運算性質(zhì)得到，逐一核對四個選項即可得到結(jié)論.
【詳解】解：由函數(shù)，
得，
所以函數(shù)對于任意的實數(shù)、都有.
故選：B.
【點睛】本題考查了指數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.
18．（2024高一上·浙江溫州·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函數(shù)單調(diào)性判斷與的大小，再由圖象與軸的交點位置判斷的正負(fù).
【詳解】由圖象可知，函數(shù)為減函數(shù)，
從而有；
法一：由圖象，函數(shù)與軸的交點縱坐標(biāo)，
令，得，
由，即，解得 .
法二：函數(shù)圖象可看作是由向左平移得到的，
則，即.
故選：D.
19．（2024高一上·北京西城·期中）若函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則一定有（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【分析】觀察到函數(shù)是一個指數(shù)型的函數(shù)，不妨作出其圖象，從圖象上看出其是一個減函數(shù)，并且是由某個指數(shù)函數(shù)向下平移而得到的，故可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖所示，圖象與軸的交點在軸的負(fù)半軸上（縱截距小于零），即，且，
，且．
故選：．
20．（2024高一上·全國·課后作業(yè)）若指數(shù)函數(shù)在上的最大值與最小值的和為，則（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可得出，然后分、兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的方程，解出即可.
【詳解】因為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，所以.
當(dāng)時，在上的最大值為，最小值為，則，解得或（舍）；
當(dāng)時，在上的最大值為，最小值為，則，解得（舍）或（舍）.
綜上可知，.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最值求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于對指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得出等式求解.
21．（2024·陜西西安·一模）已知實數(shù)a、b滿足，則a、b的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．不能確定
【答案】C
【分析】構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】設(shè)，，則，
因為函數(shù)和在上都為增函數(shù)，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以.
故選：C.
22．（2024·陜西）下了函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義一一代入分析即可.
【詳解】A選項：由，，得，所以A錯誤；
B選項：由，，得；
又函數(shù)是定義在上增函數(shù)，所以B正確；
C選項：由，，得，所以C錯誤；
D選項：函數(shù)是定義在上減函數(shù)，所以D錯誤；
故選：B.
23．（2024·全國）已知，則
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】因為，且冪函數(shù)在 上單調(diào)遞增，所以b

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