1、函數(shù)的極值
函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．
求可導函數(shù)極值的一般步驟
（1）先確定函數(shù)的定義域；
（2）求導數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．
注：①可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導號．
②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數(shù)，在極小值點是不可導的，于是有如下結(jié)論：為可導函數(shù)的極值點；但為的極值點．
一、單選題
1．（2024·全國）若是函數(shù)的極值點，則的極小值為．
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題可得，
因為，所以，，故，
令，解得或，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極小值為，故選A．
【名師點睛】（1）可導函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f ′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f ′(x)的符號不同；
（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．
2．（2024高二下·安徽亳州·期末）設函數(shù)一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】對于A選項函數(shù)的極大值不一定是函數(shù)的最大值，所以錯；對于B中的是將的圖象關(guān)于y軸對稱，所以是其極大值點,錯誤；對于C中的是將的圖象關(guān)x軸對稱，所以才是其極小值點，錯誤；而對于D中的是將的圖象關(guān)原點對稱，故是其極小值點，正確.
故選D.
3．（2024高三上·全國·單元測試）設，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.
【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.
有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.
當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.
當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.
綜上所述，成立.
故選：D
【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法可以快速解答.
4．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)
【答案】B
【詳解】函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個零點，
等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點，
在同一個坐標系中作出它們的圖象（如圖）
當a=時，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，
由圖可知，當0＜a＜時，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點．
則實數(shù)a的取值范圍是（0，）．
故選B．
5．（2024·吉林通化·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為k，則函數(shù)在上（ ）
A．有極大值，無最小值B．無極大值，有最小值
C．有極大值，有最大值D．無極大值，無最大值
【答案】D
【分析】利用導函數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間最值求得，進而判斷在上的單調(diào)性，即可得答案.
【詳解】由，則時，時，
所以在上遞增，上遞減，
而，在上的最大值為k，
所以，即，此時在上遞減，且無極大值和最大值.
故選：D
6．（2024高二下·河北秦皇島·期末）已知是函數(shù)的導函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則極值點的個數(shù)為（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到的取值情況，即可得到的單調(diào)性，即可得到極值點數(shù).
【詳解】由圖可知，當時，，即在上單調(diào)遞減；
當時，，即在上單調(diào)遞增；
當時，，即在上單調(diào)遞增；
當時，，即在上單調(diào)遞減.
所以在處取得極小值，在處取得極大值，
故極值點的個數(shù)為.
故選：B
7．（2024高三上·陜西渭南·階段練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．是函數(shù)的極小值點
B．是函數(shù)的極大值點
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在處的切線斜率小于零
【答案】C
【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象，求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值點定義，即可容易判斷選擇.
【詳解】由圖象得時，，時，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故是函數(shù)的極小值點，即選項A、B錯誤，C正確；
對選項D：顯然，故D錯誤.
故選：C．
8．（2024·陜西）對二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)
論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是
A．是的零點B．1是的極值點
C．3是的極值D．點在曲線上
【答案】A
【詳解】若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線上，所以，即，解得：，所以，，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A．
【考點定位】1、函數(shù)的零點；2、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．
9．（2024高三上·陜西漢中·階段練習）已知函數(shù)，則的極小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用導數(shù)求出函數(shù)極小值作答.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
求導得，
，，則由，得或，由，得，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當時，取得極小值，
所以函數(shù)的極小值為.
故選：A
10．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的大致圖像如圖所示，，是函數(shù)的兩個極值點，則等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求得，將已知條件，是函數(shù)的兩個極值點轉(zhuǎn)化為，是的兩個根，再根據(jù)韋達定理求解即可．
【詳解】因為函數(shù)的圖像過原點，所以．
又，即，解得，
所以，則，
又，是函數(shù)的兩個極值點，
所以，是的兩個根，
所以，，
所以．
故選：C．
11．（2024高二下·吉林長春·階段練習）已知實數(shù)成等比數(shù)列，且曲線的極大值點為，極大值為，則等于（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)實數(shù)成等比數(shù)列，可得．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，進而得出結(jié)論．
【詳解】因為實數(shù)成等比數(shù)列，所以，
由，得，
令，解得，
當或時，，當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減．
所以時，函數(shù)取得極小值，時，函數(shù)取得極大值．
因為曲線的極大值點為，極大值為，
所以，，即．
所以，所以，
故選：A．
12．（2024高二下·新疆昌吉·期末）如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，給出下列命題：
①x=-2是函數(shù)的極值點；
②x=1是函數(shù)的極值點；
③的圖象在處切線的斜率小于零；
④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
則正確命題的序號是（ ）
A．①②B．②④C．②③D．①④
【答案】D
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，與函數(shù)的單調(diào)性，極值點的關(guān)系，結(jié)合圖象即可作出判斷.
【詳解】對于①，根據(jù)導函數(shù)圖像可知，-2是導函數(shù)的零點，且-2的左右兩側(cè)導函數(shù)值符號異號，故-2是極值點，故①正確；
對于②，1不是極值點，因為1的左右兩側(cè)導函數(shù)符號一致，故②錯誤；
對于③，0處的導函數(shù)值即為此點的切線斜率顯然為正值，故③錯誤；
對于④，導函數(shù)在恒大等于零，故為函數(shù)的增區(qū)間，故④正確.
故選：D
【點睛】根據(jù)導函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系很容易分析單調(diào)性，然后要注意對極值點的理解，極值點除了是導函數(shù)得解還一定要保證在導函數(shù)值在此點兩側(cè)異號.
13．（2024高二下·全國·期中）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是的極小值點B．是的極小值點
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．曲線在處的切線斜率小于零
【答案】D
【分析】根據(jù)導函數(shù)圖像，求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值點定義，即可判斷ABC選項，根據(jù)導數(shù)的定義和幾何意義即判斷D選項，從而得出答案.
【詳解】由圖像知，當或時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
是的極大值點，3是的極小值點，故ABC錯誤；
又因為，所以曲線在處切線斜率小于零，故D正確.
故選：D.
14．（2024高三上·湖北武漢·階段練習）若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值滿足，則至少有（ ）個單調(diào)區(qū)間.
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)單調(diào)性與極值之間的關(guān)系分析判斷.
【詳解】若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值，則至少有3個單調(diào)區(qū)間，
若有3個單調(diào)區(qū)間，
不妨設的定義域為，若，其中可以為，可以為，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（若定義域為內(nèi)不連續(xù)不影響總體單調(diào)性），
故，不合題意，
若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，不合題意；
若有4個單調(diào)區(qū)間，
例如的定義域為，則，
令，解得或，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故函數(shù)存在一個極大值與一個極小值，且，滿足題意，此時有4個單調(diào)區(qū)間，
綜上所述：至少有4個單調(diào)區(qū)間.
故選：B.
15．（2024高三·全國·專題練習）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值
C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值
D．函數(shù)的最小值為
【答案】C
【分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象確定的單調(diào)性，從而比較函數(shù)值的大小及極值情況，對四個選項作出判斷.
【詳解】由題圖可知，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又a1，則當時，；
當時，.
所以在x=1處取得極小值.
若，則當時，，
所以.
所以1不是的極小值點.
綜上可知，a的取值范圍是.
方法二：.
（1）當a=0時，令得x=1.
隨x的變化情況如下表：
∴在x=1處取得極大值，不合題意.
（2）當a>0時，令得.
①當，即a=1時，，
∴在上單調(diào)遞增，
∴無極值，不合題意.
②當，即01滿足題意.
（3）當a，則當x∈(，2)時，f ′(x)0．
所以f (x)0，當x0

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