1、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算
（1）對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，讀作以為底的對(duì)數(shù)，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．
（2）常見對(duì)數(shù)：
①一般對(duì)數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對(duì)數(shù)；
②常用對(duì)數(shù)：以為底，記為；
③自然對(duì)數(shù)：以為底，記為；
（3） 對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：
①；；其中且；
②（其中且，）；
③對(duì)數(shù)換底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像
（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．
對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象
一、單選題
1．（2024高一上·內(nèi)蒙古包頭·期中）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高三·北京·學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024高三·河南·階段練習(xí)）已知，分別是方程和的根，若，實(shí)數(shù)a，，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若滿足，滿足，則等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知 是方程的根， 是方程的根，則的值為（ ）
A．2B．3C．6D．10
7．（2024·天津）化簡(jiǎn)的值為（ ）
A．1B．2C．4D．6
8．（2024·浙江）已知，則（ ）
A．25B．5C．D．
9．（2024高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）若，則（ ）
A．B．C．1D．
10．（2005·江西）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
11．（2024·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)是上的單調(diào)函數(shù)，且，則在上的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
12．（2024高三上·山東泰安·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
13．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)且，若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024高二下·云南保山·期末）函數(shù)的圖象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
15．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（ ）
A．B．
C．D．
16．（2024高三上·江蘇無錫·期末）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）．
A．B．
C．D．
17．（2024高二下·北京東城·期末）若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
18．（2024高三上·福建寧德·階段練習(xí)）已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（ ）
A．B．2C．1D．
19．（2007·天津）設(shè)均為正數(shù)，且，，．則（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·湖南）函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是
A．1B．2C．3D．4
21．（2024·北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2024高二下·吉林長(zhǎng)春·期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
23．（2024高一上·黑龍江大慶·期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則的單調(diào)遞增區(qū)間是
A．B．
C．D．
24．（2024·全國(guó)）若，則（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·全國(guó)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
26．（2024·全國(guó)）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．C．D．
27．（2024高一上·北京海淀·期末）已知，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
28．（2024高三上·北京豐臺(tái)·期末）已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2024·海南）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
30．（2024高三上·云南保山·階段練習(xí)）已知是上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
31．（2007·山西）設(shè)函數(shù)在區(qū)間，上的最大值與最小值之差為，則_____
A． B．2C． D．4
32．（2008·全國(guó)）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（ ）
A．B．C．D．
33．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且滿足，則（ ）
A．4B．2C．1D．
34．（2004·上海）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（ ）
A．B．C．D．
35．（2024·陜西）設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，則函數(shù)的圖像是（ ）
A．B．
C．D．
36．（2024高二下·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．3B．2C．D．
37．（2024高一下·全國(guó)·單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)，若，則的值為（ ）
A．B．1C．或1D．或1或
38．（2024高二上·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
39．（2024高一下·湖南·期末）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多選題
40．（2024高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）當(dāng)時(shí)，，則的值可以為（ ）
A．B．C．D．
41．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
42．（2024·廣東惠州·一模）若，則（ ）
A．B．
C．D．
43．（2024高一上·江蘇南京·期末）若函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值可能為（ ）
A．B．0C．2D．3
44．（2024高一下·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
45．（2024高二下·福建三明·期末）若函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．周期為4
C．為偶函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，
三、填空題
46．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)） ．
47．（2024·河南·二模）已知，，則 ．
48．（2024·上海徐匯·模擬預(yù)測(cè)）方程的解集為 ．
49．（2024·山東淄博·二模）設(shè)，滿足，則 .
50．（2024·天津南開·二模）計(jì)算的值為 .
51．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若，，用a，b表示
52．（2024高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）解關(guān)于x的不等式解集為 ．
53．（2024高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）方程的解為 ．
54．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集為 ．
55．（2024·新疆阿勒泰·三模）正數(shù)滿足，則a與大小關(guān)系為 ．
56．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值是2，則a等于
57．（2024高一上·山東臨沂·期末）若函數(shù)（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數(shù)在上是增函數(shù)，則的值是 ．
58．（2024高一上·河南南陽·期中）若函數(shù)有最小值，則的取值范圍是 ．
59．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù): .
① ;②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減; ③為偶函數(shù).
60．（2024高三上·江蘇泰州·期中）已知函數(shù)同時(shí)滿足（1）；（2），其中，則符合條件的一個(gè)函數(shù)解析式＝ ．
61．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為 .
62．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù),若，則 ，函數(shù)的值域?yàn)? ．
63．（2024高一下·上海寶山·階段練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
64．（2024高一上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
四、解答題
65．（2024高三上·陜西安康·期末）已知函數(shù).
(1)若，求a的值；
(2)若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.
66．（2024·上海寶山·模擬預(yù)測(cè)）已知，.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
（2）對(duì)任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
67．（2024·全國(guó)）解不等式：．
68．（2024·北京）解不等式：．
69．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）（1）函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)對(duì)一切均有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式．
70．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且它的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
(1)求證：是周期為4的周期函數(shù)；
(2)若，求時(shí)，函數(shù)的解析式.
圖象

性質(zhì)
定義域：
值域：
過定點(diǎn)，即時(shí)，
在上增函數(shù)
在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
（一）
對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式
對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對(duì)數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對(duì)數(shù)單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)的問題，但這里必須注意對(duì)數(shù)的真數(shù)為正.
題型1：對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式
1-1．（2024·北京）已知函數(shù)，則 ．
1-2．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）使成立的的取值范圍是
1-3．（2024·全國(guó)）已知函數(shù)，若，則 ．
1-4．（2024高三上·江蘇南京·期中）設(shè)函數(shù)，則 .
1-5．（2024高三下·上海·階段練習(xí)）若，且，則 ．
1-6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）= ；
（二）
對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像
研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.
題型2：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像
2-1．（2024·山東菏澤·三模）已知函數(shù)且過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在直線上，則的最小值為 ．
2-2．（2024高二上·四川綿陽·單元測(cè)試）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中、，則的最小值為 .
2-3．（2024高二上·河北衡水·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，對(duì)任意的，，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
2-4．（2024高三·四川·對(duì)口高考）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，其中且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2-5．（2024·陜西）函數(shù)的圖像大致為（ ）
A．B．
C．D．
（三）
對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））
研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.
題型3：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題
3-1．（2024高二下·福建莆田·期中）函數(shù)，則定義域是 ．
3-2．（2024·北京）函數(shù)的值域?yàn)? .
3-3．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則a的取值范圍為 ；若函數(shù)的值域?yàn)?，則a的取值范圍為 .
3-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是 ．
題型4：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和最值
4-1．（2024高三·重慶渝中·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
4-2．（2024高三下·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在上為減函數(shù)，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4-3．（2024高一下·陜西寶雞·期末）已知函數(shù)的最小值為0，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
4-4．（2024高一下·湖北·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4-5．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知，設(shè)，則函數(shù)的最大值為 .
4-6．（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為 .
4-7．（2024·天津）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
題型5：對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合
5-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足：，則；當(dāng)時(shí)，，則 ．
5-2．（2024高一上·江蘇徐州·期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是 .
5-3．（2024·陜西寶雞·二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞減
C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D．有最小值，但無最大值
5-4．（2024·全國(guó)）設(shè)函數(shù)，則f(x)（ ）
A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
（四）
對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
1.不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
2.（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像求解；
（2）分離自變量與參變量，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.
題型6：對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
6-1．（2024高二下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
6-2．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
6-3．（2024高三下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
6-4．（2024高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．

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專題07 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)6題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)（解析版）

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專題02 常用邏輯用語3題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)(原卷版）

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