基礎(chǔ)鞏固
1．如果橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（ ）
A．6B．26C．4D．14
【答案】D
【分析】根據(jù)橢圓的定義及橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6 ，可得的長(zhǎng).
【詳解】解：根據(jù)橢圓的定義，
又橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，
，則，
故選：D.
2．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，且是橢圓上的一點(diǎn)，則三角形的周長(zhǎng)是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)橢圓的定義先求出的值，又可得三角形的周長(zhǎng).
【詳解】
故選：D
3．已知橢圓，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.
【詳解】由橢圓得：，所以，解得，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)，
故選：A.
4．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，則的值是（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由題意可得焦點(diǎn)在軸上，由，可得的值．
【詳解】橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，焦點(diǎn)在軸上，
，，，
．
故選：B
5．若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可得，從而可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，
所以，解得，
故選：D
6．求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】由頂點(diǎn)的絕對(duì)值大小可分辨的值，進(jìn)而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】
故答案為：
能力進(jìn)階
1．點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（ ）
A．13B．1C．7D．5
【答案】D
【分析】由橢圓方程求得，再由橢圓定義可得．
【詳解】由已知，．
故選：D．
2．若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，焦點(diǎn)在軸上的橢圓分母的大小關(guān)系可得.
【詳解】方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則
故答案為：
3．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)出橢圓方程，結(jié)合已知條件，即可容易求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)其方程為：，顯然，，
則，故橢圓方程為.
故選：B.
4．橢圓上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由橢圓定義可直接求得結(jié)果.
【詳解】由橢圓方程知：；
根據(jù)橢圓定義可知：橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為.
故選：D.
5．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是和，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，0），則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】依題意可知且橢圓焦點(diǎn)在軸上，
由于橢圓過(guò)點(diǎn)，所以，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：A
6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與C分別交于M，N兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】20
【分析】由橢圓定義可知，的周長(zhǎng)為．
【詳解】由，得，由橢圓定義可知，的周長(zhǎng)為．
故答案為：20.
素養(yǎng)提升
1．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)（左、右頂點(diǎn)除外），若的周長(zhǎng)為8，則（ ）
A．1B．C．8D．
【答案】C
【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，
所以的周長(zhǎng)，
由橢圓方程得，又，
解得，
所以，
故選：C
2．如果方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】.
【分析】先將方程變形為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由焦點(diǎn)在軸上，列不等式可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由，得，
因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，
所以，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：.
3．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為，則的值為_(kāi)___________.
【答案】
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在軸上和焦距長(zhǎng)，可直接構(gòu)造方程求得.
【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距，解得：.
故答案為：.
4．下列方程中哪些是橢圓的方程？若是，指出焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)是橢圓的方程，焦點(diǎn)在軸上
(2)是橢圓的方程，焦點(diǎn)在軸上
(3)不是橢圓的方程
(4)是橢圓的方程，焦點(diǎn)在軸上
【分析】對(duì)每一問(wèn)的方程結(jié)構(gòu)和橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程比較即可求解.
(1)
對(duì)于方程，由于，可知此方程是橢圓的方程，焦點(diǎn)在軸上；
(2)
對(duì)于方程，由于，可知此方程是橢圓的方程，焦點(diǎn)在軸上；
(3)
對(duì)于方程，變形為可知此方程是圓的方程，因此不是橢圓的方程；
(4)
對(duì)于方程，變形為，可知此方程是橢圓的方程，由于，可知焦點(diǎn)在軸上.
5．（1）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知橢圓中，且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，代入，結(jié)合，求出，得到橢圓方程；
（2）根據(jù)，得到，結(jié)合求出，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】（1）顯然橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的方程為，
則，解得：，
橢圓方程為：
（2）因?yàn)?，，解得：?br>又因?yàn)?，所以?br>橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.

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3.1.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 高教版（2021）

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