一、選擇題（共20小題；）
1. 已知函數(shù) 的圖象如圖所示（其中 是函數(shù) 的導函數(shù)），則函數(shù) 的圖象可能是
A. 11B. 11
C. 11D. 11

2. 已知函數(shù) 的圖象如下圖所示，則函數(shù) 的圖象大致是
A. B.
C. D.

3. 已知 ， 為 的導函數(shù)，則 的圖象是
A. B.
C. D.

4. 已知 的圖象如圖所示（其中 是函數(shù) 的導數(shù)），下面四個圖象中， 的圖象大致是
A. B.
C. D.

5. 已知 為 上的連續(xù)可導函數(shù)，且 ，則函數(shù) 的零點個數(shù)為
A. B. C. 或 D. 無數(shù)個

6. 函數(shù) 的大致圖象是
A. B.
C. D.

7. 設(shè)函數(shù) 有三個零點 ，，，且 ，則下列結(jié)論正確的是
A. B. C. D.

8. 已知 ， 為 的導函數(shù)，則 的圖象t是
A. B.
C. D.

9. 已知函數(shù) 的圖象與 軸恰有兩個公共點，則
A. B. C. D.

10. 設(shè)函數(shù) ，若 為函數(shù) 的一個極值點，則下列圖象不可能為 的圖象是
A. B.
C. D.

11. 設(shè) ，，，，，，則
A. B. C. D.

12. 如圖，點 ，，，過點 作 的垂線 ．記 在直線 左側(cè)部分的面積為 ，則函數(shù) 的圖象為下圖中的
A. B.
C. D.

13. 若三次函數(shù) 有極值點 ， 且 ，設(shè) 是 的導函數(shù)，那么關(guān)于 的方程 的不同實數(shù)根的個數(shù)為
A. B. C. D.

14. 已知定義在 上的函數(shù) 的導函數(shù)為 ， 且 ，若對任意 ， 恒成立，則不等式 的解集為
A. B.
C. D.

15. 已知函數(shù) 只有兩個零點，則實數(shù) 的最小值是
A. B. C. D.

16. 已知函數(shù) 的部分圖象如圖，則 的解析式可能是
A. B.
C. D.

17. 已知函數(shù) ，若 存在唯一的零點 ，且 ，則 的取值范圍為
A. B. C. D.

18. 設(shè) 定義 （ 且 為常數(shù)），若 ，，，．下述四個命題：
① 不存在極值；
②若函數(shù) 與函數(shù) 的圖象有兩個交點，則 ；
③若 在 上是減函數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍是 ；
④若 ，則在 的圖象上存在兩點，使得在這兩點處的切線互為垂直．
A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ②④

19. 已知函數(shù) ，（其中 為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù) 有 個零點，則 的取值范圍為
A. B. C. D.

20. 已知函數(shù) ，若關(guān)于 的不等式 只有兩個整數(shù)解，則實數(shù) 的取值范圍是
A. B.
C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 方程 的實根個數(shù)為 ．

22. 已知函數(shù) ，：
①函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ；
②若函數(shù) 有且只有一個零點，則 ；
③若 ，則 ，使得函數(shù) 恰有 個零點 ，， 恰有一個零點 ，且 ，．
其中，所有正確結(jié)論的序號是 ．

23. 設(shè)函數(shù) 滿足 ，且當 時，．若在區(qū)間 內(nèi)，存在 個不同的實數(shù) ，，，使得 ，則實數(shù) 的取值范圍為 ．

24. 已知函數(shù) ．若函數(shù) 恰有 個零點，則實數(shù) 的取值范圍是 ．

25. 定義在 上的偶函數(shù) 滿足 ，當 時，，則函數(shù) 在 上的零點個數(shù)為 （其中 為自然對數(shù)的底數(shù)，）．

三、解答題（共5小題；）
26. 已知函數(shù) ．
（1）證明：對任意 ，函數(shù) 的導函數(shù) 是偶函數(shù)；
（2）若 ，，討論函數(shù) 的零點個數(shù)．

27. 已知函數(shù) ．
（1）求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于 的方程 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個相異的實根，求實數(shù) 的取值范圍．

28. 已知函數(shù) （其中 是自然對數(shù)的底數(shù)，）．
（1）討論函數(shù) 的單調(diào)性；
（2）當函數(shù) 有兩個零點 ， 時，證明 ．

29. 已知函數(shù) 有兩個零點．
（1）求 的取值范圍．
（2）設(shè) ， 是 的兩個零點，證明：．

30. 已知函數(shù) ，函數(shù) ．
（1）若曲線 與曲線 在它們的交點處具有公共切線，求 的值．
（2）若存在實數(shù) 使不等式 的解集為 ，求實數(shù) 的取值范圍．
（3）若方程 有三個不同的解 ，且它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，寫出實數(shù) 的值（只需寫出結(jié)果）．
答案
1. C【解析】根據(jù)題中圖象，得當 時，，所以 遞增；
當 時，，所以 遞減；
當 時，，所以 遞減；
當 時，，所以 遞增．
2. C
3. A【解析】依題意 ，令 ，
則 ，
由于 ，故排除C選項．
由于 ，故 在 處導數(shù)大于零，故排除B，D選項．故本小題選A．
4. C【解析】當 時，，
所以 ，故 在 上為減函數(shù)；
當 時，，
所以 ，故 在 上為增函數(shù)．
5. A
【解析】因為 ，，
所以 在 上單調(diào)遞增，
因為 ， 為 上的連續(xù)可導函數(shù)，
所以 為 上的連續(xù)可導函數(shù)，，
所以 在 上無零點．
6. A【解析】，
令 得 ，
所以當 時，，
當 時，，
所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
因為當 時，，
所以函數(shù)圖象與 軸交于點 ；
令 得 ，
所以 只有 個零點 ，
當 時，，
當 時，，
綜上，函數(shù)圖象為 A．
7. D【解析】，令 得 或 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增．
所以 在 ，， 上各有一個零點．
所以 ，故A錯誤；
因為 ，，，，
所以 ，故B錯誤；D正確．
因為 ，
所以 ，故C錯誤．
8. A
9. A【解析】記 ，則有 ．當 或 時，；當 時，，因此函數(shù) 在 上分別是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)，且 ，．要使函數(shù) 的圖象與 軸恰有兩個公共點，結(jié)合圖形分析可知 或 ，即 或 ．
10. D
【解析】設(shè) ，則 ，
由 為函數(shù) 的一個極值點，代入上式，
可得 ，
所以 ，若 有兩個零點 ，
那么 ， 中的圖象一定不滿足
11. A
12. D【解析】函數(shù)的定義域為 ，當 時，在單位長度變化量 內(nèi)面積變化量 大于 且越來越大，即斜率 在 內(nèi)大于 且越來越大，因此，函數(shù) 的圖象是上升的且圖象是下凸的；
當 時，在單位長度變化量 內(nèi)面積變化量 大于 且越來越小，即斜率 在 內(nèi)大于 且越來越小，因此，函數(shù) 的圖象是上升的且圖象是上凸的；
當 時，在單位長度變化量 內(nèi)面積變化量 為 ，即斜率 在 內(nèi)為常數(shù) ，此時，函數(shù)圖象為平行于 軸的射線．
13. D【解析】由題意可得函數(shù) 有兩個不同的實數(shù)根 ，，
其中 ，
則： 或 ，據(jù)此分類討論：
①若 ，當 時， 或 ，
當 時，，
此時共有三個不同的實數(shù)根 ，，．
②若 ，當 時， 或 ，
當 時，，
此時共有三個不同的實數(shù)根 ，，．
③若 ， 沒有極值點，不合題意．
綜上可得，方程 的不同實數(shù)根的個數(shù)為 ．
14. C【解析】由題可知：，，
所以 ，即 ，
令 ，則 ，
又對任意 ， 恒成立，
所以 ，可知函數(shù) 在 單調(diào)遞增，
又 ，所以 ，
所以 即 的解集為 ，
即不等式 的解集為 ．
15. D
【解析】，令 ，解得 ，，故函數(shù)在 和 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，所以 ，，而 ，因為函數(shù)只有兩個零點，所以 ，故 ，取對數(shù)得 ，即 ，
而

當且僅當 ， 時等號成立，故最小值為 ．
16. C【解析】由圖象可知，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)．
對A項，由于定義域不是 ，則A錯誤；
對B項，當 時，，
；，
則函數(shù) 在 不是單調(diào)遞增，則B錯誤；
對C項，，則函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
又 ，則函數(shù) 為奇函數(shù)，則C正確；
對D項，，
則函數(shù) 不是奇函數(shù)，則D錯誤．
17. C
18. C【解析】①因為 ，，，
所以 ，
則 ，
當 的 時， 即有極大值，又有極小值，故①錯誤；
②因為 ，若函數(shù) 與函數(shù) 有兩個交點，
則 與函數(shù) 相切，此時切點為 ，
切線斜率為 ，故②正確；
③若 在減函數(shù)，則 對于 恒成立，
即 恒成立，
因為 ，
所以 恒成立，
所以 ，
所以 ，即實數(shù) 的取值范圍是 ，故③正確；
④當 時，，
設(shè) ， 是 曲線上的任意兩點，
因為 ，
所以 ，
所以 不成立．
所以 的曲線上不存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直．故④錯誤．
故真命題序號為：②③．
19. B【解析】作出 的圖象如圖 所示，
，令 ，得 ，
令 ，得 或 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，在 ， 上單調(diào)遞減，
作出 的大致圖象如圖 所示，
令 ，
①顯然當 時， 無零點；
②當 時，即 ，則 ，即 或 ，
此時 有 個零點，不合題意；
③當 時， 有 個根，不妨設(shè) ，此時 有 個根， 有 個根， 有 個不同實根，此時，有 個不同實根，
所以 必須沒有實數(shù)根，
所以 ，即 ；
④當 時，此時 有 個零點，不合題意；
⑤當 時， 有 個根，不妨設(shè) ，，
所以 有 個根， 有 個根，此時 有 個零點，不合題意，
綜上所述，．
20. C
【解析】，令 得 ，
所以當 時，， 單調(diào)遞增，
當 時，， 單調(diào)遞減，
由當 時，，當 時，，
作出 的大致函數(shù)圖象如圖所示：
（）若 ，即 ，顯然不等式有無窮多整數(shù)解，不符合題意．
（）若 ，則 或 ，
由圖象可知 有無窮多整數(shù)解，不符合題意．
（）若 ，則 或 ，
由圖象可知 無整數(shù)解，故 有兩個整數(shù)解，
因為 ，且 在 上單調(diào)遞減，
所以 的兩個整數(shù)解必為 ，，
又 ，
所以 ，解得 ．
21.
【解析】令 ，則 ，當 時，， 單調(diào)遞增；當 時，， 單調(diào)遞減．
所以 ，所以 恒成立，即原方程無實根．
22. ①③
【解析】當 時， 單調(diào)遞增；
當 時， 單調(diào)遞減，
所以函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ；即①正確；
由圖可知 分別與 以及 相切時， 有且只有一個零點，
設(shè) 與 切點為 ，
因為 ，
所以 ，
因為 ，
所以 ，；
同理可得 與 相切時，，因此②錯誤；
由圖可知 ，，則 ，所以③正確；
故答案為：①③．
23.
【解析】因為 ，所以 ，當 時，，所以 ，在直角坐標系內(nèi)作出函數(shù) 的圖象（圖略），而 表示的是該圖象上的點與原點的連線的斜率．
圖象上的點 與原點的連線的斜率為 ；當過原點的直線與曲線 ， 相切時，斜率為 （利用導數(shù)解決）．
所以由圖可知，滿足題意得實數(shù) 的取值范圍為 ．
24.
【解析】當 時，函數(shù) 單調(diào)遞增；
當 時，，則 時，，
且 時，， 時，，
故當 時， 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
在 處取極小值，極小值為 ．
作出函數(shù) 的圖象如圖：
函數(shù) 恰有 個零點，
等價于函數(shù) 與 的圖象有且僅有 個零點，
由圖可知，．
25.
【解析】由 可知函數(shù) 是周期為 的周期函數(shù)，且函數(shù) 為偶函數(shù)，
由 時， 的圖象，可畫出 上的圖象，進而畫出函數(shù) 的圖象．
令 ，則 ，畫出 ， 兩個函數(shù)的圖象如圖所示，
當 時，，其斜率為 ．
令 ，解得 ，代入 得 ，
函數(shù) 在點 處的切線方程為 ，即 ，
即函數(shù) 與 在點 處相切于點 ．
，且 ．
由圖可知，兩個函數(shù)有 ，，， 四個公共點，故 有 個零點．
26. （1） 函數(shù) 的定義域是 ，
則 ，函數(shù) 的定義域是 ．
因為對任意 ，都有 ，即 ．
因此，對任意 ，導函數(shù) 是偶函數(shù)．
（2） ，．
令 ，則 ．
因為 ，所以 ，所以 在 上單調(diào)遞增．
因為 ，，
所以一定存在 ，使得 ．
所以在 上，，，函數(shù) 單調(diào)遞減；
在 上，，，函數(shù) 單調(diào)遞增，
所以 ．
又 中，，，，
所以 ，即 ，所以函數(shù) 的零點個數(shù)為 ．
27. （1） 因為函數(shù) 的定義域為 ，
則 ，
因為 ，則使 的 的取值范圍為 ，
故函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ．
（2） 方法一：
因為 ，
所以 ，
令 ，
因為 ，且 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，
故 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個相異實根等價于 即
解得：，
綜上所述， 的取值范圍是 ．
方法二：
因為 ，
所以 ，即 ，
令 ，
因為 ，且 ，
由 得，；由 ，得 ，
所以 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減，
因為 ，，，
又 ，
故 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個相異實根等價于 ，
即 ，
綜上所述， 的取值范圍是 ．
28. （1） 易得 ，
當 時，令 ，得 ，
可得當 時，，
當 時，，
所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
當 時， 恒成立，故此時函數(shù) 在 上單調(diào)遞增．
（2） 當 時，由（）知函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，不存在兩個零點，
所以 ，
由題意知 ，，
所以 ，，可得 ，
不妨設(shè) ，令 ，則 ，
由 解得 ，，
所以 ，
欲證 ，只需證明 ，即證 ，
令 ，則 ，
令 ，則 ， 單調(diào)遞增，
所以 ，
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
所以當 時，，即 ，原不等式得證．
29. （1） 的取值范圍為 ．
（2） 求導得 ，由（）知 ．
所以函數(shù) 的極小值點為 ．
結(jié)合要證結(jié)論 ，即證 ．若 和 屬于某一個單調(diào)區(qū)間，那么只需要比較 和 的大小，即探求 的正負性．
于是通過上述觀察分析即可構(gòu)造輔助函數(shù) ，，代入整理得 ．
求導得 ．即 時，，則函數(shù) 是 上的單調(diào)減函數(shù)．
于是 ，則 ，即 ．
由 ， 是 的兩個零點，并且在 的兩側(cè)，
所以不妨設(shè) ，則 ，即 ．
由（）知函數(shù) 是 上的單調(diào)增函數(shù)，且 ，
所以 ．
故 得證．
30. （1） 設(shè) 與 的交點坐標為 ，
因為
所以 ．
又因為曲線 與曲線 在它們的交點處具有公共切線，
所以
解得 或 ，
所以 或 ．
（2） 令 ，
由題意知 的圖象在直線 下方的部分對應(yīng)點的橫坐標 ，
令 ，解得 或 ．
所以 的變化情況如下：

因為 ，即 ；
，即 ，
（或者：因為當 時，，當 時，），
又因為 ．
所以 或 ．
（3）

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