TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc133325120" 類型一：先同構(gòu)，構(gòu)造相同的函數(shù)，比較不同的函數(shù)值 PAGEREF _Tc133325120 \h 1
\l "_Tc133325121" 類型二：構(gòu)造不同的函數(shù)判斷相同的函數(shù)值 PAGEREF _Tc133325121 \h 2
\l "_Tc133325122" 類型三：用放縮法比較大小 PAGEREF _Tc133325122 \h 4
滿分策略：
1.依據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)單調(diào)性，大膽試根，再由單調(diào)性說明此根的唯一性；
2.先虛設(shè)零點(diǎn)，設(shè)而不求，通過形式化的變量代換或推理，達(dá)到花間并求解的目的；
3.多次求導(dǎo)，合理變形，直至能夠求解。
類型一：極值點(diǎn)偏移問題
典型例題：
【例1】．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.
試題分析：
(1) 首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.
(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.
詳細(xì)解答：
(1)的定義域?yàn)椋?br>由得，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，
①令，
則，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br>于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設(shè)．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因?yàn)?，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設(shè)，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以，?br>又因?yàn)?，所以?br>即．
因?yàn)椋裕矗?br>綜上，有結(jié)論得證．
【整體點(diǎn)評】(2)方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.
方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.
方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.
【例2】．（2022·天津·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn)且，證明：.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
(2)答案見解析
(3)證明見解析
試題分析：
（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，即可得到的解析式，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）得，，再對分三種情況討論結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，分別得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）由（2）可得且，依題意可得，利用導(dǎo)數(shù)證明，即可得到，從而得證；
詳細(xì)解答：
（1）
解：因?yàn)椋?
所以．
即，，則．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）
解：由（1）得，．
當(dāng)時(shí)，，則在上無零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，則在上有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，?br>所以，，，
故在上有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)．
（3）
證明：由（2）及有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，
可得， 在上有兩個(gè)零點(diǎn)，且．
所以，
兩式相減得，即．
因?yàn)?，所以?
下面證明，即證．
令，則即證．
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
故．
又，
所以，
故．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
題型專練：
1．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．
2．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)，若恒成立，求的最小值；
(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，求證：.
3．（2023春·重慶南岸·高二重慶第二外國語學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)．
(1)若在單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．
4．（2023春·江西撫州·高三金溪一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，若在[上的最大值為，求；
(2)已知是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若不等式恒成立，求正數(shù)m的取值范圍．
5．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若，求不等式的解集；
(2)若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：.
6．（2023·山東濰坊·?？寄M預(yù)測）已知.
(1)若存在實(shí)數(shù)，使得不等式對任意恒成立，求的值；
(2)若，設(shè)，證明：
①存在，使得成立；
②.
7．（2023春·四川成都·高二樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且.求證：.
8．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、.
(1)求的取值范圍；
(2)若時(shí)，不等式恒成立，求的最小值.
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（）.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍.
10．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)若，求方程的解；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)且有兩個(gè)極值點(diǎn)，記兩個(gè)極值點(diǎn)為，求的取值范圍并證明．
11．（2023春·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若是的兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，證明：.
12．（2023·江西撫州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)， 其中為實(shí)數(shù)，為自然對數(shù)底數(shù)，．
(1)已知函數(shù)，，求實(shí)數(shù)取值的集合；
(2)已知函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、．
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②證明：．
類型二：隱零點(diǎn)問題
滿分策略：
1.比值代換法，利用關(guān)系式將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示，代入要證明的不等式，花間后根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)，從而求出其最值；
2.構(gòu)造關(guān)聯(lián)函數(shù)求解。
典型例題：（2022春·福建廈門·高二廈門外國語學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，且函數(shù)與有相同的極值點(diǎn).
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若對，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）求證：.
【答案】B
試題分析：
通過構(gòu)造函數(shù)，分別比較和，和與和的大小，即可得出a，b，c的大小關(guān)系.
詳細(xì)解答：
故選：B.
題型專練：
13．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）已知.
(1)若在處的切線的斜率是，求當(dāng)在恒成立時(shí)的m的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程，有唯一根，求t的取值范圍.
14．（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，求a的取值范圍.
15．（內(nèi)蒙古赤峰市2023學(xué)年高三二模數(shù)學(xué)理科試題）已知函數(shù).
(1)在當(dāng)時(shí)，分別求和過點(diǎn)的切線方程；
(2)若，求的取值范圍.
16．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一中學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
17．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．
18．（2023秋·四川樂山·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若，求的單調(diào)性
(2)若，求證：當(dāng)時(shí)，.
(3)若，求證：當(dāng)時(shí)，.
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，其中，，為實(shí)常數(shù)
(1)若時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，當(dāng)時(shí)，證明：.
20．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）
(1)若，求在處的切線方程；
(2)證明：，當(dāng)時(shí)，．

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