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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc133325120" 類型一：先同構(gòu)，構(gòu)造相同的函數(shù)，比較不同的函數(shù)值 PAGEREF _Tc133325120 \h 1
\l "_Tc133325121" 類型二：構(gòu)造不同的函數(shù)判斷相同的函數(shù)值 PAGEREF _Tc133325121 \h 2
\l "_Tc133325122" 類型三：用放縮法比較大小 PAGEREF _Tc133325122 \h 4
滿分策略：
討論零點(diǎn)個數(shù)的實(shí)質(zhì)是研究函數(shù)圖像的變化趨勢，通過變化趨勢看是否與x軸存在公共點(diǎn)，以此確定零點(diǎn)個數(shù)；在利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時，一般不使用極限語言，故嘗嘗需要“取點(diǎn)”，可借助ex≥x+1，lnx≤x-1等結(jié)構(gòu)放縮，必要時可構(gòu)造函數(shù)證明多取點(diǎn)的符號。
類型一：討論零點(diǎn)個數(shù)
典型例題：（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)（、均為實(shí)數(shù)）.
(1)當(dāng)時，若是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時，求的零點(diǎn)個數(shù).
【答案】(1)
(2)的零點(diǎn)個數(shù)是
試題分析：
（1）當(dāng)時，可得出，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，分析可知恒成立，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）令可得出，設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可得出方程的解的個數(shù)，即可得解.
詳細(xì)解答：
（1）解：，.
，且，即.
設(shè)，則，即.
不等式的解集為，的解集為.
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋?，?br>為單調(diào)增函數(shù)，恒成立，即.
（2）解：由得.
設(shè)，則，則，
即.
令，則，且.
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.，.
且，，在區(qū)間單調(diào)遞增.
設(shè)，其中，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，，即，
，
，當(dāng)時，.
當(dāng)時，，
，當(dāng)時，.
對任意實(shí)數(shù)，方程只有一個解，即的零點(diǎn)個數(shù)是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.
題型專練：
1．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).則（ ）
A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為0
C．當(dāng)時，
D．當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為1
【答案】B
【分析】令，求得且，分別當(dāng)和時，可判定A、C錯誤；當(dāng)，得到；當(dāng)時，求得，令，求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，可判定B正確；當(dāng)，得到；當(dāng)，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值，得到，進(jìn)而可判定D不正確.
【詳解】令，則，且，
當(dāng)時，，所以存在一個較小的數(shù)使得都有，
當(dāng)時，，所以存在一個較小的數(shù)使得都有所以A、C都不正確；
對于B中，當(dāng)，則，
當(dāng)時，可得，令，
可得，所以在單增，則，
即，所以在單增，則，即，
所以的零點(diǎn)個數(shù)為0，所以B正確；
對于D中，當(dāng)，則；
當(dāng)，令，可得，令，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以，
所以，
所以的零點(diǎn)個數(shù)為0，所以D不正確.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
2．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】作出函數(shù)的圖象，可設(shè)，可得，判斷與交點(diǎn)個數(shù)，進(jìn)而將的零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，可得答案.
【詳解】設(shè)，令可得：,
對于，，故在處切線的斜率值為，
設(shè)與相切于點(diǎn)，
切線斜率，則切線方程為：，
即，解得：；
由于，故作出與圖象如下圖所示，
與有四個不同交點(diǎn)，
即與有四個不同交點(diǎn)，
設(shè)三個交點(diǎn)為，由圖象可知：，
作出函數(shù)的圖象如圖，
由此可知與無交點(diǎn)，與有三個不同交點(diǎn)，與各有兩個不同交點(diǎn)，
的零點(diǎn)個數(shù)為7個，
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決此類復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題，常常采用換元的方法，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.
3．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一校考開學(xué)考試）函數(shù) 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】將原函數(shù)零點(diǎn)看做函數(shù) 與函數(shù) 的交點(diǎn)，根據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理求解.
【詳解】令 ，，其中 是奇函數(shù)， 是二次函數(shù)，也是偶函數(shù)，
令 則 是偶數(shù)， 共有3個零點(diǎn)，
當(dāng)時， ， ， 時， ；根據(jù)對稱性當(dāng)時，， 時， ；
由條件： ，
，令 ，則有 ，顯然 是偶函數(shù)，當(dāng) 時是增函數(shù)，
當(dāng) 時， ， 單調(diào)遞增，當(dāng) 時， 單調(diào)遞減，再根據(jù)對稱性， 大致圖像如下圖：
原函數(shù) ，等價(jià)于求 與 的交點(diǎn)的個數(shù)，
有2個零點(diǎn)： ，當(dāng)時， ，無交點(diǎn)；
當(dāng) 時， ， ，存在一個交點(diǎn)，
當(dāng) 時， ，
存在一個交點(diǎn)，
當(dāng)x趨于 時，由于 ，并且 ， 的增長速度明顯大于 ，必然存在一個交點(diǎn)，所以有3個交點(diǎn)；
故選：D.
4．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）若函數(shù)在上具有單調(diào)性，且為的一個零點(diǎn)，則在上單調(diào)遞__________（填增或減），函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為__________．
【答案】 增 9
【分析】根據(jù)函數(shù)在上具有單調(diào)性，限定周期的范圍，得出的范圍，再由函數(shù)的零點(diǎn)得出關(guān)于的等式，結(jié)合這兩個條件求出的值，再數(shù)形結(jié)合得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)樵谏暇哂袉握{(diào)性，
所以，即，．
又因?yàn)椋?br>所以，即，
只有，符合要求，此時．
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增．
因?yàn)榈淖畲笾禐?，而，，
作出函數(shù)與的圖象，由圖可知，這兩個函數(shù)的圖像共有9個交點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為9．
故答案為：增；9.
5．（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，其中．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)．
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析.
【分析】（1）求導(dǎo)，再分，和分類討論即可；
（2）根據(jù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理分析即可.
【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>在一元二次方程中，，
①當(dāng)時，恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；
②當(dāng)時，恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；
③當(dāng)時，一元二次方程有兩個不相等的根，
分別記為，有，，可得，
有，
可得此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；
當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，
減區(qū)間為；
（2）解：由（1）可知：
①當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，又由，可得此時函數(shù)只有一個零點(diǎn)為；
②當(dāng)時，由，可得，
又由，由函數(shù)的單調(diào)性可知，
當(dāng)且時，可得，有，
可得，
當(dāng)時，
可知此時函數(shù)有且僅有3個零點(diǎn)，
由上知，當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)；
當(dāng)時，函數(shù)有且僅有3個零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
6．（2023春·甘肅武威·高二武威第六中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值：
(2)若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；極小值為，無極大值
(2)答案見解析
【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；根據(jù)極值點(diǎn)定義可求得極值；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個數(shù)問題，結(jié)合（1）中結(jié)論作出函數(shù)圖象分析可得結(jié)果．
【詳解】（1）∵定義域?yàn)?，?br>又恒成立，
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
所以極小值為，無極大值．
（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，結(jié)合（1）中結(jié)論作出函數(shù)圖象如圖：
的零點(diǎn)個數(shù)等價(jià)于與的交點(diǎn)個數(shù)；
當(dāng)時，與有且僅有一個交點(diǎn)；
當(dāng)時，與有兩個不同交點(diǎn)；
當(dāng)時，與有且僅有一個交點(diǎn)；
當(dāng)時，與無交點(diǎn)；
綜上所述：當(dāng)時，有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時，有兩個不同零點(diǎn)；
當(dāng)時，無零點(diǎn)．
7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．
(1)若在處取得極值，求k的值；
(2)若，當(dāng)時，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．
【答案】(1)
(2)1個
【分析】（1）若在處取得極值，則，解方程即可得出答案；
（2）對求導(dǎo)，求出的單調(diào)性，討論在，時函數(shù)值的正負(fù)和最值情況即可得出的零點(diǎn)個數(shù).
【詳解】（1），
若函數(shù)在處取得極值，則，解得，
所以，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時函數(shù)在處取得極小值，所以．
（2），定義域?yàn)椋?br>，令，顯然在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，因?yàn)?，?br>所以存在唯一，使得，即，
即，所以．
當(dāng)時，，故，
當(dāng)時，，故，
當(dāng)時，，故，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時，恰有1個零點(diǎn)．
當(dāng)時，
，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即時，，所以，
故當(dāng)時，無零點(diǎn)，
綜上，當(dāng)時，在上只有1個零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)或函數(shù)圖象交點(diǎn)問題的求解，一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一．
8．（2023春·吉林白山·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).
(1)證明：當(dāng)時，；
(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
【答案】(1)證明見解析
(2)只有1個零點(diǎn)
【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得證；
（2），即，整理可得，設(shè)，由（1）可知當(dāng)時，，在證明當(dāng)時，，由此分析，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）令，則，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
即當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，則，
故當(dāng)時，成立；
（2），即，
所以
，
設(shè)，
由（1）可知當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，
從而，
下面證明：當(dāng)時，，即證，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，
從而，即當(dāng)時，，
當(dāng)時，，，
所以是的零點(diǎn)；
當(dāng)時，，，即，
所以在上無零點(diǎn)；
當(dāng)時，，，即，
所以在上無零點(diǎn)；
當(dāng)時，，所以，，即，
所以在上無零點(diǎn)；
當(dāng)時，，
所以，
即，所以在上無零點(diǎn)，
綜上在上只有1個零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
（1）直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(diǎn)．
（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)．
（3）利用圖象交點(diǎn)的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)．
9．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在處切線的方程；
(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù).
【答案】(1)y=-2
(2)答案見解析
【分析】（1）將 代入，求 的導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)點(diǎn)斜式直線方程求解；
（2）參數(shù)分離，構(gòu)造新函數(shù)，對a分類討論即可.
【詳解】（1） ， ，
時的切線方程為 ；
（2）令 ，即 ，就是求此方程的解的個數(shù)，
， ，令 ，原題等價(jià)于求曲線 與直線在 時 交點(diǎn)的個數(shù)；
，令 ，
當(dāng) 時， 單調(diào)遞增，當(dāng) 時， ， 單調(diào)遞減，
在 時， 取得最小值 ， ，
是增函數(shù)， ，
當(dāng) 時，原函數(shù) 無零點(diǎn)，當(dāng) 時，有1個零點(diǎn)，當(dāng) 時，無零點(diǎn)；
綜上，（1）切線方程為 ，當(dāng) 時，原函數(shù) 無零點(diǎn)，當(dāng) 時，有1個零點(diǎn)，當(dāng) 時，無零點(diǎn).
10．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù).
(1)證明：函數(shù)為奇函數(shù)；
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若函數(shù)，其中，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
【答案】(1)證明見解析；
(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減；
(3)答案見解析.
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念求出函數(shù)的定義域，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義即可證明；
（2），利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可判斷；
（3）令，則，分類討論，時，結(jié)合圖形，t分別對應(yīng)的零點(diǎn)個數(shù)，進(jìn)而得解.
【詳解】（1），
則函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
，所以函數(shù)為奇函數(shù)；
（2），
又函數(shù)在和上單調(diào)遞減，
由函數(shù)圖象的平移可知在上單調(diào)遞減，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)知，
函數(shù)在上單調(diào)遞減；
（3）由，得，令，則，
當(dāng)時，由，得，如圖，
當(dāng)時，，由圖可知，對應(yīng)有3個零點(diǎn)；
當(dāng)時，，由圖可知，對應(yīng)有1個零點(diǎn)；
當(dāng)時，如圖，
由圖可知，只有一個，對應(yīng)有1個零點(diǎn)；
綜上，當(dāng)時，函數(shù)只有3個零點(diǎn)；
當(dāng)時，函數(shù)只有1個零點(diǎn)；
當(dāng)時，函數(shù)只有1個零點(diǎn).
類型二：已知零點(diǎn)求參數(shù)范圍
滿分策略：分離變量
1.利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解；
2.分理處那術(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值問題求解；
3.轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解。
典型例題：（2022秋·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)當(dāng)時，函數(shù)恰有3個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
試題分析：
（1）由，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）由題意得到，再分，，，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)求解；法二：令，轉(zhuǎn)化為，利用數(shù)形結(jié)合法求解；
詳細(xì)解答：
（1）解：當(dāng)時，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)得的單減區(qū)間為.
（2）由題意知，，易知不是的零點(diǎn).
①當(dāng)時，，
令，則，
②當(dāng)時，，
令，則，
③當(dāng)時，，
令，則，
設(shè)，則，記，
對于①，，設(shè)，任取，且，
則，
因?yàn)?，所以，又，則，
所以，即，則m在上遞增，此時單調(diào)遞減，且，
故當(dāng)時，只有1個零點(diǎn)：當(dāng)時，沒有零點(diǎn).
對于②，，此時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且時，趨近，時，趨近，，
故當(dāng)，即時，有2個零點(diǎn)；
當(dāng)，即時，沒有零點(diǎn)；
當(dāng)時，只有1個零點(diǎn).
對于③，令，則，記，
因?yàn)?，則，顯然在單調(diào)遞減，且，
則時，有1個零點(diǎn)：當(dāng)時，沒有零點(diǎn).
綜上所述，時，有3個零點(diǎn).
法二：令，即，因?yàn)椋剩?br>因?yàn)榕c的漸近線分別為和，而是恒過的折線.
由圖可知，當(dāng)與相切時，有兩個零點(diǎn)，
即在有且只有一個解.
即在有且只有一個解.
當(dāng)，即 時， ，不成立；
當(dāng) 時，，解得，
故當(dāng)時，有3個零點(diǎn).
題型專練：
11．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個零點(diǎn).
（i）求m的取值范圍；
（ii）證明:.
【答案】(1)答案見解析
(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，再分和，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號即可得出答案；
（2）（i）求導(dǎo)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合（1）分和兩種情況討論，利用零點(diǎn)的存在性定理即可得出答案；
（ii）由（i）可得要證，即證，先證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而可得出結(jié)論.
【詳解】（1），
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，
當(dāng)時，設(shè)，則，
所以函數(shù)在上遞增，即在上遞增，
令，得，
當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)，
綜上可得，當(dāng)時，函數(shù)在上遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增；
（2）（i），
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上遞增，
由（1）可知，當(dāng)時，，
即，
所以，
所以，
又因，由零點(diǎn)的存在性定理可得，
存在，使得，即，（*）
當(dāng)時，，即，為減函數(shù)，
當(dāng)時，，即，為增函數(shù)，
當(dāng)時，由（*）可知，
且，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上遞增，
因?yàn)?，結(jié)合，
得，又，所以，
所以，
即，
所以當(dāng)時，函數(shù)最多一個零點(diǎn)，與題意矛盾，
當(dāng)時，，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上遞增，
所以，即，
因?yàn)?，所以，即，所以?br>則，
所以，且，
當(dāng)時，，
所以由的單調(diào)性可知，且，
所以當(dāng)時，，為減函數(shù)，
當(dāng)時，，為增函數(shù)，
所以由零點(diǎn)的存在性定理可知，在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)，
，且，
所以由零點(diǎn)的存在性定理可知，在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)，
所以當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，
綜上所述，m的取值范圍為；
（ii）因?yàn)?，即?br>則，
所以，
有基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
由，由可得，這與矛盾，所以，
所以，
要證，即證，
設(shè)，
則
所以函數(shù)在上遞減，
所以當(dāng)時，，
因?yàn)?，所以?br>所以，
又，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題方法：
（1）分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從函數(shù)中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，確定參數(shù)范圍；
12．（2023春·山西呂梁·高二校考階段練習(xí)）已知，函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求不等式的解集；
(2)若函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，則的取值范圍．
【答案】(1)或；
(2)或
【分析】（1）分類討論并列出不等式組即可求得不等式的解集；
（2）按分類討論，求得不同條件下符合以要求的的取值范圍，進(jìn)而得到函數(shù)恰有2個零點(diǎn)時的取值范圍.
【詳解】（1）時，，
不等式等價(jià)于或
解之得或，
則不等式的解集為或
（2）的根為；的兩根為或
當(dāng)時，函數(shù)恰有2個零點(diǎn)1和3，符合要求；
當(dāng)時，函數(shù)恰有3個零點(diǎn)1和3和4，不符合要求；
當(dāng)時，函數(shù)恰有2個零點(diǎn)1和4，符合要求；
當(dāng)時，函數(shù)恰有1個零點(diǎn)4，不符合要求.
綜上，若函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，則的取值范圍為或．
13．（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃┮阎瘮?shù)的周期為，圖象的一個對稱中心為，將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)與的解析式；
(2)求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有2023個零點(diǎn).
【答案】(1)，
(2)，
【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象的變關(guān)系直接求解；
(2)轉(zhuǎn)化為方程有個根，根據(jù)奇數(shù)個根可得其中一個根必為或1，分類討論求解.
【詳解】（1），
當(dāng)時，，
因?yàn)?，?。?br>，
將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），
可得函數(shù)，再將所得圖像向右平移個單位長度后，
，
（2）由（1）得，，
，
不妨設(shè)或，顯然，
若且，則在上必有偶數(shù)個零點(diǎn)，
所以中至少有一個為或，
不妨設(shè)或，
當(dāng)，則,
此時在上有1個零點(diǎn)，在上有2個零點(diǎn)，即在上有3個零點(diǎn)，如圖所示，
又，所以只需即可滿足題意；
當(dāng)，則，
此時在上有2個零點(diǎn)，在上有1個零點(diǎn)，即在上有3個零點(diǎn)，如圖所示，
又，當(dāng)時，在上有2022個零點(diǎn)，當(dāng)時，增加2個零點(diǎn)，即在上有2024個零點(diǎn)，故不符合題意.
綜上所述，．
14．（2023春·江西南昌·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且.
(1)求的值，并求出的最小正周期（不需要說明理由）；
(2)若，求的值域；
(3)是否存在正整數(shù)，使得在區(qū)間內(nèi)恰有2025個零點(diǎn)，若存在，求由的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)，函數(shù)的最小正周期為
(2)
(3)存在正整數(shù)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)代入即可求解的值．因?yàn)榈闹芷谑嵌?，故得函?shù)的最小正周期；
（2）根據(jù)，得到，設(shè)，，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解；
（3）分類討論和時，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，從而求得其零點(diǎn)個數(shù)，進(jìn)而得解.
【詳解】（1）函數(shù)，
∵，
∴，解得：，
所以，
因?yàn)榈闹芷谑嵌迹?br>又周期成倍數(shù)關(guān)系的兩個函數(shù)之和，其周期為這兩個函數(shù)的周期的最小公倍數(shù)，
所以函數(shù)的最小正周期為.
（2）若，則，
設(shè)，則，
則，
所以，
所以其值域?yàn)椋?br>（3）存在正整數(shù)，使得在區(qū)間內(nèi)恰有2025個零點(diǎn)．
當(dāng)時，．
設(shè)，
則，
于是，
令，得或，
此時，或或，其中，
當(dāng)時，．
設(shè)，則，
于是，
令，
解得或，
故在沒有實(shí)根．
綜上，在上有4個零點(diǎn)，
又的最小正周期為，而，
所以函數(shù)在有2025個零點(diǎn)．
15．（2023春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
(1)求c的值；
(2)若恰有兩個零點(diǎn)，求b的值．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）由題知在處取極大值，進(jìn)而根據(jù)求解即可；
（2）由，得或，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為在上有一個零點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性得，進(jìn)而解方程即可得答案.
【詳解】（1）由，得．
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
所以在處取極大值，，
經(jīng)檢驗(yàn)時，符合題意，
故c的值為0．
（2）結(jié)合（1）可得．
令，解得或．
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．
因?yàn)?，?br>所以在上有一個零點(diǎn)．
因?yàn)榍∮袃蓚€零點(diǎn)，所以在上有一個零點(diǎn)．
因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以，解得．
故b的值為1．
16．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若的周期為，且的三個內(nèi)角所對的邊分別是，滿足，，，求；
(2)若在上恰有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由函數(shù)周期計(jì)算值，得函數(shù)解析式，然后由計(jì)算，再利用三角函數(shù)平方關(guān)系計(jì)算，由正弦定理計(jì)算邊；
（2）由整體法得的范圍，由在上恰有兩個零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合列關(guān)于的不等式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)榈闹芷冢?br>故，又，故，
則，又，
則，
因?yàn)?，所以，解得即?br>因?yàn)?，則
又，由正弦定理得：，解得.
（2）因?yàn)?，又因?yàn)樵谏锨∮袃蓚€零點(diǎn)，
當(dāng)，所以，
故，解得：，
故的取值范圍是.
17．（2023春·天津武清·高二天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)的減區(qū)間是，求a的值；
(3)若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求得切線方程；
（2）因?yàn)?，且函?shù)的減區(qū)間是可得；
（3）令，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而問題轉(zhuǎn)化為，求解即可.
【詳解】（1），
當(dāng)時，，
，
在點(diǎn)處的切線方程為，即
（2）函數(shù)的減區(qū)間是(-1，4)，
而
令，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，不符合題意，
當(dāng)，無實(shí)數(shù)解，不符合題意,
故.
（3）=
令，所以，
令得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，
故在上遞減；在上遞增
所以，即，
所以，
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）已知函數(shù),.
(1),求的最值;
(2)若函數(shù)恰有兩個不同的零點(diǎn),求的取值范圍.
【答案】(1)最大值是,無最小值
(2)
【分析】(1)求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性即可求得最值.
(2)分析函數(shù)的零點(diǎn),本質(zhì)上是分析函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題,求導(dǎo)之后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)有一個零點(diǎn)含參,需對導(dǎo)數(shù)的該零點(diǎn)進(jìn)行分類討論,從而討論函數(shù)單調(diào)性和極值的情況,結(jié)合極限,即可分析函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).難點(diǎn)在于定義域是,需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.
【詳解】（1）由題意可得,定義域?yàn)?
設(shè),由,得,由,得.
則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)減,
,
故在上的最大值是,無最小值.
（2）由題意可得,
,
的定義域是.
①當(dāng),即時,時,時,
則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
因?yàn)闀r,,時,,
所以要有兩個零點(diǎn),
則,解得,故;
②當(dāng),即時,由,解得,
因?yàn)?所以,則有且僅有1個零點(diǎn),故不符合題意;
③當(dāng),即時,由,得或,
由,得,
則在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
因?yàn)闀r,,時,,
所以要有兩個零點(diǎn),則或
,
若,解得,不符合題意,
若,設(shè),則化為,
時,,,
所以,無解,
即無解,故不符合題意;
④當(dāng),即時,恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而最多有1個零點(diǎn),則不符合題意;
⑤當(dāng),即時,由,得或,由,得,
則在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
因?yàn)闀r,,時,,
所以要有兩個零點(diǎn),則或.
若,解得,不符合題意,
若.
設(shè),則化為,
由（1）知在上單調(diào)遞減,所以,無解,
即無解,故不符合題意.
綜上,的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題,難點(diǎn)在于函數(shù)定義域是,因此導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)需要根據(jù)定義域分類討論,在定義域內(nèi)有一個根, 還是兩個根,有兩個根時還需要比較兩根的大小,從而得出函數(shù)單調(diào)性極值,由于含有參數(shù)還需結(jié)合函數(shù)變化趨勢確定零點(diǎn)的存在性,從而得出結(jié)論.分類不清易出錯.
19．（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)設(shè)．
①求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
②試問有極大值還是極小值？并求出該極值．
(2)若在上恰有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】(1)①；②有極大值.
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解切線方程；利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性即可求解極值問題.
（2）由題意，轉(zhuǎn)化為方程有兩個解，即直線與函數(shù)，有兩個交點(diǎn)，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合，即可求出a的取值范圍.
【詳解】（1）①當(dāng)時，，則，
所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即．
②令得，令得，令得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由極值的定義知，當(dāng)時，函數(shù)有極大值，無極小值.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個零點(diǎn)，所以方程在上有兩個解，
即在上有兩個解，
記，，則直線與函數(shù)，有兩個交點(diǎn)，
則，
記，則，
令得，令得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
令得，又，
所以當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，
又，，
如圖，
由圖知，要使直線與函數(shù)，有兩個交點(diǎn)，則，
所以函數(shù)在上恰有兩個零點(diǎn)時，a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍的常用方法：
（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于參數(shù)的不等式，求解即可得出參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題進(jìn)行求解；
（3）數(shù)形結(jié)合法：對解析式適當(dāng)變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是方程根的個數(shù)，然后數(shù)形結(jié)合求解．常見類型有兩種：一種是轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題；另一種是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題．
20．（2023春·山東德州·高一德州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對稱軸.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記作，已知常數(shù)，，且函數(shù)在內(nèi)恰有2021個零點(diǎn)，求常數(shù)與n的值.
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)最小正周期求出ω的值，根據(jù)對稱軸和φ的范圍可求φ的值，從而可得f(x)的解析式；
（2）先求得g(x)解析式，從而求得F(x)解析式，令F(x)=0，令sinx=t，討論關(guān)于t的二次方程的兩個根的情況即可判斷F(x)零點(diǎn)的個數(shù)．
【詳解】（1）由三角函數(shù)的周期公式可得，，
令，得，
由于直線為函數(shù)的一條對稱軸，
∴，得，
由于，，則，
因此，．
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)，
再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，
即．
令，可得，令，得，，
則關(guān)于t的二次方程必有兩不等實(shí)根、，則，即、異號．
當(dāng)且時，則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個根，
從而方程在也有偶數(shù)個根，不合題意；
當(dāng)，則，此時，當(dāng)時，只有一根，有兩根，
∴，關(guān)于的方程在上有三個根，由于，
則方程在上有個根，
由于方程在區(qū)間上只有一個根，在區(qū)間上無實(shí)解，
方程在區(qū)間上無實(shí)數(shù)解，在區(qū)間上有兩個根，
因此，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有2020個根，
在區(qū)間上有2022個根，不合題意
當(dāng)時，則，此時，當(dāng)時，只有一根，有兩根，
∴，關(guān)于x的方程在上有三個根，
由于，則方程在上有個根，
由于方程在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根，在區(qū)間上只有一個實(shí)數(shù)根，
方程在區(qū)間上有兩個實(shí)數(shù)解，在區(qū)間上無實(shí)數(shù)解，
因此，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有2021個根，滿足題意．
若有一根絕對值大于1，則另一根絕對值大于0且小于1，有偶數(shù)個根，不合題意
綜上所述：，．

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這是一份2025屆高考數(shù)學(xué)三輪沖刺練習(xí)一 專題8 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題，共13頁。

新高考數(shù)學(xué)考前考點(diǎn)沖刺精練卷19《利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)》（2份，原卷版+教師版）：

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高考數(shù)學(xué)練習(xí)重難點(diǎn)06 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【九大題型】（原卷版）：

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