高考數(shù)學(xué)三輪沖刺卷：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)（含答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題（共20小題；）
1. 已知函數(shù) 的圖象如圖所示（其中是函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)），則函數(shù) 的圖象可能是
A. 11
B. 11
C. 11
D. 11

2. 已知函數(shù) 的圖象如下圖所示，則函數(shù) 的圖象大致是
A. B.
C. D.

3. 已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象是
A. B.
C. D.

4. 已知的圖象如圖所示（其中是函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)），下面四個(gè)圖象中，的圖象大致是
A. B.
C. D.

5. 已知為上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且，則函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A. B. C. 或 D. 無(wú)數(shù)個(gè)

6. 函數(shù) 的大致圖象是
A. B.
C. D.

7. 設(shè)函數(shù) 有三個(gè)零點(diǎn) ，，，且，則下列結(jié)論正確的是
A. B. C. D.

8. 已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象t是
A. B.
C. D.

9. 已知函數(shù) 的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則
A. B. C. D.

10. 設(shè)函數(shù) ，若為函數(shù) 的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為的圖象是
A. B.
C. D.

11. 設(shè) ，，，，，，則
A. B. C. D.

12. 如圖，點(diǎn) ，，，過(guò)點(diǎn) 作的垂線．記在直線左側(cè)部分的面積為，則函數(shù) 的圖象為下圖中的
A. B.
C. D.

13. 若三次函數(shù) 有極值點(diǎn) ，且，設(shè) 是的導(dǎo)函數(shù)，那么關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為
A. B. C. D.

14. 已知定義在上的函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為，且，若對(duì)任意，恒成立，則不等式的解集為
A. B.
C. D.

15. 已知函數(shù) 只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的最小值是
A. B. C. D.

16. 已知函數(shù) 的部分圖象如圖，則的解析式可能是
A. B.
C. D.

17. 已知函數(shù) ，若存在唯一的零點(diǎn) ，且，則的取值范圍為
A. B. C. D.

18. 設(shè) 定義（且為常數(shù)），若，，，．下述四個(gè)命題：
① 不存在極值；
②若函數(shù) 與函數(shù) 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則；
③若在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是；
④若，則在的圖象上存在兩點(diǎn)，使得在這兩點(diǎn)處的切線互為垂直．
A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ②④

19. 已知函數(shù) ，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若函數(shù) 有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
A. B. C. D.

20. 已知函數(shù) ，若關(guān)于的不等式只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A. B.
C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為．

22. 已知函數(shù) ，：
①函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為；
②若函數(shù) 有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則；
③若，則，使得函數(shù) 恰有個(gè)零點(diǎn) ，，恰有一個(gè)零點(diǎn) ，且，．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．

23. 設(shè)函數(shù) 滿足，且當(dāng) 時(shí)，．若在區(qū)間內(nèi)，存在個(gè)不同的實(shí)數(shù) ，，，使得，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為．

24. 已知函數(shù) ．若函數(shù) 恰有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是．

25. 定義在上的偶函數(shù) 滿足，當(dāng) 時(shí)，，則函數(shù) 在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．

三、解答題（共5小題；）
26. 已知函數(shù) ．
（1）證明：對(duì)任意，函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 是偶函數(shù)；
（2）若，，討論函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

27. 已知函數(shù) ．
（1）求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．

28. 已知函數(shù) （其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．
（1）討論函數(shù) 的單調(diào)性；
（2）當(dāng)函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn) ，時(shí)，證明．

29. 已知函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)．
（1）求的取值范圍．
（2）設(shè) ，是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．

30. 已知函數(shù) ，函數(shù) ．
（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，求的值．
（2）若存在實(shí)數(shù) 使不等式的解集為，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
（3）若方程有三個(gè)不同的解，且它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，寫出實(shí)數(shù) 的值（只需寫出結(jié)果）．
答案
1. C【解析】根據(jù)題中圖象，得當(dāng) 時(shí)，，所以遞增；
當(dāng) 時(shí)，，所以遞減；
當(dāng) 時(shí)，，所以遞減；
當(dāng) 時(shí)，，所以遞增．
2. C
3. A【解析】依題意，令，
則，
由于，故排除C選項(xiàng)．
由于，故在處導(dǎo)數(shù)大于零，故排除B，D選項(xiàng)．故本小題選A．
4. C【解析】當(dāng) 時(shí)，，
所以，故在上為減函數(shù)；
當(dāng) 時(shí)，，
所以，故在上為增函數(shù)．
5. A
【解析】因?yàn)?，，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，為上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，
所以為上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，，
所以在上無(wú)零點(diǎn)．
6. A【解析】，
令得，
所以當(dāng) 時(shí)，，
當(dāng) 時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，，
所以函數(shù)圖象與軸交于點(diǎn) ；
令得，
所以只有個(gè)零點(diǎn) ，
當(dāng) 時(shí)，，
當(dāng) 時(shí)，，
綜上，函數(shù)圖象為 A．
7. D【解析】，令得或，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以在，，上各有一個(gè)零點(diǎn)．
所以，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，，，
所以，故B錯(cuò)誤；D正確．
因?yàn)?，
所以，故C錯(cuò)誤．
8. A
9. A【解析】記，則有．當(dāng) 或時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，，因此函數(shù) 在上分別是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，．要使函數(shù) 的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖形分析可知或，即或．
10. D
【解析】設(shè) ，則，
由為函數(shù) 的一個(gè)極值點(diǎn)，代入上式，
可得，
所以，若有兩個(gè)零點(diǎn) ，
那么，中的圖象一定不滿足
11. A
12. D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，當(dāng) 時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量內(nèi)面積變化量大于且越來(lái)越大，即斜率在內(nèi)大于且越來(lái)越大，因此，函數(shù) 的圖象是上升的且圖象是下凸的；
當(dāng) 時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量內(nèi)面積變化量大于且越來(lái)越小，即斜率在內(nèi)大于且越來(lái)越小，因此，函數(shù) 的圖象是上升的且圖象是上凸的；
當(dāng) 時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量內(nèi)面積變化量為，即斜率在內(nèi)為常數(shù) ，此時(shí)，函數(shù)圖象為平行于軸的射線．
13. D【解析】由題意可得函數(shù) 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，
其中，
則：或，據(jù)此分類討論：
①若，當(dāng) 時(shí)，或，
當(dāng) 時(shí)，，
此時(shí)共有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，．
②若，當(dāng) 時(shí)，或，
當(dāng) 時(shí)，，
此時(shí)共有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，．
③若，沒(méi)有極值點(diǎn)，不合題意．
綜上可得，方程的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為．
14. C【解析】由題可知：，，
所以，即，
令，則，
又對(duì)任意，恒成立，
所以，可知函數(shù) 在單調(diào)遞增，
又，所以，
所以即的解集為，
即不等式的解集為．
15. D
【解析】，令，解得，，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，而，因?yàn)楹瘮?shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，故，取對(duì)數(shù)得，即，
而

當(dāng)且僅當(dāng) ，時(shí)等號(hào)成立，故最小值為．
16. C【解析】由圖象可知，函數(shù) 在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)．
對(duì)A項(xiàng)，由于定義域不是，則A錯(cuò)誤；
對(duì)B項(xiàng)，當(dāng) 時(shí)，，
；，
則函數(shù) 在不是單調(diào)遞增，則B錯(cuò)誤；
對(duì)C項(xiàng)，，則函數(shù) 在上單調(diào)遞增，
又，則函數(shù) 為奇函數(shù)，則C正確；
對(duì)D項(xiàng)，，
則函數(shù) 不是奇函數(shù)，則D錯(cuò)誤．
17. C
18. C【解析】①因?yàn)?，，，
所以，
則，
當(dāng) 的時(shí)，即有極大值，又有極小值，故①錯(cuò)誤；
②因?yàn)?，若函數(shù) 與函數(shù) 有兩個(gè)交點(diǎn)，
則與函數(shù) 相切，此時(shí)切點(diǎn)為，
切線斜率為，故②正確；
③若在減函數(shù)，則對(duì)于恒成立，
即恒成立，
因?yàn)?，
所以恒成立，
所以，
所以，即實(shí)數(shù) 的取值范圍是，故③正確；
④當(dāng) 時(shí)，，
設(shè) ，是曲線上的任意兩點(diǎn)，
因?yàn)?，
所以，
所以不成立．
所以的曲線上不存在兩點(diǎn)，使得過(guò)這兩點(diǎn)的切線互相垂直．故④錯(cuò)誤．
故真命題序號(hào)為：②③．
19. B【解析】作出的圖象如圖所示，
，令，得，
令，得或，
所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
作出的大致圖象如圖所示，
令，
①顯然當(dāng) 時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng) 時(shí)，即，則，即或，
此時(shí) 有個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
③當(dāng) 時(shí)，有個(gè)根，不妨設(shè) ，此時(shí) 有個(gè)根，有個(gè)根，有個(gè)不同實(shí)根，此時(shí)，有個(gè)不同實(shí)根，
所以必須沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
所以，即；
④當(dāng) 時(shí)，此時(shí) 有個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
⑤當(dāng) 時(shí)，有個(gè)根，不妨設(shè) ，，
所以有個(gè)根，有個(gè)根，此時(shí) 有個(gè)零點(diǎn)，不合題意，
綜上所述，．
20. C
【解析】，令得，
所以當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞減，
由當(dāng) 時(shí)，，當(dāng) 時(shí)，，
作出的大致函數(shù)圖象如圖所示：
（）若，即，顯然不等式有無(wú)窮多整數(shù)解，不符合題意．
（）若，則或，
由圖象可知有無(wú)窮多整數(shù)解，不符合題意．
（）若，則或，
由圖象可知無(wú)整數(shù)解，故有兩個(gè)整數(shù)解，
因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，
所以的兩個(gè)整數(shù)解必為，，
又，
所以，解得．
21.
【解析】令，則，當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞減．
所以，所以恒成立，即原方程無(wú)實(shí)根．
22. ①③
【解析】當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞減，
所以函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為；即①正確；
由圖可知分別與以及相切時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
設(shè) 與切點(diǎn)為，
因?yàn)?，
所以，
因?yàn)?，
所以，；
同理可得與相切時(shí)，，因此②錯(cuò)誤；
由圖可知，，則，所以③正確；
故答案為：①③．
23.
【解析】因?yàn)?，所以，當(dāng) 時(shí)，，所以，在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù) 的圖象（圖略），而表示的是該圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率．
圖象上的點(diǎn) 與原點(diǎn)的連線的斜率為；當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線，相切時(shí)，斜率為（利用導(dǎo)數(shù)解決）．
所以由圖可知，滿足題意得實(shí)數(shù) 的取值范圍為．
24.
【解析】當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)，，則時(shí)，，
且時(shí)，，時(shí)，，
故當(dāng) 時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在處取極小值，極小值為．
作出函數(shù) 的圖象如圖：
函數(shù) 恰有個(gè)零點(diǎn)，
等價(jià)于函數(shù) 與的圖象有且僅有個(gè)零點(diǎn)，
由圖可知，．
25.
【解析】由可知函數(shù) 是周期為的周期函數(shù)，且函數(shù) 為偶函數(shù)，
由時(shí)，的圖象，可畫(huà)出上的圖象，進(jìn)而畫(huà)出函數(shù) 的圖象．
令，則，畫(huà)出，兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，
當(dāng) 時(shí)，，其斜率為．
令，解得，代入得，
函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線方程為，即，
即函數(shù) 與在點(diǎn) 處相切于點(diǎn) ．
，且．
由圖可知，兩個(gè)函數(shù)有，，，四個(gè)公共點(diǎn)，故有個(gè)零點(diǎn)．
26. （1）函數(shù) 的定義域是，
則，函數(shù) 的定義域是．
因?yàn)閷?duì)任意，都有，即．
因此，對(duì)任意，導(dǎo)函數(shù) 是偶函數(shù)．
（2），．
令，則．
因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，，
所以一定存在，使得．
所以在上，，，函數(shù) 單調(diào)遞減；
在上，，，函數(shù) 單調(diào)遞增，
所以．
又中，，，，
所以，即，所以函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．
27. （1）因?yàn)楹瘮?shù) 的定義域?yàn)?，
則，
因?yàn)?，則使的的取值范圍為，
故函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）方法一：
因?yàn)?，
所以，
令，
因?yàn)?，且，
由，得，由，得，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根等價(jià)于即
解得：，
綜上所述，的取值范圍是．
方法二：
因?yàn)?，
所以，即，
令，
因?yàn)?，且，
由得，；由，得，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，，
又，
故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根等價(jià)于，
即，
綜上所述，的取值范圍是．
28. （1）易得，
當(dāng) 時(shí)，令，得，
可得當(dāng) 時(shí)，，
當(dāng) 時(shí)，，
所以函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng) 時(shí)，恒成立，故此時(shí)函數(shù) 在上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng) 時(shí)，由（）知函數(shù) 在上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)，
所以，
由題意知，，
所以，，可得，
不妨設(shè) ，令，則，
由解得，，
所以，
欲證，只需證明，即證，
令，則，
令，則，單調(diào)遞增，
所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng) 時(shí)，，即，原不等式得證．
29. （1）的取值范圍為．
（2）求導(dǎo)得，由（）知．
所以函數(shù) 的極小值點(diǎn)為．
結(jié)合要證結(jié)論，即證．若和屬于某一個(gè)單調(diào)區(qū)間，那么只需要比較和的大小，即探求的正負(fù)性．
于是通過(guò)上述觀察分析即可構(gòu)造輔助函數(shù) ，，代入整理得．
求導(dǎo)得．即時(shí)，，則函數(shù) 是上的單調(diào)減函數(shù)．
于是，則，即．
由，是的兩個(gè)零點(diǎn)，并且在的兩側(cè)，
所以不妨設(shè) ，則，即．
由（）知函數(shù) 是上的單調(diào)增函數(shù)，且，
所以．
故得證．
30. （1）設(shè) 與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)?
所以．
又因?yàn)榍€ 與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，
所以
解得或，
所以或．
（2）令，
由題意知的圖象在直線下方的部分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo) ，
令，解得或．
所以的變化情況如下：

因?yàn)?，即；
，即，
（或者：因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，，當(dāng) 時(shí)，），
又因?yàn)?．
所以或．
（3）

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