一、選擇題（共20小題；）
1. 函數(shù) 的最大值是
A. B. C. D.

2. 若方程 在 上有解，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A. B.
C. D.

3. 函數(shù) （ 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間 上的最大值是
A. B. C. D.

4. 函數(shù) 的最大值是
A. B. C. D.

5. 函數(shù) ，若對(duì)于區(qū)間 上的任意 ，，都有 ，則實(shí)數(shù) 的最小值是
A. B. C. D.

6. 已知函數(shù) ，則
A. 是 的極大值也是最大值
B. 是 的極大值但不是最大值
C. 是 的極小值也是最小值
D. 沒有最大值也沒有最小值

7. 設(shè)直線 與函數(shù) 的圖象分別交于點(diǎn) ，則當(dāng) 達(dá)到最小時(shí) 的值為
A. B. C. D.

8. 函數(shù) ， 的最大值是
A. B. C. D.

9. 函數(shù) 在區(qū)間 上的值域?yàn)?
A. B. C. D.

10. 已知 ，對(duì)任意的 ，給出以下四個(gè)結(jié)論：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中正確的是
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④

11. 函數(shù) 的最大值為
A. B. C. D.

12. 若函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為 ，則其最小值為
A. B. C. D.

13. 把長(zhǎng)為 的細(xì)鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形的面積之和的最小值是
A. B. C. D.

14. 函數(shù) 的最大值是
A. B. C. D.

15. 函數(shù) 的最小值是
A. B. C. D.

16. 已知函數(shù) 與函數(shù) 的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于 軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A. B.
C. D.

17. 已知函數(shù) ， 是函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，且函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，若 在 上恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為
A. B. C. D.

18. 若函數(shù) 在區(qū)間 上存在最小值，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A. B. C. D.

19. 在區(qū)間 上的最大值是
A. B. C. D.

20. 若對(duì)任意的正實(shí)數(shù) ，不等式 恒成立，則正整數(shù) 的最大值為
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 在 上的最大值是 ．

22. 如果對(duì)于函數(shù) 定義域內(nèi)任意的 ，都有 （ 為常數(shù)），稱 為 的下界，下界 中的最大值叫做 的下確界．定義在 上的函數(shù) 的下確界 ．

23. 若函數(shù) 在 內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ．

24. 設(shè)直線 與函數(shù) ， 的圖象分別交于點(diǎn) ，，則當(dāng) 達(dá)到最小時(shí) 的值為 ．

25. 已知函數(shù) （， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若對(duì)任意正數(shù) ，，當(dāng) 時(shí)都有 成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 已知函數(shù) ，其中 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．
（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的最小值．

27. 已知函數(shù) ，其中 為常數(shù)，且 ．
（1）若曲線 在點(diǎn) 處的切線與直線 垂直，求 的值；
（2）若函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值為 ，求 的值．

28. 證明：．

29. 已知函數(shù) ．
（1）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù) 在 上的最小值是 ，求 的值．

30. 已知函數(shù) ，，且函數(shù) 與 的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）證明：當(dāng) 時(shí)，；
（2）若不等式 對(duì)題設(shè)條件中的 ， 總成立，求 的最小值．
答案
1. A【解析】，令 ，解得 ，
在 上單增，在 單減，．
2. A【解析】令 ，則 ．因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，，當(dāng) 時(shí)，，所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，且圖象是連續(xù)的．又因?yàn)?，所以方程 在 上有解，只需 且 ，得 ．
3. D
4. A
5. A
【解析】因?yàn)?，令 ，得 ，且 ，所以在區(qū)間 上 ，由題意知，在 上，，所以 ，則實(shí)數(shù) 的最小值為 ．
6. A【解析】由題意得 ，當(dāng) 時(shí)，，函數(shù) 單調(diào)遞增；當(dāng) 或 時(shí)，，函數(shù) 單調(diào)遞減，所以 在 處取得極大值，在 處取得極小值，又 ，，當(dāng) 時(shí)，，當(dāng) 時(shí)，，所以 無最小值，有最大值，且 是 的極大值，也是最大值．
7. D【解析】由題可得 ，不妨令 ，則 ，令 解得 ．
因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，，當(dāng) 時(shí)，，
所以當(dāng) 時(shí)， 達(dá)到最小，即 ．
8. D【解析】函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 ，
由 ，可得 （ 舍去），
在 遞增， 遞減，
可得 在 處取得極大值，且為最大值 ．
9. A【解析】，
當(dāng) 時(shí)，，
所以 是 上的增函數(shù)．
所以 的最大值在 處取得，，
的最小值在 處取得，．
所以函數(shù)值域?yàn)?．
10. D
【解析】由已知 ，
因?yàn)?，
所以 ，
所以 ，
所以 在 ，是減函數(shù)，
所以 ；故 ②④ 正確．
11. A【解析】令 ，，
當(dāng) 時(shí)，；
當(dāng) 時(shí)，，，
在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，
所以 ．
12. B【解析】．
由 ，得 或 ．又 ，
，
，．
由 ，得 ，
所以 ．
13. D【解析】設(shè)一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為 ，則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為 ，兩個(gè)三角形的面積之和為
．
令 ，則 ，
所以 ．
14. A【解析】，
令 ，則 （舍去）或 ，
，，
，
所以 在 上的最大值為 ．
15. D
【解析】 的定義域?yàn)?， 的導(dǎo)數(shù) ．
令 ，解得 ；令 ，解得 ．
從而 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增．
所以，當(dāng) 時(shí)， 取得最小值 ．
16. D【解析】由題意知方程 在 上有解，等價(jià)于 ．
令 ，則 ．
令 ，得 ，則由 ，，，比較大小知 ，．
所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
17. C【解析】依題意可得 ，
因?yàn)? 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
所以 ，解得 ，
故 ，
因?yàn)? 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù) 在 上單調(diào)遞減，
所以函數(shù) 在 上的最大值為 ，
所以 ，
故實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ．
18. C【解析】由題意，得 ，
故 在 ， 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)，
作出其圖象如圖所示，
令 得， 或 ，
則結(jié)合圖象可知，
解得 ．
19. C
20. B
【解析】當(dāng) 時(shí)，有 ，所以正整數(shù) 的可能取值為 ，．
當(dāng) 時(shí)，不等式為 ，即 對(duì)任意的 恒成立．
記 ，則 ，
顯然 ，所以當(dāng) 時(shí)，，函數(shù) 單調(diào)遞減；
當(dāng) ，，函數(shù) 單調(diào)遞增．
所以 ，所以當(dāng) 時(shí)，對(duì)任意的正實(shí)數(shù) ，不等式 恒成立，
所以正整數(shù) 的最大值為 ．
21.
22.
【解析】根據(jù)下確界的定義，滿足函數(shù)的最小值大于 ，函數(shù) 在定義 上單調(diào)遞增， 時(shí)，函數(shù)有最小值 ，即函數(shù)的下確界為 ．
23.
【解析】，
由于 在 內(nèi)有最小值，故 且 的解為 ，，同時(shí) ，
所以 ．
24.
【解析】當(dāng) 時(shí)，，，
所以 ．
所以 ．
當(dāng) 時(shí)，；
當(dāng) 時(shí)，．
所以 在 時(shí)有最小值．
25.
【解析】依題意得，對(duì)于任意的整數(shù) ，，當(dāng) 時(shí)，都有 ，
因此函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，
于是當(dāng) 時(shí)，，即 恒成立．
記 ，，則有

在區(qū)間 上是增函數(shù)， 的值域是 ，
因此 ，．
故所求實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
26. （1） 因?yàn)?，，
所以 ．
令 ，得 ．
當(dāng) 變化時(shí)， 和 的變化情況如下：

故 的單調(diào)減區(qū)間為 ；單調(diào)增區(qū)間為 ．
（2） 由（1），得 的單調(diào)減區(qū)間為 ；單調(diào)增區(qū)間為 ．
所以當(dāng) ，即 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，故 在 上的最小值為 ；
當(dāng) ，即 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減， 在 上單調(diào)遞增，故 在 上的最小值為 ；
當(dāng) ，即 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，故 在 上的最小值為 ．
所以函數(shù) 在 上的最小值為
27. （1） ，
因?yàn)榍€ 在點(diǎn) 處的切線與直線 垂直，
所以 ，即 ，解得 ．
（2） （?。┊?dāng) 時(shí)， 在 上恒成立，這時(shí) 在 上為增函數(shù)，
，不合題意，舍去．
（ⅱ）當(dāng) 時(shí)，由 得，，
時(shí)有 ， 在 上為減函數(shù)；
時(shí)有 ， 在 上為增函數(shù)．
．
令 ，得 ，滿足題意．
（ⅲ）當(dāng) 時(shí)， 在 上恒成立，這時(shí) 在 上為減函數(shù)，
，不合題意，舍去．
綜上所述，．
28. 設(shè) ，則 ，
令 ，則 ，
所以 在 上是增函數(shù)，
又 ，，
所以在 上存在 使 ，即 ，
所以在 上 單調(diào)遞減，在 上 單調(diào)遞增，
所以 在 處有極小值，也是最小值，
所以 ，
故 ，即 ．
29. （1） 易得函數(shù) 的定義域?yàn)?，
．
因?yàn)?，，
所以 ．
故函數(shù)在其定義域 上單調(diào)遞增．
（2） 當(dāng) 時(shí)，分如下情況討論：
①當(dāng) 時(shí)，，則函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，其最小值為 ，與函數(shù)在 上的最小值是 矛盾，舍去；
②當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，其最小值為 ，同樣與已知矛盾，舍去；
③當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 上有 ，在 上有 ，則 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
所以，函數(shù) 的極小值，也是最小值為 ，由 ，得 ．
④當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 上有 ，此時(shí) 單調(diào)遞減，其最小值為 ，與已知矛盾，舍去；
⑤當(dāng) 時(shí)，顯然函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，其最小值為 ，與已知矛盾，舍去．
綜上所述， 的值為 ．
30. （1） 由題意得 恒成立．
所以 ，
所以 ，
所以 ，．
又 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，，
所以當(dāng) 時(shí)，．
（2） 由（1）得，．
當(dāng) 時(shí)，，
令 ，則 ，．
而函數(shù) 的值域是 ．
因此，當(dāng) 時(shí)， 的取值集合為
當(dāng) 時(shí)，由（1）知，，．
此時(shí) 或 ，．
從而 恒成立．
綜上所述， 的最小值為

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