一、選擇題（共20小題；）
1. 設(shè) 是雙曲線 上一點，雙曲線的一條漸近線方程為 ， 、 分別是雙曲線的左、右焦點．若 ，則
A. B. C. D.

2. 已知定點 ， 且 ，動點 滿足 ，則 的最小值是
A. B. C. D.

3. 設(shè)圓錐曲線 的兩個焦點分別為 ，若曲線 上存在點 滿足 ，則曲線 的離心率等于
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

4. 設(shè)雙曲線 的一條漸近線與拋物線 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.

5. 若雙曲線 的一條漸近線經(jīng)過點 ，則該雙曲線的離心率為
A. B. C. D.

6. 已知 ， 分別是雙曲線 的左、右焦點，， 為雙曲線的兩條漸近線．設(shè)過點 且平行于 的直線交 于點 ．若 ，則該雙曲線的離心率為
A. B. C. D.

7. 過雙曲線 的右焦點且與 軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于 ， 兩點，
A. B. C. D.

8. 是方程 表示雙曲線的
A. 充分不必要條件B. 充要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件

9. 已知 是雙曲線 上的一點，， 是 的兩個焦點．若 ，則 的取值范圍是
A. B.
C. D.

10. 已知雙曲線 的一條漸近線平行于直線 ，且雙曲線的一個焦點在直線 上，則雙曲線的方程為
A. B. C. D.

11. 設(shè) ， 分別為雙曲線 的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點 滿足 ，且 ，則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.

12. 已知 ， 為雙曲線 的左，右頂點，點 在 上， 為等腰三角形，且頂角為 ，則 的離心率為
A. B. C. D.

13. 已知雙曲線 的兩個焦點是 ，，點 在雙曲線 上，若 的離心率為 ，且 ，則
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

14. 已知拋物線 的準線與雙曲線 交于 ， 兩點，點 為拋物線的焦點，若 為直角三角形，則雙曲線的離心率是
A. B. C. D.

15. 已知 ， 是雙曲線 的左、右焦點，點 為雙曲線的右支上一點，滿足 ，連接 交 軸于點 ，若 ，則 的離心率為
A. B. C. D.

16. 已知 ， 是雙曲線 ： 的左、右焦點，點 在 上， 與 軸垂直，，則 的離心率為
A. B. C. D.

17. “”是“方程 表示雙曲線”的
A. 充分但不必要條件B. 必要但不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件

18. 過雙曲線 的右頂點 作斜率為 的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為 ，．若 ，則雙曲線的離心率是
A. B. C. D.

19. 設(shè)雙曲線 的中心為點 ，若有且只有一對相交于點 ，所成的角為 的直線 和 ，使 ，其中 和 分別是這對直線與雙曲線 的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是
A. B. C. D.

20. 已知雙曲線 與拋物線 有一個公共的焦點 ，且兩曲線的一個交點為 ．若 ，則雙曲線的漸近線方程為
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 雙曲線 的焦點坐標是 ，離心率為 ，漸近線方程是 ．

22. 雙曲線 ： 的離心率是 ；漸近線方程是 ．

23. 若雙曲線 的左焦點在拋物線 的準線上，則 的值為 ．

24. 雙曲線 的兩個焦點為 、 ，點 在雙曲線上，若 ，則點 到 軸的距離為 ．

25. 雙曲線 的漸近線為正方形 的邊 ， 所在的直線，點 為該雙曲線的焦點．若正方形 的邊長為 ，則 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 設(shè)雙曲線 ：（）與直線 ： 相交于兩個不同的點 ，．求雙曲線 的離心率的取值范圍．

27. 已知雙曲線 的離心率為 ．
（1）求雙曲線 的漸近線方程；
（2）當 時，已知直線 與雙曲線 交于不同的兩點 ，，且線段 的中點在圓 上，求實數(shù) 的值．

28. 已知橢圓 的離心率為 ，短軸長為 ．橢圓與直線 相交于 ， 兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求弦長 ．

29. 已知雙曲線和橢圓中心均為原點，它們有相同的焦點 ，，并且它們的離心率 都使方程 有相等實根，求橢圓和雙曲線方程．

30. 已知點 ，點 ，圓 ：．
（1）求過點 的圓 的切線方程．
（2）求過點 的圓 的切線方程．
答案
1. C【解析】提示：，所以 ，，所以 ．
2. C【解析】點 在以 ， 為焦點， 的雙曲線的一支上，所以 的最小值為 ．
3. A【解析】當曲線為橢圓時，；
當曲線為雙曲線時，．
4. D【解析】有一個公共點表示漸近線方程與拋物線方程聯(lián)立后判別式為 ．
5. B
【解析】若雙曲線 的一條漸近線：，漸近線經(jīng)過點 ，可得 ，即 ，可得 ，
所以 ，，
所以雙曲線的離心率為 ．
6. B【解析】直線 的方程為 ，聯(lián)立直線 與直線 得 ，又因為 ，所以 得 ，所以雙曲線的離心率為 ．
7. D
8. A【解析】當 時，，，此時方程 表示雙曲線；
反之，若方程 表示雙曲線，則有 ，即 或 ．
故 是方程 表示雙曲線的充分不必要條件．
9. A【解析】如圖，設(shè) ，，則 ，當 時，，可求得 ．
由 可得 ．
當 時， 是鈍角或平角，此時 的取值范圍為 ．
10. A
【解析】雙曲線 的漸近線為 ，
而漸近線與 平行．
故 ，
所以
又因為雙曲線的一個焦點為 ，則 ，
所以 ，
又 ，即
由①②可求得 ，，
所以雙曲線方程為 ．
11. C【解析】因為 ，且 ，
所以 ，
由雙曲線的定義，得 ，
所以 ．
12. D【解析】設(shè)雙曲線 的標準方程為 ，則 ，，
不妨設(shè)點 在第一象限內(nèi)，則易得 ，
又 點在雙曲線 上，于是 ，解得 ，
所以 ．
13. A【解析】因為 且 ，
所以 ，
因為離心率 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
因為 ，
所以 ，
由雙曲線定義知 ，
所以 或 ，
因為 ，
所以 ，
故 或 ．
14. D【解析】依題意知拋物線的準線 ，代入雙曲線方程得 ．
不妨設(shè) ，
因為 是等腰直角三角形，
所以 ，
解得：，
所以 ，
所以 ．
15. B
【解析】因為 ，
所以 ，
因為 為 軸上一點，
所以 為 中點，
所以 ，
所以 ，
即 ，即 ，
因為 ，
所以 ，
兩邊同時除以 得 ，
所以 ，
所以 ，
因為 ，
所以 ．
故選B．
16. D【解析】因為 與 軸垂直，，
所以設(shè) ，則 ，如圖所示：
由雙曲線的定義得 ，即 ，
在直角三角形 中，，即 ，
即 ，則 ．
17. C【解析】若“”，則 ， 均不為 ，方程 ，可化為 ，
若“”，， 異號，方程 中，兩個分母異號，則其表示雙曲線，
故“”是"方程 表示雙曲線”的 充分條件．
反之，若 表示雙曲線，則其方程可化為 ，此時 ， 異號，則必有 ，
故“”是“方程 表示雙曲線”的 必要條件．
綜合可得：“”是"方程 表示雙曲線”的 充要條件．
18. C【解析】由題可知，過點 斜率為 的直線的方程為 ，與漸近線 交于點 ，與漸近線 交于點 ．
因為 ，所以 ，所以 ．結(jié)合 ，可得 ．
19. A【解析】先考慮焦點在 軸上的雙曲線，由雙曲線的對稱性知，滿足題意的這一對直線也關(guān)于 軸（或 軸）對稱，又由題意知有且只有一對這樣的直線，故該雙曲線在第一象限的漸近線的傾斜角范圍是大于 且小于等于 ，即 ，所以 ．又
所以 ，解得 ．
焦點在 軸上的雙曲線與焦點在 軸上的雙曲線的開口寬窄要求完全相同，所以離心率的范圍一致．
20. C
【解析】拋物線 的焦點為 ，因為 在拋物線上且 ，由拋物線的定義知 ，而 ，
所以 ，雙曲線中 ，而 ，
所以 ，漸近線方程為 ．
21. ，，，
22. ，
【解析】由雙曲線方程可得 ，，，離心率為 ，漸近線方程為 ．
23.
【解析】注意雙曲線中 ．
24.
【解析】雙曲線 ，，，，從而 ，．
設(shè) 與 中較小的值為 ，則較大的值為 ，
因為 ，所以 ，解得 ．
由 為直角三角形，知點 到 軸的距離 ．
25.
【解析】不妨令 為雙曲線的右焦點， 在第一象限，則雙曲線如圖所示．
因為四邊形 為正方形，，
所以 ，．
因為直線 是漸近線，方程為 ，
所以 ，即 ．
又因為 ，
所以 ．
26. 由 與 相交于兩個不同點，故知方程組 有兩組不同的實根，消去 并整理得
所以 解得 ，且 ．
雙曲線的離心率 ，因為 且 ，
所以 ，且 ．即離心率 的取值范圍為
27. （1） 由題意得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以雙曲線 的漸近線方程為 ．
（2） 由（）得當 時，，雙曲線 的方程為 ．
設(shè) ， 兩點的坐標分別為 ，，線段 的中點為 ，
由 消去 得 （判別式 ），
所以 ，，
因為點 在圓 上，
所以 ，
所以 ．
28. （1） 因為橢圓 的離心率為 ，短軸長為 ，
所以
解得 ，，
所以橢圓方程為 ．
（2） 聯(lián)立 得 ，顯然有 ，
設(shè) ，，
則 ，，
由弦長公式可得 ．
29. 因為 有相等實根
所以 ，
解得 ，．
所以橢圓離心率為 ，雙曲線離心率為 ．
設(shè)橢圓方程為 ，則 且 ，
所以 ，，
故橢圓方程為 ．
設(shè)雙曲線方程為 ，則 且 ，
所以 ，，
故雙曲線方程為 ．
30. （1） 由題意得圓心 ，半徑 ．
因為 ，
所以點 在圓 上．
又 ，
所以切線的斜率 ．
所以過點 的圓 的切線方程是 ，即 ．
（2） 因為 ，
所以點 在圓 外部．
當過點 的直線斜率不存在時，直線方程為 ，即 ．
又點 到直線 的距離 ，即此時滿足題意，
所以直線 是圓的切線．
當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為 ，即 ，
則圓心 到切線的距離 ，解得 ．
所以切線方程為 ，即 ．
綜上可得，過點 的圓 的切線方程為 或 ．

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