1．下列圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列事件中必然發(fā)生的事件是（ ）
A．一個(gè)圖形平移后所得的圖形與原來(lái)的圖形不全等
B．不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是不等式
C．200件產(chǎn)品中有5件次品，從中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．隨意翻到一本書(shū)的某頁(yè)，這頁(yè)的頁(yè)碼一定是偶數(shù)
3．拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）
4．把拋物線y＝向下平移2個(gè)單位，得到拋物線解析式為（ ）
A．B．
C． D．
5．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，變形正確的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3
6．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE．若點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，則∠B的大小為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在的圓的圓心為圖中的（ ）
A．MB．PC．QD．R
8．市政府為了解決市民看病難的問(wèn)題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格．某種藥品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒200元下調(diào)至162元，設(shè)這種藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程（ ）
A．200（1﹣x）2＝162B．162（1﹣x）2＝200
C．200（1+x）2＝162D．162（1+x）2＝200
二、填空題
9．小強(qiáng)同學(xué)從﹣1，0，1，2，3，4這六個(gè)數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，滿足不等式x+1＜2的概率是 ．
10．若點(diǎn)P（m，5）與Q（2，n）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則m+n的值為 ．
11．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向下，且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）的拋物線的解析式 ．
12．拋物線y＝x2﹣5x+2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
13．若x＝2是一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一個(gè)根，則a＝ ．
14．如圖，在⊙O中，弦AB＝8，圓心O到AB的距離3，則⊙O的半徑長(zhǎng)為 ．
15．已知射線OM．以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與射線OM交于點(diǎn)A，再以點(diǎn)A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)B，畫(huà)射線OB，如圖所示，則∠AOB＝ 度
16．如圖1，在△ABC中，AB＞AC，D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)B，D兩點(diǎn)之間的距離為x，A，D兩點(diǎn)之間的距離為y，表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示．則線段AC的長(zhǎng)為 ，線段AB的長(zhǎng)為 ．
三、解答題
17．計(jì)算：．
18．解方程：
（1）；
（2）x2﹣x＝0；
（3）x2+2x﹣1＝0；
（4）2x2﹣x﹣3＝0；
（5）x2﹣x﹣1＝0．
19．已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．
（1）畫(huà)出函數(shù)圖象．
（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）求圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（4）求頂點(diǎn)及圖象與x軸兩交點(diǎn)圍成的三角形面積．
（5）當(dāng)y＞0時(shí)，求x的取值范圍．
20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求證：此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程恰有一個(gè)根小于﹣1，求k的取值范圍．
21．如圖1是博物館展出的古代車(chē)輪實(shí)物，《周禮?考工記》記載：“…故兵車(chē)之輪六尺有六寸，田車(chē)之輪六尺有三寸…”據(jù)此，我們可以通過(guò)計(jì)算車(chē)輪的半徑來(lái)驗(yàn)證車(chē)輪類(lèi)型，請(qǐng)將以下推理過(guò)程補(bǔ)充完整．
如圖2所示，在車(chē)輪上取A、B兩點(diǎn)，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為rcm．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點(diǎn)．其推理依據(jù)是： ．
經(jīng)測(cè)量：AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝ cm；
用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝ cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關(guān)于r的方程：
r2＝ ，
解得r＝75．
通過(guò)單位換算，得到車(chē)輪直徑約為六尺六寸，可驗(yàn)證此車(chē)輪為兵車(chē)之輪．
22．如圖，點(diǎn)O、B坐標(biāo)分別為（0，0）、（3，0），將△OAB繞O點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到△OA'B'．
（1）畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系和△OA'B′；
（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)A'的坐標(biāo)；
23．如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．求每條道路的寬．
24．為了解我國(guó)2022年第一季度25個(gè)地區(qū)快遞業(yè)務(wù)收入的情況，收集了這25個(gè)地區(qū)第一季度快遞業(yè)務(wù)收入（單位：億元）的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、描述和分析，給出如下信息．
a．排在前5位的地區(qū)第一季度快遞業(yè)務(wù)收入的數(shù)據(jù)分別為：
534.9，437.0，270.3，187.7，104.0
b．其余20個(gè)地區(qū)第一季度快遞業(yè)務(wù)收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表如下：
c．第一季度快遞業(yè)務(wù)收入的數(shù)據(jù)在20≤x＜40這一組的是：
20.2，20.4，22.4，24.2，26.5，26.5，28.5，34.4，39.1，39.8
d．排在前5位的地區(qū)、其余20個(gè)地區(qū)、全部25個(gè)地區(qū)第一季度快遞業(yè)務(wù)收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
（1）表中m的值為 ；
（2）在下面的3個(gè)數(shù)中，與表中n的值最接近的是 （填寫(xiě)序號(hào)）．
①75
②80
③85
（3）根據(jù)（2）中的數(shù)據(jù)，預(yù)計(jì)這25個(gè)地區(qū)2022年全年快遞業(yè)務(wù)收入約為 億元．
25．在正方形ABCD中，M是BC邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)M不與B、C重合，點(diǎn)P在射線AM上，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接BP，DQ．
（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）①連接DP，若點(diǎn)P，Q，D恰好在同一條直線上，求證：DP2+DQ2＝2AB2；
②若點(diǎn)P，Q，C恰好在同一條直線上，則BP與AB的數(shù)量關(guān)系為： ．
2022-2023學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易附中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題
1．下列圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【解答】解：A、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
2．下列事件中必然發(fā)生的事件是（ ）
A．一個(gè)圖形平移后所得的圖形與原來(lái)的圖形不全等
B．不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是不等式
C．200件產(chǎn)品中有5件次品，從中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．隨意翻到一本書(shū)的某頁(yè)，這頁(yè)的頁(yè)碼一定是偶數(shù)
【分析】直接利用隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件分別分析得出答案．
【解答】解：A、一個(gè)圖形平移后所得的圖形與原來(lái)的圖形不全等，是不可能事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是不等式，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、200件產(chǎn)品中有5件次品，從中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此選項(xiàng)正確；
D、隨意翻到一本書(shū)的某頁(yè)，這頁(yè)的頁(yè)碼一定是偶數(shù)，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
3．拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）
【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可得出結(jié)論．
【解答】解：∵拋物線的解析式為：y＝（x﹣1）2+2，
∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解答此題的關(guān)鍵．
4．把拋物線y＝向下平移2個(gè)單位，得到拋物線解析式為（ ）
A．B．
C． D．
【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．
【解答】解：將拋物線y＝x2向下平移2個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是 y＝x2﹣2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
5．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，變形正確的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE．若點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，則∠B的大小為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠B的度數(shù)，此題得解．
【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在的圓的圓心為圖中的（ ）
A．MB．PC．QD．R
【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到答案．
【解答】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，
它們都經(jīng)過(guò)Q所以點(diǎn)Q為這條圓弧所在圓的圓心．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心．這也常用來(lái)確定圓心的方法．
8．市政府為了解決市民看病難的問(wèn)題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格．某種藥品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒200元下調(diào)至162元，設(shè)這種藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程（ ）
A．200（1﹣x）2＝162B．162（1﹣x）2＝200
C．200（1+x）2＝162D．162（1+x）2＝200
【分析】利用經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格＝原價(jià)×（1﹣平均每次降價(jià)的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：依題意得200（1﹣x）2＝162，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．小強(qiáng)同學(xué)從﹣1，0，1，2，3，4這六個(gè)數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，滿足不等式x+1＜2的概率是 ．
【分析】找到滿足不等式x+1＜2的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計(jì)算可得．
【解答】解：在﹣1，0，1，2，3，4這六個(gè)數(shù)中，滿足不等式x+1＜2的有﹣1、0這兩個(gè)，
所以滿足不等式x+1＜2的概率是＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
10．若點(diǎn)P（m，5）與Q（2，n）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則m+n的值為 ﹣7 ．
【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是P′（﹣x，﹣y），進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵點(diǎn)P（m，5）與Q（2，n）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，
∴m＝﹣2，n＝﹣5，
則m+n的值為：﹣2﹣5＝﹣7．
故答案為：﹣7．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的符號(hào)是解題關(guān)鍵．
11．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向下，且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）的拋物線的解析式 y＝﹣x2﹣3（答案不唯一） ．
【分析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），根據(jù)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向及與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得出a＜0，c＝﹣3，取a＝﹣1，b＝0即可得出結(jié)論（答案不唯一）．
【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0）．
∵二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），
∴a＜0，c＝﹣3，
∴二次函數(shù)的解析式可以為y＝﹣x2﹣3．
故答案為：y＝﹣x2﹣3（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，牢記二次函數(shù)a＜0時(shí)開(kāi)口向下，c為圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)解題的關(guān)鍵．
12．拋物線y＝x2﹣5x+2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 （0，2） ．
【分析】由于y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，所以把x＝0代入解析式中即可求解．
【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2﹣5x+2＝0+0+2＝2，
∴拋物線y＝x2﹣5x+2與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．
故答案為：（0，2）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，此題主要利用了y軸上橫坐標(biāo)為0解決問(wèn)題．
13．若x＝2是一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一個(gè)根，則a＝ 1 ．
【分析】把x＝2代入方程x2+ax﹣6＝0得4+2a﹣6＝0，然后解關(guān)于a的方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程，可得：
4+2a﹣6＝0，
解得：a＝1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
14．如圖，在⊙O中，弦AB＝8，圓心O到AB的距離3，則⊙O的半徑長(zhǎng)為 5 ．
【分析】根據(jù)垂徑定理求出AC，根據(jù)勾股定理求出OA即可．
【解答】解：∵弦AB＝8，圓心O到AB的距離OC＝3，
∴AC＝BC＝4，∠OCA＝90°，
由勾股定理得：AO＝＝＝5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和垂徑定理，能根據(jù)垂徑定理求出AC的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．
15．已知射線OM．以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與射線OM交于點(diǎn)A，再以點(diǎn)A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)B，畫(huà)射線OB，如圖所示，則∠AOB＝ 60 度
【分析】首先連接AB，由題意易證得△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可求得∠AOB的度數(shù)．
【解答】解：連接AB，
根據(jù)題意得：OB＝OA＝AB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°．
故答案為：60．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意得到OB＝OA＝AB．
16．如圖1，在△ABC中，AB＞AC，D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)B，D兩點(diǎn)之間的距離為x，A，D兩點(diǎn)之間的距離為y，表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示．則線段AC的長(zhǎng)為 ，線段AB的長(zhǎng)為 2 ．
【分析】從圖象看，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝，即BD＝1時(shí)，AD＝，當(dāng)x＝7時(shí)，y＝，即BD＝7時(shí)，C、D重合，此時(shí)y＝AD＝AC＝，則CD＝6，即當(dāng)BD＝1時(shí)，△ADC為以點(diǎn)A為頂點(diǎn)腰長(zhǎng)為的等腰三角形，進(jìn)而求解．
【解答】解：從圖象看，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝，即BD＝1時(shí)，AD＝，
當(dāng)x＝7時(shí)，y＝，即BD＝7時(shí)，C、D重合，此時(shí)y＝AD＝AC＝，則CD＝6，
即當(dāng)BD＝1時(shí)，△ADC為以點(diǎn)A為頂點(diǎn)腰長(zhǎng)為的等腰三角形，如下圖：
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，
在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，則AH＝＝＝2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
故答案為：，2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是：弄清楚不同時(shí)間段，圖象和圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解．
三、解答題
17．計(jì)算：．
【分析】首先計(jì)算乘方、開(kāi)方，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝9+﹣l﹣1﹣3
＝7﹣2
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．
18．解方程：
（1）；
（2）x2﹣x＝0；
（3）x2+2x﹣1＝0；
（4）2x2﹣x﹣3＝0；
（5）x2﹣x﹣1＝0．
【分析】（1）根據(jù)直接開(kāi)方法即可求出答案．
（2）根據(jù)提取公因式法即可求出答案．
（3）根據(jù)配方法即可求出答案．
（4）根據(jù)十字相乘法即可求出答案；
（5）根據(jù)配方法即可求出答案．
【解答】解：（1）﹣2＝0，
x2＝4，
x＝±2，
x1＝2，x2＝﹣2．
（2）x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝1．
（3）x2+2x﹣1＝0，
x2+2x+1＝2，
（x+1）2＝2，
x+1＝±，
x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
（4）2x2﹣x﹣3＝0，
（x+1）（2x﹣3）＝0，
x+1＝0或2x﹣3＝0，
x1＝﹣1，x2＝．
（5）x2﹣x﹣1＝0，
x2﹣x＝1，
x2﹣x+＝1+，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
x1＝+，x2＝﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用配方法、直接開(kāi)方法、因式分解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
19．已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．
（1）畫(huà)出函數(shù)圖象．
（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）求圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（4）求頂點(diǎn)及圖象與x軸兩交點(diǎn)圍成的三角形面積．
（5）當(dāng)y＞0時(shí)，求x的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式作出圖象．
（2）將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式求解．
（3）將y＝0代入解析式求解．
（4）設(shè)拋物線與x軸交點(diǎn)為A，B，拋物線頂點(diǎn)為C，由S△ABC＝?（﹣yC）求解．
（5）根據(jù)圖象求解．
【解答】解：（1）如圖，
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．
（3）將y＝0代入y＝x2+2x﹣3得x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），（1，0）．
（4）如圖，設(shè)拋物線與x軸交點(diǎn)為A，B，拋物線頂點(diǎn)為C，
∴S△ABC＝?（﹣yC）＝＝8．
（5）由圖象可得x＜﹣3或x＞1時(shí)，y＞0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求證：此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程恰有一個(gè)根小于﹣1，求k的取值范圍．
【分析】（1）計(jì)算根的判別式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；
（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，則k+3＜﹣1，然后解不等式即可．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）
＝k2+2k+1
＝（k+1）2≥0，
∴此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）∵x＝，
∴x1＝2，x2＝k+3，
∵此方程恰有一個(gè)根小于﹣1，
∴k+3＜﹣1，
解得k＜﹣4，
即k的取值范圍為k＜﹣4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
21．如圖1是博物館展出的古代車(chē)輪實(shí)物，《周禮?考工記》記載：“…故兵車(chē)之輪六尺有六寸，田車(chē)之輪六尺有三寸…”據(jù)此，我們可以通過(guò)計(jì)算車(chē)輪的半徑來(lái)驗(yàn)證車(chē)輪類(lèi)型，請(qǐng)將以下推理過(guò)程補(bǔ)充完整．
如圖2所示，在車(chē)輪上取A、B兩點(diǎn)，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為rcm．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點(diǎn)．其推理依據(jù)是： 垂直弦的直徑平分弦 ．
經(jīng)測(cè)量：AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝ 45 cm；
用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝ （r﹣15） cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關(guān)于r的方程：
r2＝ 452+（r﹣15）2 ，
解得r＝75．
通過(guò)單位換算，得到車(chē)輪直徑約為六尺六寸，可驗(yàn)證此車(chē)輪為兵車(chē)之輪．
【分析】根據(jù)垂徑定理，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．
【解答】解：如圖2所示，在車(chē)輪上取A、B兩點(diǎn)，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為rcm．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點(diǎn)．其推理依據(jù)是：垂直弦的直徑平分弦．
經(jīng)測(cè)量：AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝45cm；
用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝（r﹣15）cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關(guān)于r的方程：
r2＝452+（r﹣15）2，
解得r＝75．
通過(guò)單位換算，得到車(chē)輪直徑約為六尺六寸，可驗(yàn)證此車(chē)輪為兵車(chē)之輪．
故答案為：垂直弦的直徑平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
22．如圖，點(diǎn)O、B坐標(biāo)分別為（0，0）、（3，0），將△OAB繞O點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到△OA'B'．
（1）畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系和△OA'B′；
（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)A'的坐標(biāo)；
【分析】（1）根據(jù)已知條件即可建立平面直角坐標(biāo)系，然后分別作出A，B，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)A′的位置寫(xiě)出坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）如圖，平面直角坐標(biāo)系和△OA'B'即為所求．
（2）A′（﹣2，4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
23．如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．求每條道路的寬．
【分析】將六小塊草坪合在一起可得出一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)道路的寬為xm，則草坪的長(zhǎng)為（32﹣2x）m，寬為（20﹣x）m，根據(jù)矩形的面積公式即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)道路的寬為xm，則草坪的長(zhǎng)為（32﹣2x）m，寬為（20﹣x）m，
根據(jù)題意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570
整理得：x2﹣36x+35＝0，
解得：x1＝1，x2＝35（不合題意，舍去）．
答：每條道路的寬為1米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
24．為了解我國(guó)2022年第一季度25個(gè)地區(qū)快遞業(yè)務(wù)收入的情況，收集了這25個(gè)地區(qū)第一季度快遞業(yè)務(wù)收入（單位：億元）的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、描述和分析，給出如下信息．
a．排在前5位的地區(qū)第一季度快遞業(yè)務(wù)收入的數(shù)據(jù)分別為：
534.9，437.0，270.3，187.7，104.0
b．其余20個(gè)地區(qū)第一季度快遞業(yè)務(wù)收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表如下：
c．第一季度快遞業(yè)務(wù)收入的數(shù)據(jù)在20≤x＜40這一組的是：
20.2，20.4，22.4，24.2，26.5，26.5，28.5，34.4，39.1，39.8
d．排在前5位的地區(qū)、其余20個(gè)地區(qū)、全部25個(gè)地區(qū)第一季度快遞業(yè)務(wù)收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
（1）表中m的值為 25.35 ；
（2）在下面的3個(gè)數(shù)中，與表中n的值最接近的是 ③ （填寫(xiě)序號(hào)）．
①75
②80
③85
（3）根據(jù)（2）中的數(shù)據(jù)，預(yù)計(jì)這25個(gè)地區(qū)2022年全年快遞業(yè)務(wù)收入約為 340 億元．
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）由平均數(shù)的計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）利用（2）中的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）將這20個(gè)地區(qū)的第一季度快遞業(yè)務(wù)收入從小到大排列，處在中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為＝25.35，即中位數(shù)m＝25.35，
故答案為：25.35；
（2）n＝（534.9+437.0+270.3+187.7+104.0+29.9×20）＝85.24≈85，
故答案為：③；
（3）85×4＝340（億元），
故答案為：340．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)分布表，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及樣本估計(jì)總體，掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義及計(jì)算方法是正確解答的前提．
25．在正方形ABCD中，M是BC邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)M不與B、C重合，點(diǎn)P在射線AM上，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接BP，DQ．
（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）①連接DP，若點(diǎn)P，Q，D恰好在同一條直線上，求證：DP2+DQ2＝2AB2；
②若點(diǎn)P，Q，C恰好在同一條直線上，則BP與AB的數(shù)量關(guān)系為： BP＝AB ．
【分析】（1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可；
（2）①連接BD，如圖2，只要證明△ADQ≌△ABP，∠DPB＝90°即可解決問(wèn)題；
②結(jié)論：BP＝AB，如圖3中，連接AC，延長(zhǎng)CD到N，使得DN＝CD，連接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ＝PB，∠AQN＝∠APC＝45°，由∠AQP＝45°，推出∠NQC＝90°，由CD＝DN，可得DQ＝CD＝DN＝AB；
【解答】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖1：
（2）①證明：連接BD，如圖2，
∵線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，
∴AQ＝AP，∠QAP＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠1＝∠2．
∴△ADQ≌△ABP，
∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，
∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，
∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，
∵在Rt△BPD中，DP2+BP2＝BD2，
又∵DQ＝BP，BD2＝2AB2，
∴DP2+DQ2＝2AB2．
②解：結(jié)論：BP＝AB．
理由：如圖3中，連接AC，延長(zhǎng)CD到N，使得DN＝CD，連接AN，QN．
∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，
∴DQ＝PB，∠AQN＝∠APC＝45°，
∵∠AQP＝45°，
∴∠NQC＝90°，
∵CD＝DN，
∴DQ＝CD＝DN＝AB，
∴PB＝AB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/11 11:36:40；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111快遞業(yè)務(wù)收入x
0≤x＜20
20≤x＜40
40≤x＜60
60≤x≤80
頻數(shù)
6
10
1
3
前5位的地區(qū)
其余20個(gè)地區(qū)
全部25個(gè)地區(qū)
平均數(shù)
p
29.9
n
中位數(shù)
270.3
m
28.5
快遞業(yè)務(wù)收入x
0≤x＜20
20≤x＜40
40≤x＜60
60≤x≤80
頻數(shù)
6
10
1
3
前5位的地區(qū)
其余20個(gè)地區(qū)
全部25個(gè)地區(qū)
平均數(shù)
p
29.9
n
中位數(shù)
270.3
m
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