1．（3分）拋物線y＝3（x﹣1）2﹣4的對稱軸是直線（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝4D．x＝﹣4
2．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工智能機器人AlphaG進行圍棋人機大戰(zhàn)．截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）若關于x的一元二次方程mx2﹣2x+6＝0的一個根是﹣1，則m的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．﹣8
4．（3分）在平面內(nèi)，已知OP＝2，OQ＝4，若點P在⊙O上，那么點Q與⊙O的位置關系是（ ）
A．點Q在⊙O內(nèi)B．點Q在⊙O上C．點Q在⊙O外D．無法判斷
5．（3分）如圖，點A，B，C均在⊙O上，若∠AOB＝50°，則∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．25°B．50°C．75°D．100°
6．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊BC上，且BE＝1，∠BAE＝30°，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADF，使點B與點D重合，則點E，F(xiàn)之間的距離為（ ）
A．B．2C．D．3
7．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則關于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（ ）
A．x≤2B．x≤0C．﹣3≤x≤0D．x≤﹣3或x≥0
8．（3分）在一次足球比賽小組賽中，每兩支隊伍之間都要各進行一次主場比賽、一次客場比賽，主辦方共投入使用6個球場，每天每個球場共安排4場比賽，若連續(xù)10天才能保證小組賽全部比完，則本次小組賽參賽球隊有（ ）
A．15支B．16支C．17支D．18支
二、填空題（本題共24分，每小題3分）
9．（3分）將拋物線y＝5x2向下平移2個單位長度，所得新拋物線的表達式為 ．
10．（3分）設x1，x2分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個不相等的實數(shù)根，則x1?x2的值為 ．
11．（3分）如圖，BD是⊙O的直徑，C是的中點，若∠AOC＝70°，則∠AOD的度數(shù)為 ．
12．（3分）請寫出一個開口向下，且經(jīng)過點（2，﹣4）的拋物線的表達式為 ．
13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，點D在AC上，且AD＝2，將點D繞著點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點D的對應點E恰好落在AB邊上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為 ，CE的長為 ．
14．（3分）如圖，點O為線段AB的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接AC，BD．請寫出圖中任意一組互補的角為 和 （不添加輔助線，不添加數(shù)字角標和字母）．
15．（3分）關于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有兩個不相等的實根，則k的取值范圍是 ；若該方程的兩個實根均為有理數(shù)，則整數(shù)k的最小值為 ．
16．（3分）我們將滿足等式x2+y2＝1+|x|y的每組x，y的值在平面直角坐標系中畫出，便會得到如圖所示的“心形”圖形．下面三個結(jié)論中，
（1）“心形”圖形是軸對稱圖形；
（2）“心形”圖形所圍成的面積一定大于2；
（3）“心形”圖形上任意一點到原點的距離都小于，所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題（本題共52分，17-18題每題4分，19-23題每題5分，2425題每題6分，26題7分）
17．（4分）解方程：x2﹣7x+6＝0．
18．（4分）解方程：（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0．
19．（5分）若a是關于x的一元二次方程x2＝3x+10的根，求代數(shù)式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值．
20．（5分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，OD⊥BC于點D．
下面是借助直尺，畫出△ABC中∠BAC的平分線的步驟：
①延長OD交于點M；
②連接AM交BC于點N．
所以∠BAN＝∠CAN．
即線段AN為所求△ABC中∠BAC的平分線．
（1）依據(jù)題意，補全圖形：
（2）請回答，得到∠BAN＝∠CAN的兩個主要依據(jù)是 ．（填寫序號）
①垂直于弦的直徑平分弦所對的劣弧；
②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；
③直徑所對的圓周角是直角；
④等弧所對的圓周角相等．
21．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，A（1，2），B（4，2）．
（1）將點B向上平移4個單位長度，得到點C，則點C的坐標是 ．
（2）將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，其中點A與點D對應，月點D在線段BC上，請在圖中畫出△DBE；
（3）經(jīng)過A，B，E三點 確定一個圓．（填寫“能”或“不能”）
22．（5分）已知拋物線y＝（x﹣3）（x+1），
（1）直接寫出該拋物線與x軸的交點坐標為 ；
（2）求該拋物線的頂點坐標；
（3）畫出它的圖象；
（4）若（m，y1），（m+2，y2）在拋物線上，且y1≤y2，直接寫出m的取值范圍是 ．
23．（5分）如圖1是博物館展出的古代車輪實物，《周禮?考工記》記載：“…故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸…”據(jù)此，我們可以通過計算車輪的半徑來驗證車輪類型，請將以下推理過程補充完整．
如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設所在圓的圓心為O，半徑為rcm．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點．其推理依據(jù)是： ．
經(jīng)測量：AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝ cm；
用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝ cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關于r的方程：
r2＝ ，
解得r＝75．
通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．
24．（6分）已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點A（4，4）．
（1）用含a的代數(shù)式表示b為 ；
（2）當拋物線與x軸交于點B（2，0）時，求此時a的值；
（3）設拋物線與x軸兩交點之間的距離為d．當d＜2時，求a的取值范圍．
25．（6分）已知∠MAN＝45°，點B為射線AN上一定點，點C為射線AM上一動點（不與點A重合），點D在線段BC的延長線上，且CD＝CB，過點D作DE⊥AM于點E．
（1）當點C運動到如圖1的位置時，點E恰好與點C重合，此時AC與DE的數(shù)量關系是 ；
（2）當點C運動到如圖2的位置時，依題意補全圖形，并證明：2AC＝AE+DE；
（3）在點C運動的過程中，點E能否在射線AM的反向延長線上？若能，直接用等式表示線段AC，AE，DE之間的數(shù)量關系；若不能，請說明理由．
26．（7分）定義：在平面直角坐標系xOy中，點P為圖形M上一點，點Q為圖形N上一點．若存在OP＝OQ，則稱圖形M與圖形N關于原點O“平衡”．
（1）如圖1，已知⊙A是以（1，0）為圓心，2為半徑的圓，點C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，2）．
①在點C，D，E中，與⊙A關于原點O“平衡”的點是 ；
②點H為直線y＝﹣x上一點，若點H與⊙A關于原點O“平衡”，求點H的橫坐標的取值范圍；
（2）如圖2，已知圖形G是以原點O為中心，邊長為2的正方形．⊙K的圓心在x軸上，半徑為2．若⊙K與圖形G關于原點O“平衡”，請直接寫出圓心K的橫坐標的取值范圍．
2022-2023學年北京市海淀區(qū)首都師大附中九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共24分，每小題3分，第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個）
1．（3分）拋物線y＝3（x﹣1）2﹣4的對稱軸是直線（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝4D．x＝﹣4
【分析】由于所給的是二次函數(shù)的頂點式，故能直接求出其對稱軸．
【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2﹣4，
∴此函數(shù)的對稱軸就是直線x＝1．
故選：A．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)三種表達式．
2．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工智能機器人AlphaG進行圍棋人機大戰(zhàn)．截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
B、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
D、是中心對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
3．（3分）若關于x的一元二次方程mx2﹣2x+6＝0的一個根是﹣1，則m的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．﹣8
【分析】根據(jù)題意可得：把x＝﹣1代入方程mx2﹣2x+6＝0中得：m×（﹣1）2﹣2×（﹣1）+6＝0，然后進行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：
把x＝﹣1代入方程mx2﹣2x+6＝0中得：
m×（﹣1）2﹣2×（﹣1）+6＝0，
m+2+6＝0，
解得：m＝﹣8，
故選：D．
【點評】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關鍵．
4．（3分）在平面內(nèi)，已知OP＝2，OQ＝4，若點P在⊙O上，那么點Q與⊙O的位置關系是（ ）
A．點Q在⊙O內(nèi)B．點Q在⊙O上C．點Q在⊙O外D．無法判斷
【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關系進行解答即可．
【解答】解：∵點P在⊙O上，
∴⊙O的半徑OP＝2．
∵OQ＝4，
∴OQ＞⊙O的半徑，
∴點Q在⊙O外．
故選：C．
【點評】本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．
5．（3分）如圖，點A，B，C均在⊙O上，若∠AOB＝50°，則∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．25°B．50°C．75°D．100°
【分析】利用圓周角定理，進行計算即可解答．
【解答】解：∵∠AOB＝50°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×50°＝25°，
故選：A．
【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．
6．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊BC上，且BE＝1，∠BAE＝30°，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADF，使點B與點D重合，則點E，F(xiàn)之間的距離為（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求AE＝2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AF＝2，∠EAF＝90°，即可求解．
【解答】解：如圖，連接EF，
∵BE＝1，∠BAE＝30°，∠ABE＝90°，
∴AE＝2BE＝2，
∵將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADF，
∴AE＝AF＝2，∠EAF＝90°，
∴EF＝AE＝2，
故選：C．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵．
7．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則關于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（ ）
A．x≤2B．x≤0C．﹣3≤x≤0D．x≤﹣3或x≥0
【分析】根據(jù)圖象可知，函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣，當y＝2時，x＝0或x＝﹣3，再觀察圖象可得不等式的解集．
【解答】解：由圖象可知函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣，
當x＝0時，y＝2，
∴當y＝2時，x＝0或x＝﹣3，
∴ax2+bx+c≥2的解集是﹣3≤x≤0，
故選：C．
【點評】本題考查二次函數(shù)與不等式的關系，能夠根據(jù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的對稱性確定y＝2時，x的對應值是解題的關鍵．
8．（3分）在一次足球比賽小組賽中，每兩支隊伍之間都要各進行一次主場比賽、一次客場比賽，主辦方共投入使用6個球場，每天每個球場共安排4場比賽，若連續(xù)10天才能保證小組賽全部比完，則本次小組賽參賽球隊有（ ）
A．15支B．16支C．17支D．18支
【分析】本次小組賽參賽球隊有x支，根據(jù)主辦方共投入使用6個球場，每天每個球場共安排4場比賽，若連續(xù)10天才能保證小組賽全部比完，列一元二次方程，進一步求解即可．
【解答】解：設本次小組賽參賽球隊有x支，
根據(jù)題意，得x（x﹣1）＝6×4×10，
解得x1＝16，x2＝﹣15（不合題意，舍去），
∴本次小組賽參賽球隊有16支，
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意建立一元二次方程是解題的關鍵．
二、填空題（本題共24分，每小題3分）
9．（3分）將拋物線y＝5x2向下平移2個單位長度，所得新拋物線的表達式為 y＝5x2﹣2 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)律，可得答案．
【解答】解：將拋物線y＝5x2向下平移2個單位長度，所得新拋物線的表達式為y＝5x2﹣2，
故答案為：y＝5x2﹣2．
【點評】主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．
10．（3分）設x1，x2分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個不相等的實數(shù)根，則x1?x2的值為 ﹣3 ．
【分析】直接利用根與系數(shù)的關系求解．
【解答】解：根據(jù)題意得x1?x2＝﹣3．
故答案為：﹣3．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．
11．（3分）如圖，BD是⊙O的直徑，C是的中點，若∠AOC＝70°，則∠AOD的度數(shù)為 40° ．
【分析】由“C是的中點”推知∠AOC＝∠BOC＝70°，然后根據(jù)平角的定義作答．
【解答】解：∵C是的中點，
∵＝．
∵∠AOC＝70°，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°．
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠AOD+∠AOC+∠BOC＝180°．
∴∠AOD＝40°．
故答案為：40°．
【點評】此題主要考查了圓心角、弧、弦的關系，在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
12．（3分）請寫出一個開口向下，且經(jīng)過點（2，﹣4）的拋物線的表達式為 y＝﹣（x﹣2）2﹣4（答案不唯一） ．
【分析】可以把點（2，﹣4）作為拋物線的頂點，則拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣4，然后a取一個負數(shù)即可．
【解答】解：把點（2，﹣4）設頂點，則拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣4，
∵拋物線開口向下，
∴a可以取﹣1，
∴滿足條件的拋物線解析式可以為y＝﹣（x﹣2）2﹣4，
故答案為：y＝﹣（x﹣2）2﹣4（答案不唯一）．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．
13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，點D在AC上，且AD＝2，將點D繞著點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點D的對應點E恰好落在AB邊上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為 45° ，CE的長為 ．
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得旋轉(zhuǎn)角為∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，由勾股定理可求解．
【解答】解：如圖，連接CE，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝45°，
∵將點D繞著點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點D的對應點E恰好落在AB邊上，
∴旋轉(zhuǎn)角為∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，
∴BE＝1，
∴CE＝＝＝，
故答案為：45°，．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關鍵．
14．（3分）如圖，點O為線段AB的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接AC，BD．請寫出圖中任意一組互補的角為 ∠ADC 和 ∠ABC （不添加輔助線，不添加數(shù)字角標和字母）．
【分析】先利用圓的定義可判斷點A、B、C、D在⊙O上，如圖，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵點O為線段AB的中點，點B，C，D到點O的距離相等，
∴點A、B、C、D在⊙O上，如圖，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
故答案為：∠ADC，∠ABC；（答案不唯一）．
【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．
15．（3分）關于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有兩個不相等的實根，則k的取值范圍是 k＞﹣且k≠0 ；若該方程的兩個實根均為有理數(shù)，則整數(shù)k的最小值為 2 ．
【分析】先根據(jù)根的判別式的意義得到k≠0且Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4k2＞0，則求出兩不等式的公共部分得到k的取值范圍，由于該方程的兩個實根均為有理數(shù)，則4k+1為完全平方數(shù)，然后利用k的范圍可確定整數(shù)k的最小值．
【解答】解：∵方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有兩個不相等的實根，
∴k≠0且Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4k2＞0，
解得k＞﹣且k≠0，
∵Δ＝4k+1，該方程的兩個實根均為有理數(shù)，
∴4k+1為完全平方數(shù)，
∴整數(shù)k的最小值為2．
故答案為：k＞﹣且k≠0，2．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式．
16．（3分）我們將滿足等式x2+y2＝1+|x|y的每組x，y的值在平面直角坐標系中畫出，便會得到如圖所示的“心形”圖形．下面三個結(jié)論中，
（1）“心形”圖形是軸對稱圖形；
（2）“心形”圖形所圍成的面積一定大于2；
（3）“心形”圖形上任意一點到原點的距離都小于，所有正確結(jié)論的序號是 ①②③ ．
【分析】觀察圖象“心形”圖形恰好經(jīng)過（﹣1，1），（0，1），（1，1），（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），利用圖象法一一判斷即可．
【解答】解：如圖，由題意，E（﹣1，1），F(xiàn)（1，1），G（﹣1，0），H（1，0），T（0，﹣1）．
觀察圖象可知，“心形”圖形是軸對稱圖形，故①符合題意，
∵“心形”圖形所圍成的面積＞五邊形EFHTG的面積，
∴“心形”圖形所圍成的面積＞3，故②符合題意，
∵當x＞0時，x2+y2＝1+|x|y≤1+（x2+y2），
∴x2+y2≤2，
∴“心形”圖形上任意一點到原點的距離都小于，故③符合題意，
故答案為：①②③．
【點評】本題考查軸對稱圖形，坐標與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
三、解答題（本題共52分，17-18題每題4分，19-23題每題5分，2425題每題6分，26題7分）
17．（4分）解方程：x2﹣7x+6＝0．
【分析】方程左邊利用十字相乘法分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．
【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣6）＝0，
可得x﹣1＝0，或x﹣6＝0，
解得：x1＝1，或x2＝6．
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．
18．（4分）解方程：（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0．
【分析】利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一元一次方程，再進一步求解即可．
【解答】解：∵（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0，
∴5x（5x﹣1）＝0，
∴x＝0或5x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝0.2．
【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．
19．（5分）若a是關于x的一元二次方程x2＝3x+10的根，求代數(shù)式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值．
【分析】將x＝a代入關于x的一元二次方程x2＝3x+10，求得a2﹣3a＝10，然后將其整體代入整理后的代數(shù)式求值即可．
【解答】解：根據(jù)題意知，a2＝3a+10，
所以a2﹣3a＝10，
則：（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）
＝a2﹣16﹣3a+3
＝a2﹣3a﹣13
＝10﹣13
＝﹣3．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的解，此類題型的特點是：利用方程解的定義找到相等關系，再把所求的代數(shù)式化簡后整理出所找到的相等關系的形式，再把此相等關系整體代入所求代數(shù)式，即可求出代數(shù)式的值．
20．（5分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，OD⊥BC于點D．
下面是借助直尺，畫出△ABC中∠BAC的平分線的步驟：
①延長OD交于點M；
②連接AM交BC于點N．
所以∠BAN＝∠CAN．
即線段AN為所求△ABC中∠BAC的平分線．
（1）依據(jù)題意，補全圖形：
（2）請回答，得到∠BAN＝∠CAN的兩個主要依據(jù)是 ①④ ．（填寫序號）
①垂直于弦的直徑平分弦所對的劣?。?br>②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；
③直徑所對的圓周角是直角；
④等弧所對的圓周角相等．
【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形即可；
（2）根據(jù)垂徑定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖，線段AN為所求△ABC中∠BAC的平分線；
（2）∵OD⊥BC，
∴＝（垂直于弦的直徑平分弦所對的劣?。?br>∴∠BAN＝∠CAN（等弧所對的圓周角相等）．
故答案為：①④．
【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知垂徑定理是解題的關鍵．
21．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，A（1，2），B（4，2）．
（1）將點B向上平移4個單位長度，得到點C，則點C的坐標是 （4，6） ．
（2）將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，其中點A與點D對應，月點D在線段BC上，請在圖中畫出△DBE；
（3）經(jīng)過A，B，E三點 不能 確定一個圓．（填寫“能”或“不能”）
【分析】（1）利用點平移的坐標變換特征確定點C的坐標；
（2）利用點D在線段BC上得到∠ABD＝90°，則△ABC繞點B順時針90°旋轉(zhuǎn)得到△DBE，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出C點的對應點E即可；
（3）根據(jù)確定圓的條件進行判斷．
【解答】解：（1）如圖，點C為所作，C點坐標為（4，6）；
故答案為：（4，6）；
（2）如圖，△DBE為所作；
（3）∵點D在線段BC上，
∴∠ABD＝90°，
∴△ABC繞點B順時針90°旋轉(zhuǎn)得到△DBE，
∴點E在AB的延長線上，
即點A、B、E共線，
∴經(jīng)過A，B，E三點不能確定一個圓．
故答案為：不能．
【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換和確定圓的條件．
22．（5分）已知拋物線y＝（x﹣3）（x+1），
（1）直接寫出該拋物線與x軸的交點坐標為 （﹣1，0），（3，0） ；
（2）求該拋物線的頂點坐標；
（3）畫出它的圖象；
（4）若（m，y1），（m+2，y2）在拋物線上，且y1≤y2，直接寫出m的取值范圍是 m≥0 ．
【分析】（1）令y＝0，即可得到方程（x﹣3）（x+1）＝0，解方程可得拋物線與x軸交點；
（2）配方后直接得到頂點坐標；
（3）找到關鍵點：與坐標軸交點坐標，頂點坐標接口畫出圖象；
（4）根據(jù)對稱軸，判斷出y1＝y(tǒng)2時m的值，再根據(jù)圖形判斷出m的取值范圍．
【解答】解：（1）當y＝0時，（x﹣3）（x+1）＝0，
解得，x1＝3，x2＝﹣1，
可得，拋物線與x軸交點為（﹣1，0），（3，0）．
（2）∵y＝（x﹣3）（x+1），
＝x2﹣2x﹣3，
＝（x﹣1）2﹣4，
拋物線頂點坐標為（1，﹣4）．
（3）當x＝0時，y＝﹣3，
拋物線與y軸交點為（0，﹣3），
由（1）（2）可知，拋物線與x軸交點為（﹣1，0），（3，0）；頂點為（1，﹣4），
順次連接各點即可得到拋物線圖象．
（4）由（2）可知，拋物線對稱軸為x＝1，
當y1＝y(tǒng)2時，＝1，解得，m＝0，
由圖可知m≥0時，y1≤y2．
故答案為：m≥0．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上點的坐標特征，熟悉函數(shù)性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．
23．（5分）如圖1是博物館展出的古代車輪實物，《周禮?考工記》記載：“…故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸…”據(jù)此，我們可以通過計算車輪的半徑來驗證車輪類型，請將以下推理過程補充完整．
如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設所在圓的圓心為O，半徑為rcm．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點．其推理依據(jù)是： 垂直弦的直徑平分弦 ．
經(jīng)測量：AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝ 45 cm；
用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝ （r﹣15） cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關于r的方程：
r2＝ 452+（r﹣15）2 ，
解得r＝75．
通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．
【分析】根據(jù)垂徑定理，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．
【解答】解：如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設所在圓的圓心為O，半徑為rcm．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點．其推理依據(jù)是：垂直弦的直徑平分弦．
經(jīng)測量：AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝45cm；
用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝（r﹣15）cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關于r的方程：
r2＝452+（r﹣15）2，
解得r＝75．
通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．
故答案為：垂直弦的直徑平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．
【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．
24．（6分）已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點A（4，4）．
（1）用含a的代數(shù)式表示b為 1﹣4a ；
（2）當拋物線與x軸交于點B（2，0）時，求此時a的值；
（3）設拋物線與x軸兩交點之間的距離為d．當d＜2時，求a的取值范圍．
【分析】（1）把A（4，4）代入y＝ax2+bx，變形即可得答案；
（2）根據(jù)題意將點A和B坐標代入拋物線y＝ax2+bx（a≠0）即可求a；
（3）將點B坐標代入拋物線y＝ax2+bx（a≠0）可得b＝1﹣4a．再令y＝ax2+bx＝ax2+（1﹣4a）x＝0．可得x1＝0，．根據(jù)d＜2，即可求a的取值范圍．
【解答】解：（1）把A（4，4）代入y＝ax2+bx得，
16a+4b＝4，
∴b＝1﹣4a．
（2）由題意得，，
∴．
（3）∵拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點A（4，4），
∴16a+4b＝4．
∴b＝1﹣4a．
令y＝ax2+bx＝ax2+（1﹣4a）x＝0．
∴ax2+（1﹣4a）x＝0．
∴x[ax﹣（4a﹣1）]＝0．
∵a≠0，
∴x1＝0，．
∵d＜2，
∴4﹣＜2，或4﹣＞﹣2．
∴＞2或＜6．
①當a＞0時，a或0＜a．
②當a＜0時，＜6恒成立．
∴a＜0．
∴綜上所述，a＜0，a或0＜a．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點，解決本題的關鍵是掌握二次函數(shù)的知識．
25．（6分）已知∠MAN＝45°，點B為射線AN上一定點，點C為射線AM上一動點（不與點A重合），點D在線段BC的延長線上，且CD＝CB，過點D作DE⊥AM于點E．
（1）當點C運動到如圖1的位置時，點E恰好與點C重合，此時AC與DE的數(shù)量關系是 AC＝DE ；
（2）當點C運動到如圖2的位置時，依題意補全圖形，并證明：2AC＝AE+DE；
（3）在點C運動的過程中，點E能否在射線AM的反向延長線上？若能，直接用等式表示線段AC，AE，DE之間的數(shù)量關系；若不能，請說明理由．
【分析】（1）易證△ABD是等腰三角形，得AB＝AD，由SSS證得△ABC≌△ADC，得出∠CAD＝∠BAC＝45°，則∠BAD＝90°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案；
（2）依題意即可補全圖形，過點B作BF⊥AM于F，則∠BFC＝∠DEC＝90°，由AAS證得△BFC≌△DEC，得出BF＝DE，CF＝CE，易證△ABF是等腰直角三角形，再BF＝AF，推出AF＝DE，即可得出結(jié)論；
（3）過點B作BF⊥AM于F，同（2）△BFC≌△DEC（AAS），得出BF＝DE，CF＝CE，證得AF＝DE，即可得出結(jié)果．
【解答】（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AB＝AD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝45°+45°＝90°，
∴AC＝CD＝CB，
∵點E恰好與點C重合，
∴AC＝DE，
故答案為：AC＝DE；
（2）證明：過點B作BF⊥AM于F，如圖2所示：
則∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC，
∴2AC＝AE+DE；
（3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下：
過點B作BF⊥AM于F，如圖3所示：
則∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．
26．（7分）定義：在平面直角坐標系xOy中，點P為圖形M上一點，點Q為圖形N上一點．若存在OP＝OQ，則稱圖形M與圖形N關于原點O“平衡”．
（1）如圖1，已知⊙A是以（1，0）為圓心，2為半徑的圓，點C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，2）．
①在點C，D，E中，與⊙A關于原點O“平衡”的點是 C，D ；
②點H為直線y＝﹣x上一點，若點H與⊙A關于原點O“平衡”，求點H的橫坐標的取值范圍；
（2）如圖2，已知圖形G是以原點O為中心，邊長為2的正方形．⊙K的圓心在x軸上，半徑為2．若⊙K與圖形G關于原點O“平衡”，請直接寫出圓心K的橫坐標的取值范圍．
【分析】（1）①求出OC，OD，OE的長d，當長度d在1≤d≤3時，點是與⊙A關于原點O“平衡”．
②若點H可以與⊙A關于原點O“平衡”，則1≤OH≤3．求出四個特殊點H的坐標，可得結(jié)論．
（2）如圖3﹣1中，當⊙K經(jīng)過（﹣，0）或經(jīng)過（，0）時，點K的坐標．如圖3﹣2中，當⊙K經(jīng)過（，0）或經(jīng)過（﹣，0）時，求出點K的坐標，可得結(jié)論．
【解答】（1）①如圖1中，由題意OC＝1，OD＝，OE＝，
∵1＝1，1＜＜3，＞3，
∴點C，D是與⊙A關于原點O“平衡”，
故答案為：C，D．
②解：若點H可以與⊙A關于原點O“平衡”，則1≤OH≤3．
當OH＝1時，H（﹣，）或（，﹣），
當OH＝3時，H（﹣，）或（，﹣）
∴點H橫坐標的取值范圍是或．
（2）如圖3﹣1中，當⊙K經(jīng)過（﹣，0）時，K（2﹣，0），當⊙K經(jīng)過（，0）時，K（2+，0），觀察圖象可知滿足條件的x的值為2﹣≤x≤2+．
如圖3﹣2中，當⊙K經(jīng)過（，0）時，K（﹣2+，0），當⊙K經(jīng)過（﹣，0）時，K（﹣2﹣，0），觀察圖象可知滿足條件的x的值為﹣2﹣≤x≤﹣2+．
綜上所述，圓心K的橫坐標的取值范圍或．
【點評】本題屬于圓綜合題，考查了圖形M與圖形N關于原點O“平衡”的定義，點與圓的位置關系，圓與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是理解題意，學會尋找特殊點，特殊位置解決數(shù)學問題，屬于中考壓軸題．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/7/11 11:34:32；用戶：笑涵數(shù)學；郵箱：15699920825；學號：36906111

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