1．（2分）2021年3月20日三星堆遺址的最新考古發(fā)現(xiàn)又一次讓世界為之矚目，下列三星堆文物圖案中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列是方程2x+y＝7的解的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）在下列長度的四根木棒中，能與3cm，8cm長的兩根木棒釘成一個三角形的是（ ）
A．3cmB．5cmC．7cmD．12cm
4．（2分）下列數(shù)軸上，正確表示不等式3x﹣1＞2x的解集的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC上（不與B，C重合），只需添加一個條件即可證明△ABD≌△ACD，這個條件不可以是（ ）
A．∠BAD＝∠CADB．AD＝BCC．BD＝CDD．AD⊥BC
6．（2分）若一個多邊形的內(nèi)角和等于720°，則它的邊數(shù)為（ ）
A．6B．8C．9D．12
7．（2分）如圖，點D在BC上，AC＝AE，且∠1＝∠2＝∠3＝30°，則∠ADE的度數(shù)為（ ）
A．60°B．70°C．74°D．75°
8．（2分）對于平面直角坐標系內(nèi)的任意兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”為dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．已知不同三點A，B，C滿足dAC＝dAB﹣dBC，下列四個結論中，不正確的結論是（ ）
A．A，B，C三點可能構成銳角三角形
B．A，B，C三點可能構成直角三角形
C．A，B，C三點可能構成鈍角三角形
D．A，B，C三點可能構成等腰三角形
二、填空題（本題共8小題，每小題2分，共16分）
9．（2分）用來證明“若2＜3，則2c＜3c”是假命題的c的值可以是 .（舉出一個即可）
10．（2分）如圖，已知線段AB，分別以點A和點B為圓心，AB的長為半徑作弧，兩弧線相交于點C，連接AC，BC，則∠BAC的度數(shù)為 ．
11．（2分）已知點A（a，3）與點B（2，b）關于x軸對稱，則a+b＝ ．
12．（2分）如圖所示為兩個形狀、大小一樣的小長方形拼接而成的圖形．已知AB＝5，CD＝3，則小長方形的面積為 ．
13．（2分）如圖所示，CE是△ABC的外角∠BCD的角平分線，且CE交AB的延長線于點E，若∠A＝40°，∠E＝18°，則∠ABC的度數(shù)為 ．
14．（2分）如圖表示某個關于x的不等式的解集，若x＝m﹣2是該不等式的一個解，則m的取值范圍是 ．
15．（2分）如圖，點D在∠AOB的平分線OC上，P為OB上的一點，∠DPO＝40°，點Q是射線OA上的一點，并且滿足DP＝DQ，則∠DQO的度數(shù)為 ．
16．（2分）將五個1，五個2，五個3，五個4，五個5共25個數(shù)填入一個5行5列的表格內(nèi)（每格填入一個數(shù)），使得同一行中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過2．每次填滿表后，考察每行中五個數(shù)之和，記這五個和的最小值為m．
（1）下表所示為符合題意的一種填表方式，則此表的m值等于 ；
（2）在所有的填表可能中，m的最大值為 ．
三、解答題（本大題共12小題，共68分）
17．解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
18．解方程組：．
19．解不等式組：．
20．如圖，AB＝CD＝4，AD＝3，∠ACB＝∠E，∠A＝∠CDE，求DE的長．
21．如圖，點M，N分別是∠AOB的邊OA，OB上的點．請你作出點P，使點P到點M和點N的距離相等，且到∠AOB兩邊的距離也相等（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
22．如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A、B在格點上．
（1）已知四邊形ABCD關于x軸對稱（其中A，B的對稱點分別是D，C），補全圖形并寫出點D坐標；
（2）P為x軸上一點，請在圖中畫出使△PAB的周長最小時的點P，并直接寫出此時點P的坐標．
23．如圖所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，AD＝CD，∠B＝3∠A．
（1）試求∠A的度數(shù)；
（2）求證：AB＝3BD．
24．已知關于x，y的二元一次方程x+y＝m，和都是該方程的解．
（1）求a的值；
（2）也是該方程的一個解，求b的值．
25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，AE，BE分別平分∠BAD，∠ABD．
（1）求∠AEB的度數(shù)；
（2）試判斷△BCE的形狀，并說明理由．
26．已知關于x、y的二元一次方程組（k為常數(shù)）．
（1）若該方程組的解x、y滿足3x﹣y＞4，求k的取值范圍；
（2）若該方程組的解x、y均為正整數(shù)，且k≤12，直接寫出該方程組的解．
27．如圖，四邊形ABCD中點B，D在直線l上，點A，C在直線l異側(cè)，AD＝AC，∠BAC＝∠BDC．過點A作AH⊥BD于點H．
（1）求證：∠BAH＝∠DAC；
（2）求證：BD＝BC+2BH；
（3）保持點A和點D位置不變，以直線l為x軸，過點A作直線l的垂線為y軸，若點A坐標為（0，4），點D坐標為（6，0）．若運動點B時，點C一直保持在直線l的下方，則點B的橫坐標b的取值范圍是 ．
28．平面直角坐標系xOy中，過點T（t，0）作垂直于x軸的直線l，若對于點P，先將其關于y軸對稱得到點P1，再將點P1關于直線l對稱得到點P2，若P2在y軸和l關于y軸的對稱直線l'之間（可以在y軸或者直線l'上），我們就稱點P為近t對稱點．
（1）在點（2，0），（﹣2，0）和（﹣，0）中，近1對稱點是 ；
（2）點A（a，0）是近2對稱點，求a的取值范圍；
（3）該坐標系所在平面上一條平行于x軸的線段長為5個單位，若該線段上所有點都是近t對稱點，直接寫出該線段中點橫坐標m的取值范圍 ；
（4）若存在底邊為4的等腰直角三角形上每一點既是近t對稱點又是近（t+1）對稱點，求t的取值范圍．
2022-2023學年北京市海淀區(qū)首都師大附中八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共8小題，每小題2分，共16分）
1．（2分）2021年3月20日三星堆遺址的最新考古發(fā)現(xiàn)又一次讓世界為之矚目，下列三星堆文物圖案中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義解決此題．
【解答】解：A．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C．是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
D．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：C．
【點評】本題主要考查軸對稱圖形的定義，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解決本題的關鍵．
2．（2分）下列是方程2x+y＝7的解的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】將各個選項中的x、y的值代入2x+y驗證結果是否為7即可．
【解答】解：A．把代入2x+y得，2×（﹣1）+5＝3≠7，因此選項A不符合題意；
B．把代入2x+y得，2×1+5＝7，因此選項B符合題意；
C．把代入2x+y得，2×3+4＝10≠7，因此選項C不符合題意；
D．把代入2x+y得，2×4+3＝11≠7，因此選項D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查二元一次方程的解，理解“解”的定義是正確解答的前提，將x、y的值代入是常用的方法．
3．（2分）在下列長度的四根木棒中，能與3cm，8cm長的兩根木棒釘成一個三角形的是（ ）
A．3cmB．5cmC．7cmD．12cm
【分析】首先設第三根木棒長為xcm，根據(jù)三角形的三邊關系定理可得8﹣3＜x＜8+3，計算出x的取值范圍，然后可確定答案．
【解答】解：設第三根木棒長為xcm，由題意得：8﹣3＜x＜8+3，
∴5＜x＜11，
∴C選項7cm符合題意，
故選：C．
【點評】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件：用兩條較短的線段相加，如果大于最長的那條線段就能夠組成三角形．
4．（2分）下列數(shù)軸上，正確表示不等式3x﹣1＞2x的解集的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】求出不等式3x﹣1＞2x的解集，再在數(shù)軸上將解集表示出來即可．
【解答】解：解不等式3x﹣1＞2x得，x＞1，
將x＞1在數(shù)軸上表示為：
故選：D．
【點評】本題考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，掌握不等式解集在數(shù)軸上表示的方法是正確解答的前提．
5．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC上（不與B，C重合），只需添加一個條件即可證明△ABD≌△ACD，這個條件不可以是（ ）
A．∠BAD＝∠CADB．AD＝BCC．BD＝CDD．AD⊥BC
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴當添加∠BAD＝∠CAD時，根據(jù)“ASA”可判斷△ABD≌△ACD，所以A選項不符合題意；
當添加AD＝BC，不能判斷△ABD≌△ACD，所以B選項符合題意；
當添加BD＝CD時，根據(jù)“SAS”可判斷△ABD≌△ACD，所以C選項不符合題意；
當添加AD⊥BC時，∠ADB＝∠ADC＝90°，根據(jù)“AAS”或“HL”可判斷△ABD≌△ACD，所以D選項不符合題意．
故選B．
【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
6．（2分）若一個多邊形的內(nèi)角和等于720°，則它的邊數(shù)為（ ）
A．6B．8C．9D．12
【分析】由多邊形的內(nèi)角和定理，即可計算．
【解答】解：設這個多邊形的邊數(shù)是n，
由題意得：（n﹣2）×180°＝720°，
∴n＝6，
故選：A．
【點評】本題考查多邊形內(nèi)角和定理，關鍵是掌握：多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180° （n≥3且n為整數(shù)）．
7．（2分）如圖，點D在BC上，AC＝AE，且∠1＝∠2＝∠3＝30°，則∠ADE的度數(shù)為（ ）
A．60°B．70°C．74°D．75°
【分析】根據(jù)角的和差推出∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，利用AAS證明△ABC≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理求解即可．
【解答】解：∵∠ADC＝∠ADE+∠3＝∠1+∠B，∠1＝∠3，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠1＝30°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣30°）＝75°，
∵∠ADB+∠ADE+∠3＝180°，∠3＝30°，
∴∠ADE＝75°，
故選：D．
【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關鍵．
8．（2分）對于平面直角坐標系內(nèi)的任意兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”為dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．已知不同三點A，B，C滿足dAC＝dAB﹣dBC，下列四個結論中，不正確的結論是（ ）
A．A，B，C三點可能構成銳角三角形
B．A，B，C三點可能構成直角三角形
C．A，B，C三點可能構成鈍角三角形
D．A，B，C三點可能構成等腰三角形
【分析】不妨設C（0，0），A（1，0），B （x1，y1），則||AC||＝1，||CB||＝|x1|+|y1|，||AB||＝|x1﹣1|+|y1|，討論x1，y1的值即可判定．
【解答】解：不妨設C（0，0），A（1，0），B （x1，y1），則dAC＝1，dCB＝|x1|+|y1|，dAB＝|x1﹣1|+|y1|，
由||AC||+||CB||＝||AB||，可知1+|x1|＝|x1﹣1|，
當x1＝0，y1≠0時1+|x1|＝|x1﹣1|成立，此時△ABC為直角三角形，故B正確；
當x1＝0，y1＝1時，此時△ABC為等腰三角形，故D正確；
當x1＞0時，無解，故A錯；
當x1＜0時，此時∠BCA為鈍角，且1+|x1|＝|x1﹣1|成立，故C正確．
故答案為：A．
【點評】本題主要考查了以命題的真假為載體，考查新定義，解題的關鍵是理解新的定義，同時考查了學生的推理能力．
二、填空題（本題共8小題，每小題2分，共16分）
9．（2分）用來證明“若2＜3，則2c＜3c”是假命題的c的值可以是 ﹣2（答案不唯一） .（舉出一個即可）
【分析】找到一個滿足條件但不滿足結論的c的值即可．
【解答】解：根據(jù)不等式的性質(zhì)知：當c＜0時，原命題是假命題，
故答案為：﹣2（答案不唯一）．
【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解不等式的性質(zhì)，難度不大．
10．（2分）如圖，已知線段AB，分別以點A和點B為圓心，AB的長為半徑作弧，兩弧線相交于點C，連接AC，BC，則∠BAC的度數(shù)為 60° ．
【分析】根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解．
【解答】解：∵分別以點A和點B為圓心，AB的長為半徑作弧，兩弧線相交于點C，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
故答案為：60°．
【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟記“等邊三角形的內(nèi)角均為60°”是解題的關鍵．
11．（2分）已知點A（a，3）與點B（2，b）關于x軸對稱，則a+b＝ ﹣1 ．
【分析】根據(jù)關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)．即點P（x，y）關于x軸的對稱點P′的坐標是（x，﹣y），進而得出a，b的值即可．
【解答】解：∵點A（a，3）與點B（2，b）關于x軸對稱，
∴a＝2，b＝﹣3，
則a+b＝2﹣3＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的坐標性質(zhì)，正確記憶關于坐標軸對稱的坐標性質(zhì)是解題關鍵．
12．（2分）如圖所示為兩個形狀、大小一樣的小長方形拼接而成的圖形．已知AB＝5，CD＝3，則小長方形的面積為 4 ．
【分析】設小長方形的長為x，寬為y，根據(jù)各邊之間的關系，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再將其代入xy中即可求出結論．
【解答】解：設小長方形的長為x，寬為y，
依題意得：，
解得：，
∴xy＝4×1＝4，
∴小長方形的面積為4．
故答案為：4．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
13．（2分）如圖所示，CE是△ABC的外角∠BCD的角平分線，且CE交AB的延長線于點E，若∠A＝40°，∠E＝18°，則∠ABC的度數(shù)為 76° ．
【分析】由三角形的外角性質(zhì)可求得∠DCE＝58°，再由角平分線的定義求得∠BCD＝116°，再次利用三角形的外角性質(zhì)即可求∠ABC的度數(shù)．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠E＝18°，∠DCE是△ACE的外角，
∴∠DCE＝∠A+∠E＝58°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCE＝116°，
∵∠BCD是△ABC的外角，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠A＝76°．
故答案為：76°．
【點評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關鍵是熟記三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．
14．（2分）如圖表示某個關于x的不等式的解集，若x＝m﹣2是該不等式的一個解，則m的取值范圍是 m＜﹣5 ．
【分析】由圖形得：x＞3m+8，根據(jù)x＝m﹣2是該不等式的一個解得出m﹣2＞3m+8，據(jù)此進一步求解即可．
【解答】解：由圖形得：x＞3m+8，
因為x＝m﹣2是x＞3m+8的一個解，
所以m﹣2＞3m+8，
所以m＜﹣5，
故答案為：m＜﹣5．
【點評】本題主要考查在數(shù)軸上表示不等式的解集、解一元一次不等式，嚴格遵循解不等式的基本步驟是解題的關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．
15．（2分）如圖，點D在∠AOB的平分線OC上，P為OB上的一點，∠DPO＝40°，點Q是射線OA上的一點，并且滿足DP＝DQ，則∠DQO的度數(shù)為 40°或140° ．
【分析】由“HL”可證Rt△DPN≌Rt△DQH，由全等三角形的性質(zhì)可求解．
【解答】解；如圖，過點D作DH⊥OA于H，DN⊥OB于N，
∵OD平分∠AOB，DH⊥OA，DN⊥OB，
∴DH＝DN，
當點Q在點H的右側(cè)時，
在Rt△DPN和Rt△DQH中，
，
∴Rt△DPN≌Rt△DQH（HL），
∴∠DPO＝∠DQO＝40°，
當點Q'在點H左側(cè)時，同理可求∠DQ'H＝40°，
∴∠DQ'O＝140°，
綜上所述：∠DQO的度數(shù)為40°或140°，
故答案為：40°或140°．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
16．（2分）將五個1，五個2，五個3，五個4，五個5共25個數(shù)填入一個5行5列的表格內(nèi)（每格填入一個數(shù)），使得同一行中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過2．每次填滿表后，考察每行中五個數(shù)之和，記這五個和的最小值為m．
（1）下表所示為符合題意的一種填表方式，則此表的m值等于 8 ；
（2）在所有的填表可能中，m的最大值為 10 ．
【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)即可求出答案；
（2）依據(jù)5個1分布的列數(shù)的不同情形進行討論，確定M的最大值．
【解答】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知第三行中五個數(shù)之和最小為8．
故答案為：8；
（2）若5個1分布在同一列，則m＝5；
若5個1分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，故2m≤5×1+5×3＝20，故m≤10；
若5個1分布在三列中，則由題意知這兩三中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，故3m≤5×1+5×2+5×3＝30，故m≤10；
若5個1分布在四列中，則其中某一列至少有一個數(shù)大于3，這與已知矛盾．
綜上所述，m≤10．
另一方面，如下表的例子說明m可以取到10．故m的最大值為10．
故答案為：10．
【點評】本題考查了有理數(shù)的加法，涉及分類討論的思想，以及合情推理的問題，屬于競賽題型．
三、解答題（本大題共12小題，共68分）
17．解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
【分析】首先去分母，然后去括號，移項合并，系數(shù)化為1，即可求得答案．注意系數(shù)化1時，因為系數(shù)是﹣1，所以不等號的方向要發(fā)生改變，在數(shù)軸上表示時：注意此題為空心點，方向向左．
【解答】解：去分母得：x﹣5+2＞2（x﹣3），
去括號得：x﹣5+2＞2x﹣6，
移項合并得：﹣x＞﹣3，
系數(shù)化1，得：x＜3．
∴原不等式的解集為：x＜3．
在數(shù)軸上為：
【點評】此題考查了一元一次不等式的解法．注意解不等式依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，特別是在系數(shù)化為1這一個過程中要注意不等號的方向的變化．去分母的過程中注意不能漏乘沒有分母的項．用數(shù)軸表示不等式的解集時：注意時實心點還是空心點，方向是向右還是向左．
18．解方程組：．
【分析】原式利用加減消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②×3得：10x＝30，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得：y＝﹣2，
則方程組的解為．
【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
19．解不等式組：．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解答】解：，
由①得x≤2，
由②得x＜3.5，
則不等式組的解集為x≤2．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
20．如圖，AB＝CD＝4，AD＝3，∠ACB＝∠E，∠A＝∠CDE，求DE的長．
【分析】由∠ACB＝∠E，∠A＝∠CDE，AB＝CD，根據(jù)全等三角形的判定定理“AAS”證明△ABC≌△DCE，則AC＝DE＝AD+CD＝3+4＝7．
【解答】解：在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS），
∴AC＝DE，
∵AD＝3，CD＝4，
∴AC＝AD+CD＝7，
∴DE＝7，
∴DE的長是7．
【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確地找到全等三角形的對應邊和對應角并且證明△ABC≌△DCE是解題的關鍵．
21．如圖，點M，N分別是∠AOB的邊OA，OB上的點．請你作出點P，使點P到點M和點N的距離相等，且到∠AOB兩邊的距離也相等（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
【分析】連接MN，分別作線段MN的垂直平分線和∠AOB的平分線，交點即為點P．
【解答】解：如圖，點P即為所求．
【點評】本題考查尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線和線段垂直平分線的作圖方法及性質(zhì)是解答本題的關鍵．
22．如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A、B在格點上．
（1）已知四邊形ABCD關于x軸對稱（其中A，B的對稱點分別是D，C），補全圖形并寫出點D坐標；
（2）P為x軸上一點，請在圖中畫出使△PAB的周長最小時的點P，并直接寫出此時點P的坐標．
【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A，B的對應點C，D即可；
（2）連接AC交x軸于點P，連接PB即可，點P即為所求．
【解答】解：（1）如圖，四邊形ABCD即為所求；
（2）如圖，點P即為所求．
∵A（﹣2，4），C（4，﹣1），
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+，
令y＝0，可得x＝，
∴P（，0）．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，勾股定理，軸對稱最短問題，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
23．如圖所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，AD＝CD，∠B＝3∠A．
（1）試求∠A的度數(shù)；
（2）求證：AB＝3BD．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠ACD，即可得出∠ACBD＝2∠A，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可求得∠A＝30°；
（2）作DE⊥AC于E，利用角平分線的性質(zhì)即可得出ED＝BD，然后含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AD＝2DE＝2BD，即可證得AB＝3BD．
【解答】（1）解：∵CD是∠ACB的角平分線，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠ACBD＝2∠A，
∵∠B＝3∠A，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝30°；
（2）證明：作DE⊥AC于E，
∵∠B＝3∠A＝90°，CD是∠ACB的角平分線，
∴DE＝DB，
∴∠A＝30°，
∴AD＝2DE，
∴AD＝2DB，
∴AB＝3BD．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關鍵．
24．已知關于x，y的二元一次方程x+y＝m，和都是該方程的解．
（1）求a的值；
（2）也是該方程的一個解，求b的值．
【分析】（1）根據(jù)解得定義，代入可得1+a+8＝m，2a+1＝m，進而求出a＝8；
（2）將a＝8代入求出二元一次方程x+y＝m的兩個解，進而確定m的值，代入求出b的值即可．
【解答】解：（1）∵和都是關于x，y的二元一次方程x+y＝m的解．
∴1+a+8＝m，2a+1＝m，
解得a＝8；
（2）當a＝8時，二元一次方程的解為和，
∴m＝x+y＝17，
又∵也是x+y＝17的解，
∴b+b＝17，
即b＝．
【點評】本題考查二元一次方程（組）的解，理解解的定義是正確解答的前提．
25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，AE，BE分別平分∠BAD，∠ABD．
（1）求∠AEB的度數(shù)；
（2）試判斷△BCE的形狀，并說明理由．
【分析】（1）先證明∠DAB+∠DBA＝90°，再由∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠DBA，得∠EAB+∠EBA＝（∠DAB+∠DBA）＝45°，則∠AEB＝135°；
（2）先證明△AEB≌△AEC，BE＝CE，∠AEB＝∠AEC＝135°，再求得∠BEC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，則△BCE是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵AE，BE分別平分∠BAD，∠ABD，
∴∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠DBA，
∴∠EAB+∠EBA＝（∠DAB+∠DBA）＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝135°，
∴∠AEB的度數(shù)是135°．
（2）△BCE是等腰直角三角形，
理由：由（1）得∠AEB＝135°，
在△AEB和△AEC中，
，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴BE＝CE，∠AEB＝∠AEC＝135°，
∴∠BEC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形．
【點評】此題重點考查三角形的內(nèi)角和等于180°、直角三角形的兩個銳角互余、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△AEB≌△AEC是解題的關鍵．
26．已知關于x、y的二元一次方程組（k為常數(shù)）．
（1）若該方程組的解x、y滿足3x﹣y＞4，求k的取值范圍；
（2）若該方程組的解x、y均為正整數(shù)，且k≤12，直接寫出該方程組的解．
【分析】（1）根據(jù)題意得到關于k的不等式，解不等式即可求得；
（2）解方程組用含有k的代數(shù)式表示出x和y，結合1＜k≤12即可求出k的值，進而求得方程組的解．
【解答】解：（1），
①+②得，3x﹣y＝k+3，
∵方程組的解x、y滿足3x﹣y＞4，
∴k+3＞4，
解得k＞1；
（2），
①×2+②得5x＝2k+3，
①﹣②×2得5y＝k﹣6，
解得x＝，y＝
∵方程組的解x、y均為正整數(shù)，且1＜k≤12，
∴k＝11，
∴方程組的解為．
【點評】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式，二元一次方程的解的應用，能靈活運用知識點求出k的值是解此題的關鍵．
27．如圖，四邊形ABCD中點B，D在直線l上，點A，C在直線l異側(cè)，AD＝AC，∠BAC＝∠BDC．過點A作AH⊥BD于點H．
（1）求證：∠BAH＝∠DAC；
（2）求證：BD＝BC+2BH；
（3）保持點A和點D位置不變，以直線l為x軸，過點A作直線l的垂線為y軸，若點A坐標為（0，4），點D坐標為（6，0）．若運動點B時，點C一直保持在直線l的下方，則點B的橫坐標b的取值范圍是 ﹣6＜b＜0 ．
【分析】（1）如圖1中，過點A作AJ⊥CD于點J，設AC交BD于點K．利用等角的余角相等證明∠BAH＝∠CAJ，可得結論；
（2）如圖1中，在HD上取一點L，使得HL＝HB．利用全等三角形的性質(zhì)證明BC＝LD，可得結論；
（3）判斷出兩種特殊位置的b的值，可得結論．
【解答】（1）證明：如圖1中，過點A作AJ⊥CD于點J，設AC交BD于點K．
∵∠BAC＝∠BDC，∠AKB＝∠CKD，
∴∠ABH＝∠ACJ，
∵AH⊥BD，AJ⊥CD，
∴∠AHB＝∠AJC＝90°，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，∠ACJ+∠CAJ＝90°，
∴∠BAH＝∠CAJ，
∵AC＝AD，AJ⊥CD，
∴∠CAJ＝∠DAJ，
∴∠BAH＝∠CAD；
（2）證明：如圖1中，在HD上取一點L，使得HL＝HB．
∵AH⊥BL，BH＝HL，
∴AB＝AL，
∴∠BAH＝∠LAH，
∵∠BAH＝∠CAD，
∴∠BAL＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠LAD，
∵AB＝AL，AC＝AD，
∴△BAC≌△LAD（SAS），
∴BC＝DL，
∵BD＝BL+DL，
∴BD＝2BH+BC；
（3）解：
∵A（0，4），D（6，0），
∴OA＝4，OD＝6，
當點C落在x軸的負半軸上時，此時B，C重合，B（﹣6，0），
當C，D重合時，B（0，0），
觀察圖象可知點B的橫坐標b的取值范圍是﹣6＜b＜0．
故答案為：﹣6＜b＜0．
【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會特殊位置解決問題，屬于中考?？碱}型．
28．平面直角坐標系xOy中，過點T（t，0）作垂直于x軸的直線l，若對于點P，先將其關于y軸對稱得到點P1，再將點P1關于直線l對稱得到點P2，若P2在y軸和l關于y軸的對稱直線l'之間（可以在y軸或者直線l'上），我們就稱點P為近t對稱點．
（1）在點（2，0），（﹣2，0）和（﹣，0）中，近1對稱點是 （﹣2，0）和（﹣，0） ；
（2）點A（a，0）是近2對稱點，求a的取值范圍；
（3）該坐標系所在平面上一條平行于x軸的線段長為5個單位，若該線段上所有點都是近t對稱點，直接寫出該線段中點橫坐標m的取值范圍 t＞0時，﹣3t≤m≤﹣2t﹣；t＜0時，﹣2t≤m≤﹣3t﹣ ；
（4）若存在底邊為4的等腰直角三角形上每一點既是近t對稱點又是近（t+1）對稱點，求t的取值范圍．
【分析】（1）設P（x，y），根據(jù)題意求出P2（2t+x，y），再分兩種情況討論：當t＞0時，﹣3t≤x≤﹣2t，當t＜0時，﹣2t≤x≤﹣t，由此可知當t＝1時，當﹣3≤x≤﹣2時，點P是近1對稱點，結合所給的點的橫坐標進行判斷即可；
（2）利用（1）的結論直接寫出結果即可；
（3）線段的左端點橫坐標為m﹣，線段的右端點橫坐標為m+，由（1）可知，當t＞0時，﹣3t≤m≤﹣2t﹣；當t＜0時，﹣2t≤m≤﹣3t﹣；
（4）設三角形近t對稱點經(jīng)過變換后，B橫坐標為a，C的橫坐標為a+4，三角形近t+1對稱點經(jīng)過變換后，B'橫坐標為a+2，C'的橫坐標為a+6，可得BC'＝6，再結合題意，當t＜0時，﹣（t+1）≥6，解得t≤﹣7，當t＞0時，﹣t≤﹣6，解得t≥6．
【解答】解：（1）設P（x，y），
∵點P1與P點關于y軸對稱，
∴點P1（﹣x，y），
∵直線x＝t，
∴點P2關于x＝t對稱的點P2（2t+x，y），
∴直線x＝t關于y軸對稱的直線為x＝﹣t，
∵P2在y軸和l關于y軸的對稱直線l'之間，
∴當t＞0時，﹣t≤2t+x≤0，解得﹣3t≤x≤﹣2t，
當t＜0時，0≤2t+x≤t，解得﹣2t≤x≤﹣t，
∵t＝1，
∴﹣3≤x≤﹣2時，點P是近1對稱點，
∴點（2，0），（﹣2，0）和（﹣，0）中，（﹣2，0）和（﹣，0）是近1對稱點，
故答案為：（﹣2，0）和（﹣，0）；
（2）∵點A（a，0）是近2對稱點，
由（1）可得﹣6≤a≤﹣4；
（3）∵線段長為5，線段中點橫坐標m，
∴線段的左端點橫坐標為m﹣，線段的右端點橫坐標為m+，
由（1）可知，當t＞0時，m﹣+2t≥﹣t，2t+m+≤0，
∴﹣3t≤m≤﹣2t﹣；
當t＜0時，2t+m﹣≥0，2t+m+≤﹣t，
∴﹣2t≤m≤﹣3t﹣；
綜上所述：t＞0時，﹣3t≤m≤﹣2t﹣；t＜0時，﹣2t≤m≤﹣3t﹣；
故答案為：t＞0時，﹣3t≤m≤﹣2t﹣；t＜0時，﹣2t≤m≤﹣3t﹣；
（4）∵等腰直角三角形的底邊為4，
設三角形近t對稱點經(jīng)過變換后，B橫坐標為a，C的橫坐標為a+4，
三角形近t+1對稱點經(jīng)過變換后，B'橫坐標為a+2，C'的橫坐標為a+6，
∴BC'＝6，
∵等腰直角三角形上每一點既是近t對稱點又是近（t+1）對稱點，
∴如圖1，當t＜0時，﹣（t+1）≥6，解得t≤﹣7，
如圖2，當t＞0時，﹣t≤﹣6，解得t≥6，
綜上所述：t≤﹣7或t≥6時，底邊為4的等腰直角三角形上每一點既是近t對稱點又是近（t+1）對稱點．
【點評】本題考查幾何變換的綜合應用，弄清定義，根據(jù)定義探索出對應點的橫坐標的一般規(guī)律，數(shù)形結合，分類討論是解題的關鍵．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/7/10 12:21:10；用戶：笑涵數(shù)學；郵箱：15699920825；學號：369061114
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