1．（2分）如圖，點A、B、C為⊙O上的點，∠AOB＝60°，則∠ACB＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
2．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝2x2向上平移3個單位長度得到的拋物線為（ ）
A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2﹣3D．y＝2x2+3
3．（2分）將一元二次方程x2﹣6x+5＝0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+a）2＝b的形式，下列結(jié)果中正確的是（ ）
A．（x+3）2＝1B．（x﹣6）2＝1C．（x﹣3）2＝4D．（x﹣6）2＝4
4．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的示意圖如圖所示，下列說法中正確的是（ ）
A．a(chǎn)＜0B．b＜0C．c＞0D．Δ≥0
5．（2分）下列所給方程中，沒有實數(shù)根的是（ ）
A．x2+2x＝0B．5x2﹣4x﹣2＝0C．3x2﹣4x+1＝0D．4x2﹣3x+2＝0
6．（2分）如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，若⊙O的半徑為4，則正方形ABCD的邊長為（ ）
A．4B．8C．D．
7．（2分）下列說法中，正確的是（ ）
A．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是必然事件
B．事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某種彩票中獎的概率是1%，因此買100張該種彩票就一定會中獎
D．拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率可以用列舉法求得
8．（2分）如圖，點P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動點，AB＝2．設(shè)弦AP的長為x，△APO的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）在半徑為3cm的圓中，150°的圓心角所對弧的弧長是 cm．
10．（2分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，若AB＝10，CD＝8，則BH的長度為 ．
11．（2分）若點A（﹣1，y1），B（3，y2）在拋物線y＝x2上，則y1，y2的大小關(guān)系為：y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
12．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一個根為1，則m的值為 ．
13．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點，點C為⊙O上一點，若∠ACB＝70°，則∠P的度數(shù)為 ．
14．（2分）據(jù)了解，2022年9月，某展覽中心參觀人數(shù)為12.5萬人，比7月份的參觀人數(shù)增加了2.5萬人，設(shè)參觀人數(shù)的月平均增長率為x，則可列方程為 ．
15．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如下表：
直接寫出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo) ．
16．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為A（2，m），且經(jīng)過點B（5，0），其部分圖象如圖所示，對于此拋物線有如下四個結(jié)論：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④m+9a＝0；⑤若此拋物線經(jīng)過點C（t，n）．則t﹣4一定是方程ax2+bx+c＝n的一個根．其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題（總分68）
17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．下面是小石設(shè)計的“過三角形一個頂點作其對邊的平行線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：如圖1，△ABC．
求作：直線BD，使得BD∥AC．
作法：如圖2，
①分別作線段AC，BC的垂直平分線l1，l2，兩直線交于點O；
②以點O為圓心，OA長為半徑作圓；
③以點A為圓心，BC長為半徑作弧，交于點D；
④作直線BD．
所以直線BD就是所求作的直線．
根據(jù)小石設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：連接AD，
∵點A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝ ．
∴∠DBA＝∠CAB（ ）（填推理的依據(jù)）．
∴BD∥AC．
19．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求此函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)；
（2）畫出此函數(shù)的圖象（不需要列表）；
（3）若點A（0，y1）和B（m，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．
20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若此方程恰有一個根小于﹣2，求k的取值范圍．
21．有甲、乙兩個不透明的口袋，甲口袋中裝有兩個相同的球，它們分別寫有數(shù)﹣2，2；乙口袋中裝有三個相同的球，它們分別寫有數(shù)﹣5，m，5．小明和小剛進(jìn)行摸球游戲，規(guī)則如下：先從甲口袋中隨機(jī)取出一個球，其上的數(shù)記為a；再從乙口袋中隨機(jī)取出一個球，其上的數(shù)記為b．若a＜b，小明勝；若a＝b，為平局；若a＞b，小剛勝．
（1）若m＝﹣2，用樹狀圖或列表法分別求出小明、小剛獲勝的概率；
（2）當(dāng)m為何值時，小明和小剛獲勝的概率相同？直接寫出一個符合條件的整數(shù)m的值．
22．如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過格點A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若該圓弧所在圓的圓心為D點，請你利用網(wǎng)格圖回答下列問題：
（1）圓心D的坐標(biāo)為 ；
（2）若扇形ADC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐底面圓的半徑長（結(jié)果保留根號）．
23．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若BC＝16，⊙O的半徑為10．求△ABC的面積．
24．“母親節(jié)”前夕，我市某校學(xué)生積極參與“關(guān)愛貧困母親”的活動，他們購進(jìn)了一批單價為20元的“孝文化衫”在課余時間進(jìn)行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親，在義賣的過程中發(fā)現(xiàn)，這種文化衫每天的銷售件數(shù)y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：y＝﹣3x+108（20＜x＜36）．如果義賣這種文化衫每天的利潤為p（元），
（1）求出p與x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
25．如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是的中點，DE⊥BC交BC的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的長．
26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝a（x﹣h）2﹣8a的頂點為A，0＜h＜．
（1）若a＝1，
①點A到x軸的距離為 ；
②求此拋物線與x軸的兩個交點之間的距離；
（2）已知點A到x軸的距離為4，此拋物線與直線y＝﹣2x+1的兩個交點分別為B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若點D（xD，yD）在此拋物線上，當(dāng)x1＜xD＜x2時，yD總滿足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范圍．
27．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AB的中點，E為邊AC上一動點（不與點A，C重合），連接DE，點A關(guān)于直線BC的對稱點為F，過點F作FH⊥DE于點H，交射線BC于點G．
（1）如圖1，當(dāng)AE＜EC時，寫出∠ADE與∠BFG的大小關(guān)系；
（2）如圖1，當(dāng)AE＜EC時，用等式表示線段BG與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2．當(dāng)AE＞EC時，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段DE，CG，AC之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．
28．對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形G和點P給出如下定義；Q為圖形G上任意一點，若P，Q兩點間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，則稱點P為圖形G的“k分點”．
已知點N（3，0），A（1，0），B（0，3），C（1，﹣1）．
（1）①在點A，B，C中，線段ON的“分點”是 ；
②點D（a，0），若點C為線段OD的“二分點”，求a的值；
（2）以點O為圓心，r為半徑畫圖，若線段AN上存在⊙O的“二分點”，直接寫出r的取值范圍．
2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)匯文中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共16分，每題2分）第1?8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．
1．（2分）如圖，點A、B、C為⊙O上的點，∠AOB＝60°，則∠ACB＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【分析】根據(jù)圓周角定理即可解決問題．
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠AOB，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝30°，
故選：B．
【點評】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
2．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝2x2向上平移3個單位長度得到的拋物線為（ ）
A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2﹣3D．y＝2x2+3
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行求解．
【解答】解：拋物線y＝2x2向上平移3個單位長度得到的拋物線為y＝2x2+3，
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
3．（2分）將一元二次方程x2﹣6x+5＝0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+a）2＝b的形式，下列結(jié)果中正確的是（ ）
A．（x+3）2＝1B．（x﹣6）2＝1C．（x﹣3）2＝4D．（x﹣6）2＝4
【分析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上9，然后把方程作邊寫成完全平方形式即可．
【解答】解：移項得x2﹣6x＝﹣5，
配方得x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4．
故選：C．
【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
4．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的示意圖如圖所示，下列說法中正確的是（ ）
A．a(chǎn)＜0B．b＜0C．c＞0D．Δ≥0
【分析】根據(jù)圖象可知對稱軸大于0，開口向下，與y軸交于負(fù)半軸，與x軸無交點，據(jù)此即可求解．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，
∴﹣＞0，即b＞0，
∵拋物線與y軸交點在x軸下方，
∴c＜0，
∵拋物線與x軸無交點，
∴Δ＜0，
故選：A．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）下列所給方程中，沒有實數(shù)根的是（ ）
A．x2+2x＝0B．5x2﹣4x﹣2＝0C．3x2﹣4x+1＝0D．4x2﹣3x+2＝0
【分析】求出各選項方程根的判別式的值，判斷出正負(fù)即可確定一元二次方程是否有實數(shù)根．
【解答】解：A．x2+2x＝0，
∵b2﹣4ac＝4＞0，
∴方程有實數(shù)根，故本選項不符合題意；
B.5x2﹣4x﹣2＝0，
∵b2﹣4ac＝16+40＝56＞0，
∴方程有實數(shù)根，故本選項不符合題意；
C.3x2﹣4x+1＝0，
∵b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，
∴方程有實數(shù)根，故本選項不符合題意；
D.4x2﹣3x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝9﹣32＝﹣23＜0，
∴方程沒有實數(shù)根，故本選項符合題意；
故選：D．
【點評】本題主要考查了根的判別式，熟記“當(dāng)Δ＜0時，一元二次方程沒有實數(shù)根”是解本題的關(guān)鍵．
6．（2分）如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，若⊙O的半徑為4，則正方形ABCD的邊長為（ ）
A．4B．8C．D．
【分析】連接BD．由題意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接BD．
由題意，△BCD是等腰直角三角形，
∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，
∴BC＝BD＝4．
故選：D．
【點評】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
7．（2分）下列說法中，正確的是（ ）
A．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是必然事件
B．事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某種彩票中獎的概率是1%，因此買100張該種彩票就一定會中獎
D．拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率可以用列舉法求得
【分析】根據(jù)必然事件，隨機(jī)事件，不可能事件的特點，以及列表法與樹狀圖法逐一判斷即可．
【解答】解：A．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是隨機(jī)事件，故A不符合題意；
B．事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1，故B符合題意；
C．某種彩票中獎的概率是1%，因此買100張該種彩票就可能會中獎，故C不符合題意；
D．拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率不可以用列舉法求得，故D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了概率的意義，隨機(jī)事件，概率公式，列表法與樹狀圖法，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．
8．（2分）如圖，點P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動點，AB＝2．設(shè)弦AP的長為x，△APO的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】作OC⊥AP，根據(jù)垂徑定理得AC＝AP＝x，再根據(jù)勾股定理可計算出OC＝，然后根據(jù)三角形面積公式得到y(tǒng)＝x?（0≤x≤2），再根據(jù)解析式對四個圖形進(jìn)行判斷．
【解答】解：作OC⊥AP，如圖，則AC＝AP＝x，
在Rt△AOC中，OA＝1，OC＝＝＝，
所以y＝OC?AP＝x?（0≤x≤2），
所以y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象為A選項．
故選：A．
排除法：
很顯然，并非二次函數(shù)，排除B選項；
采用特殊位置法；
當(dāng)P點與A點重合時，此時AP＝x＝0，S△PAO＝0；
當(dāng)P點與B點重合時，此時AP＝x＝2，S△PAO＝0；
當(dāng)AP＝x＝1時，此時△APO為等邊三角形，S△PAO＝；
排除B、C、D選項，
故選：A．
【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：先根據(jù)幾何性質(zhì)得到與動點有關(guān)的兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)解析式和函數(shù)性質(zhì)畫出其函數(shù)圖象，注意自變量的取值范圍．
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）在半徑為3cm的圓中，150°的圓心角所對弧的弧長是 π cm．
【分析】根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可求解．
【解答】解：半徑為3cm的圓中，150°的圓心角所對弧的弧長是．
故答案為：．
【點評】本題考查了求弧長，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
10．（2分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，若AB＝10，CD＝8，則BH的長度為 2 ．
【分析】根據(jù)垂徑定理得到CH＝4，再根據(jù)勾股定理計算出OH＝3，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：連接OC，
∵CD⊥AB，CD＝8，
∴CH＝DH＝CD＝4，∠OHC＝90°，
∵直徑AB＝10，
∴OB＝OC＝5，
在Rt△OCH中，OH＝＝＝3，
∴BH＝OB﹣OH＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查了垂徑定理與勾股定理，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理求出OH的長是解題的關(guān)鍵．
11．（2分）若點A（﹣1，y1），B（3，y2）在拋物線y＝x2上，則y1，y2的大小關(guān)系為：y1 ＜ y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】由拋物線開口向上可得距離對稱軸越遠(yuǎn)的點y值越大，從而求解．
【解答】解：由y＝x2可得拋物線開口向上，對稱軸為y軸，
∵|﹣1|＜|3|，
∴y1＜y2，
故答案為：＜．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．
12．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一個根為1，則m的值為 ﹣5 ．
【分析】把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，然后解關(guān)于m的方程．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，
解得m＝﹣5．
故答案為：﹣5．
【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
13．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點，點C為⊙O上一點，若∠ACB＝70°，則∠P的度數(shù)為 40° ．
【分析】連接OA、OB，先根據(jù)圓周角定理求出∠AOB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和可計算出∠P的度數(shù)．
【解答】解：連接OA、OB，如圖，
∵∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
∵PA，PB是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°，
故答案為：40°．
【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理．
14．（2分）據(jù)了解，2022年9月，某展覽中心參觀人數(shù)為12.5萬人，比7月份的參觀人數(shù)增加了2.5萬人，設(shè)參觀人數(shù)的月平均增長率為x，則可列方程為 （12.5﹣2.5）（1+x）2＝12.5 ．
【分析】利用某展覽中心2022年9月參觀人數(shù)＝某展覽中心2022年7月參觀人數(shù)×（1+參觀人數(shù)的月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得（12.5﹣2.5）（1+x）2＝12.5，
故答案為：（12.5﹣2.5）（1+x）2＝12.5．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如下表：
直接寫出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo) （﹣1，0），（3，0） ．
【分析】利用表中數(shù)據(jù)和拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x＝1，再利用拋物線的對稱性寫出點（3，0）關(guān)于直線x＝1的對稱點即可．
【解答】解：∵拋物線經(jīng)過點（0，﹣3），（2，﹣3），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∵拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0），
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（﹣1，0），
即該二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0）．
故答案為：（﹣1，0），（3，0）．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸的交點為二次函數(shù)圖象的上的對稱點．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
16．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為A（2，m），且經(jīng)過點B（5，0），其部分圖象如圖所示，對于此拋物線有如下四個結(jié)論：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④m+9a＝0；⑤若此拋物線經(jīng)過點C（t，n）．則t﹣4一定是方程ax2+bx+c＝n的一個根．其中所有正確結(jié)論的序號是 ③④ ．
【分析】由拋物線開口和拋物線與y軸交點，對稱軸，判斷①，由拋物線的對稱性及經(jīng)過點B（5，0）可判斷②，由對稱軸為x＝2，得出b＝﹣4a，即可判斷③，由拋物線對稱軸為直線x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，從而判斷④，點C對稱點橫坐標(biāo)為4﹣t可判斷⑤．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵
∴b＜0，
∵拋物線與y軸交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①錯誤．
∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為A（2，m），
∴對稱軸為x＝2
∵拋物線過點B（5，0），
∴由對稱性可得拋物線經(jīng)過點（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，②錯誤，
∵，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，故③正確
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a
∵A（2，m）為拋物線頂點，
∴4a+2b+c＝m，
∴4a﹣8a﹣5a＝m，即m+9a＝0，④正確，
∵點C（t，n）在拋物線上，
∴點C關(guān)于對稱軸對稱點（4﹣t，n）在拋物線上，
∴4﹣t為ax2+bx+c＝n的一個根，⑤錯誤．
故答案為：③④．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
三、解答題（總分68）
17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0，
則x+1＝0或x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或x＝5．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵
18．下面是小石設(shè)計的“過三角形一個頂點作其對邊的平行線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：如圖1，△ABC．
求作：直線BD，使得BD∥AC．
作法：如圖2，
①分別作線段AC，BC的垂直平分線l1，l2，兩直線交于點O；
②以點O為圓心，OA長為半徑作圓；
③以點A為圓心，BC長為半徑作弧，交于點D；
④作直線BD．
所以直線BD就是所求作的直線．
根據(jù)小石設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：連接AD，
∵點A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝ ．
∴∠DBA＝∠CAB（ 在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等 ）（填推理的依據(jù)）．
∴BD∥AC．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．
（2）根據(jù)圓周角定理和平行線的判定證明即可．
【解答】解：（1）如圖，即為補(bǔ)全的圖形；
（2）證明：連接AD，
∵點A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝．
∴∠DBA＝∠CAB（在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等）．
∴BD∥AC．
故答案為：．在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等．
【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
19．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求此函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)；
（2）畫出此函數(shù)的圖象（不需要列表）；
（3）若點A（0，y1）和B（m，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）把拋物線解析式化為頂點式求解即可；
（2）先列表，然后描點、連線即可；
（3）由函數(shù)圖象過點（0，﹣3）和（2，﹣3），根據(jù)函數(shù)圖象求解即可．
【解答】解：（1）∵拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴對稱軸為直線x＝1，頂點坐標(biāo)為（1，﹣4）；
（2）列表得：
函數(shù)圖象如下圖所示：
（3）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)y1＜y2時，m＜0或m＞2．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，畫二次函數(shù)圖象，圖象法求自變量的取值范圍，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若此方程恰有一個根小于﹣2，求k的取值范圍．
【分析】（1）計算一元二次方程根的判別式，根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可得證；
（2）根據(jù)公式法求得方程的解，得出x1＝2，x2＝k+3，根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可求解．
【解答】（1）證明：關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0，
∴a＝1，b＝﹣（k+5），c＝6+2k，
∵b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4×1×（6+2k）
＝k2+10k+25﹣24﹣8k
＝k2+2k+1
＝（k+1）2≥0，
∴此方程總有兩個實數(shù)根；
（2）解：x2﹣（k+5）x+6+2k＝0，
∵Δ＝（k+1）2，
∴，
解得x1＝2，x2＝k+3，
∵此方程恰有一個根小于﹣2，
∴k+3＜﹣2，
解得k＜﹣5．
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
21．有甲、乙兩個不透明的口袋，甲口袋中裝有兩個相同的球，它們分別寫有數(shù)﹣2，2；乙口袋中裝有三個相同的球，它們分別寫有數(shù)﹣5，m，5．小明和小剛進(jìn)行摸球游戲，規(guī)則如下：先從甲口袋中隨機(jī)取出一個球，其上的數(shù)記為a；再從乙口袋中隨機(jī)取出一個球，其上的數(shù)記為b．若a＜b，小明勝；若a＝b，為平局；若a＞b，小剛勝．
（1）若m＝﹣2，用樹狀圖或列表法分別求出小明、小剛獲勝的概率；
（2）當(dāng)m為何值時，小明和小剛獲勝的概率相同？直接寫出一個符合條件的整數(shù)m的值．
【分析】（1）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中a＜b的結(jié)果有2種，a＞b的結(jié)果有3種，再由概率公式分別求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中a＜b的結(jié)果有3種，a＞b的結(jié)果有3種，再由概率公式得小明獲勝的概率＝小剛獲勝的概率即可．
【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中a＜b的結(jié)果有2種，a＞b的結(jié)果有3種，
∴小明獲勝的概率為＝，小剛獲勝的概率為＝；
（2）m為0時，小明和小剛獲勝的概率相同，理由如下：
畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中a＜b的結(jié)果有3種，a＞b的結(jié)果有3種，
∴小明獲勝的概率＝小剛獲勝的概率＝＝．
【點評】此題考查了樹狀圖法求概率．正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22．如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過格點A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若該圓弧所在圓的圓心為D點，請你利用網(wǎng)格圖回答下列問題：
（1）圓心D的坐標(biāo)為 （﹣2，0） ；
（2）若扇形ADC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐底面圓的半徑長（結(jié)果保留根號）．
【分析】（1）分別作AB、BC的垂直平分線，兩直線交于點D，則點D即為該圓弧所在圓的圓心，可知點D的坐標(biāo)為（﹣2，0）．
（2）連接AC、AD和CD，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠CDA＝90°，根據(jù)弧長公式和圓的周長求出答案即可．
【解答】解：（1）分別作線段AB和線段BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點，就是圓心D，如圖，
D點正好在x軸上，D點的坐標(biāo)是（﹣2，0），
故答案為：（﹣2，0）；
（2）連接AC、AD、CD，
⊙D的半徑長＝，
∵AD2+CD2＝20+20＝40，AC2＝40，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°．
設(shè)圓錐的底面圓的半徑長為r，
則，
解得：，
所以該圓錐底面圓的半徑長為．
【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，垂徑定理，圓錐的計算，勾股定理和勾股定理的逆定理等知識點，能求出D點的坐標(biāo)和求出∠CDA＝90°是解此題的關(guān)鍵．
23．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若BC＝16，⊙O的半徑為10．求△ABC的面積．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)等弧所對的弦相等，即可證明；
（2）連接OB，勾股定理求得OD，繼而得出AD，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計算即可求解．
【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，
∴，
∴AB＝AC；
（2）解：連接OB，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝8，
在Rt△OBD中，BO＝10，BD＝8，
∴OD＝＝6，
∴AD＝AO+OD＝10+6＝16，
∴S△ABC＝BC?AD＝×16×16＝128．
【點評】本題考查了垂徑定理，弧與弦的關(guān)系，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
24．“母親節(jié)”前夕，我市某校學(xué)生積極參與“關(guān)愛貧困母親”的活動，他們購進(jìn)了一批單價為20元的“孝文化衫”在課余時間進(jìn)行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親，在義賣的過程中發(fā)現(xiàn)，這種文化衫每天的銷售件數(shù)y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：y＝﹣3x+108（20＜x＜36）．如果義賣這種文化衫每天的利潤為p（元），
（1）求出p與x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【分析】（1）根據(jù)題意得出每天獲得的利潤p＝（﹣3x+108）（x﹣20）；
（2）對（1）中所求式子進(jìn)行變形，p＝﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天獲得的利潤p最大時的銷售價格．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：
p＝（﹣3x+108）（x﹣20）
＝﹣3x2+168x﹣2160．
（2）p＝﹣3x2+168x﹣2160＝﹣3（x﹣28）2+192．
∵a＝﹣3＜0，
∴當(dāng)x＝28時，利潤最大＝192元；
答：當(dāng)銷售單價定為28元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是192元．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用的知識點；解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及最值得求法，此題難度不大．
25．如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是的中點，DE⊥BC交BC的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的長．
【分析】（1）要證明DE是⊙O的切線，所以連接OD，求出∠ODE＝90°即可，根據(jù)已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要證明OD∥BE即可解答；
（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到過點D作DF⊥AB，垂足為F，進(jìn)而證明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易證△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后進(jìn)行計算即可解答．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∵D是的中點，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：過點D作DF⊥AB，垂足為F，
由（1）得：∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
∵DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DF＝DE，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠A+∠DCB＝180°，
∵∠DCB+∠DCE＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠DFA＝∠DEC＝90°，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF＝EC，
∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，
∴△BDF≌△BDE（AAS），
∴BF＝BE，
設(shè)AF＝EC＝x，則BE＝BF＝8+x，
∵AB＝10，
∴AF+BF＝10，
∴x+8+x＝10，
∴x＝1，
∴BF＝9，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴BD2＝BF?BA，
∴BD2＝90，
∴BD＝3．
【點評】本題考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝a（x﹣h）2﹣8a的頂點為A，0＜h＜．
（1）若a＝1，
①點A到x軸的距離為 8 ；
②求此拋物線與x軸的兩個交點之間的距離；
（2）已知點A到x軸的距離為4，此拋物線與直線y＝﹣2x+1的兩個交點分別為B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若點D（xD，yD）在此拋物線上，當(dāng)x1＜xD＜x2時，yD總滿足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范圍．
【分析】（1）①把a(bǔ)＝1代入函數(shù)解析式求出頂點坐標(biāo)，進(jìn)而求解．②令y＝0，求出x1與x2，進(jìn)而求解．
（2）由當(dāng)x1＜xD＜x2時，yD總滿足y2＜yD＜y1可得當(dāng)x1＜x＜x2時，y隨x增大而減小，從而可得點A與點C重合或點A在點C右側(cè)，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）①把a(bǔ)＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，
∴拋物線頂點坐標(biāo)為（h，﹣8），
∴點A到x軸的距離為|﹣8|＝8，
故答案為：8．
②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，
解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，
∵x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4，
∴拋物線與x軸的兩個交點之間的距離為4．
（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，
∴點A坐標(biāo)為（h，﹣8a），
∴|﹣8a|＝4，
解得a＝或a＝﹣，
當(dāng)a＝時，如圖，當(dāng)拋物線開口向上，
∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，
∴點A坐標(biāo)為（h，﹣4），
把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，
當(dāng)﹣2h+1≤﹣4時，解得h≥，
∵0＜h＜，
∴≤h＜．
當(dāng)a＝﹣時，y＝﹣（x﹣h）2+4，
令﹣2x+1＝﹣（x﹣h）2+4，
整理得x2﹣（2h+4）x+h2﹣6＝0，
∴Δ＝（﹣2h﹣4）2﹣4（h2﹣6）＞0，
整理得h＜﹣，與題干不符，舍去；
綜上，h的取值范圍為≤h＜．
【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合求解．
27．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AB的中點，E為邊AC上一動點（不與點A，C重合），連接DE，點A關(guān)于直線BC的對稱點為F，過點F作FH⊥DE于點H，交射線BC于點G．
（1）如圖1，當(dāng)AE＜EC時，寫出∠ADE與∠BFG的大小關(guān)系；
（2）如圖1，當(dāng)AE＜EC時，用等式表示線段BG與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2．當(dāng)AE＞EC時，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段DE，CG，AC之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．
【分析】（1）在EC上截取EM＝AE，可證明得∠ADE＝∠F，進(jìn)而證明△ABM≌△BFG，即可得出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得AM＝BG，即可得出結(jié)論；
（3）由（1）可知，△ABM≌△BFG，得出BG＝AM，再證CM＝CG，由三角形中位線定理得BM＝2DE，然后在RtBCM中，由勾股定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∠ADE＝∠BFG，理由如下：
如圖1，在AC上截取EM＝AE，連接BM，
∵FH⊥DE，
∴∠FHE＝∠GHE＝90°，
∵∠ACB＝∠ECG＝90°，
在四邊形BDHF中，∠ABC+∠DHF＝180°，
∴∠F+∠BDH＝180°，
∵∠DEC+∠DEA＝180°，
∴∠DEA＝∠HGC，
∵AD＝DB，AE＝EM，
∴DE是△ABM的中位線，
∴DE∥BM，
∴∠ABM＝∠ADE，
∴∠ABM＝∠F，
在△ABM和△BFG中，
，
∴△ABM≌△BFG（ASA），
∴∠ABM＝∠BFG，
∴∠ADE＝∠BFG；
（2）由（1）可知，EM＝AE，△ABM≌△BFG，
∴AM＝BG，
∵AM＝2AE，
∴BG＝2AE；
（3）補(bǔ)全圖形如圖2所示，
延長AC至M，使EM＝AE，連接BM，
∵AD＝BD，
∴DE是△ABM的中位線，
∴BM＝2DE，
由（1）知：△ABM≌△BFG（ASA），
∴AM＝BG，
∴AC+CM＝BC+CG，
∵AC＝BC，
∴CM＝CG，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC2+CM2＝BM2，
∴AC2+CG2＝（2DE）2＝4DE2．
【點評】本題是幾何變換綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)以及勾股定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
28．對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形G和點P給出如下定義；Q為圖形G上任意一點，若P，Q兩點間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，則稱點P為圖形G的“k分點”．
已知點N（3，0），A（1，0），B（0，3），C（1，﹣1）．
（1）①在點A，B，C中，線段ON的“分點”是 點B ；
②點D（a，0），若點C為線段OD的“二分點”，求a的值；
（2）以點O為圓心，r為半徑畫圖，若線段AN上存在⊙O的“二分點”，直接寫出r的取值范圍．
【分析】（1）①分別求出點A、B、C到線段ON的最小值和最大值，看是否滿足“分點”定義即可，
②對a的取值分情況討論：0＜a≤1，1＜a≤2，a＞2和a＜0，根據(jù)“二分點”的定義可求解，
（2）設(shè)線段AN上存在⊙O的“二分點”為M（m，0）（1≤m≤3）．對r的取值分情況討論0＜r≤1，1＜r＜3且m＜r，1＜r＜3且m＞r，r≥3，根據(jù)二分點的定義可求解．
【解答】（1）解：①如圖，
∵點A在ON上，故最小值為0，不符合題意，
點B到ON的最小值為OB＝3，最大值為，
∴點B是線段ON的“分點”，
點C到ON的最小值為1，最大值為
∴點C不是線段ON的“分點”，
故答案為：點B；
②當(dāng)0＜a≤1時，點C到OD的最小值為，
點C到OD的最大值為，
∵點C為線段OD的“二分點”，
∴，
即2a2﹣4a+3＝0，
∵Δ＜0，
故無解，舍去；
當(dāng)1＜a≤2時，點C到OD的最小值為1，
點C到OD的最大值為，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，
當(dāng)a＞2時，點C到OD的最小值為1，
點C到OD的最大值為，
∵點C為線段OD的“二分點”，
∴，（舍去），
當(dāng)a＜0時，點C到OD的最小值為，
點C到OD的最大值為，
∵點C為線段OD的“二分點”，
同0＜a≤1時，無解，舍去；
綜上，．
（2）如圖所示，設(shè)線段AN上存在⊙O的“二分點”為M（m，0）（1≤m≤3），
當(dāng)0＜r≤1時，最小值為：m﹣r，最大值為：m+r，
∴2（m﹣r）＝m+r，即，
∵1≤m≤3，
∴，
當(dāng)1＜r＜3且m＜r時，最小值為：r﹣m，最大值為r+m，
∴2（r﹣m）＝r+m，即r＝3m，
∵1≤m≤3，
∴3≤r≤9，
∵1＜r＜3，
∴r不存在，
當(dāng)1＜r＜3且m＞r時，最小值為：m﹣r，最大值為：m+r，
∴2（m﹣r）＝r+m，即，
∴，
∵1＜r＜3，
∴r不存在．
當(dāng)r≥3時，最小值為：r﹣m，最大值為：m+r，
∴2（r﹣m）＝r+m，即r＝3m，
∴3≤r≤9．
綜上所述，r的取值范圍為或3≤r≤9．
【點評】本題考查坐標(biāo)上的兩點距離，勾股定理，點到圓的距離．根據(jù)題目所給條件，掌握“k分點”的定義是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/11 11:36:52；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111x
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