1．（3分）冬季奧林匹克運動會是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一次，第24屆冬奧會將于2022年在北京和張家口舉辦．下列四個圖分別是第24屆冬奧會圖標中的一部分，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在平面直角坐標系中，點P（3，﹣2）關于y軸對稱的點的坐標是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（3，3）
3．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a2?a3＝a6B．2a2+3a2＝5a4
C．（2a2）3＝8a6D．2ab2?3ab2＝6ab2
4．（3分）如圖，已知AB＝DC，下列條件中，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠ACB＝∠DBCC．∠ABC＝∠DCBD．∠A＝∠D＝90°
5．（3分）在下列各式中，能運用平方差公式計算的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）B．（a﹣1）（﹣a+1）
C．（2a﹣b）（a+2b）D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）
6．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，連接BE，則∠CBE的度數為（ ）
A．30°B．40°C．70°D．80°
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若BC＝10，點D到AB的距離為4，則DB的長為（ ）
A．8B．6C．5D．4
8．（3分）如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D作DE⊥BC于點E，且CE＝1.5，則AB的長為（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
9．（3分）如圖，△ABC的周長為24，BC＝9，BD、CD分別平分∠ABC，∠ACB過點D作直線平行于BC，分別交AB、AC于E、F，則△AEF的周長為（ ）
A．18B．15C．14D．9
10．（3分）如圖，∠AOB＝α，點P是∠AOB內的一定點，點M、N分別在OA、OB上移動，當△PMN的周長最小時，∠MPN的值為（ ）
A．90°+αB．90°C．180°﹣αD．180°﹣2α
二、填空題（共8小題，每小題2分，共16分）
11．（2分）計算：8a2?（﹣a3）＝ ．
12．（2分）如圖，把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的工具（卡鉗），在圖中，要測量工件內槽寬AB，只要測量A′B′的長度即可，該做法的依據是 ．
13．（2分）等腰三角形的一個外角是100°，則它的一個底角是 ．
14．（2分）計算：32020×（）2021＝ ．
15．（2分）如圖，△ADB≌△ECB，且點A的對應點是點E，點D的對應點是點C，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，則∠D的度數為 ．
16．（2分）如圖，在△ABC中，若AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠BDC＝ ．
17．（2分）規(guī)定a*b＝2a×2b，如2*3＝22×23＝25＝32．若2*（x+1）＝16，則x的值為 ．
18．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，2），B（0，4），點C在坐標軸上，且△ABC是等腰三角形，請寫出一個滿足條件的點C的坐標 ；滿足條件的點C一共有 個．
三、解答題（共9小題，19題12分，20題4分，21-25題，每小題12分，26題6分，27題7分，共54分）
19．（12分）計算：
（1）（x+2y）（x﹣2y）；
（2）（3a﹣1）2；
（3）（a﹣3）（a+4）+2a（a﹣1）．
20．（4分）已知x2﹣x+2＝0，求代數式（x﹣2）2+x（x+3）﹣（x+1）（x﹣1）的值．
21．（5分）如圖，點B，E，C，F在一條直線上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求證：∠A＝∠D．
22．（5分）下面是小芳同學設計的“過直線外一點作這條直線垂線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，直線l及直線l外一點P．
求作：直線l的垂線，使它經過點P．
作法：如圖2．
①以P為圓心，大于P到直線l的距離為半徑作弧，交直線l于A，B兩點；
②連接PA和PB；
③作∠APB的平分線PQ，交直線l于點Q．
④反向延長射線PQ，直線PQ就是所求的直線．
根據小芳設計的尺規(guī)作圖過程，解答下列問題：
（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖2（保留作圖痕跡）．
（2）補全下面證明過程：
證明：∵PA＝ ，PQ平分∠APB．
∴PQ⊥AB（ ）（填推理依據）
即PQ⊥l．
23．（5分）如圖，△ABC中，AB＝AC，延長CB至點D，延長BC至點E，使CE＝BD，連接AD，AE．
（1）求證：AD＝AE；
（2）若AB＝BC＝BD，求∠DAE的度數．
24．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）在圖中畫出△ABC關于y軸對稱的△A′B′C′；
（2）點P是x軸上一動點，當PB+PC的值最小時，畫出點P的位置，此時點P的坐標為 ．
25．（5分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且C、E、D三點共線．
（1）求證：△ADB≌△AEC；
（2）過點A作AF⊥CD于F，依題意補全圖形并證明BD+DF＝CF．
26．（6分）配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．
例如，把二次三項式x2﹣2x+3進行配方．
解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2．
我們定義：一個整數能表示成a2+b2（a，b是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”．理由：因為5＝22+12.再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整數），所以M也是“完美數”．
解決問題：
（1）請你再寫一個小于10的“完美數” ；并判斷40是否為“完美數” ；
（2）若二次三項式x2﹣4x+5（x是整數）是“完美數”，可配方成（x﹣m）2+n（m，n為常數），則mn的值為 ；
探究問題：
（1）已知“完美數”x2+y2﹣2x+4y+5（x，y是整數）的值為0，則x+y的值為 ；
（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的k值．
拓展結論：已知實數x，y滿足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值．
27．（7分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于點D．點A與點E關于直線BC對稱，連接BE，CE，延長AD交BE于點F．
（1）補全圖形；
（2）求證：△BDF是等腰三角形；
（3）求證：AB+BD＝2AC．
2021-2022學年北京市東城區(qū)廣渠門中學八年級（上）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）冬季奧林匹克運動會是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一次，第24屆冬奧會將于2022年在北京和張家口舉辦．下列四個圖分別是第24屆冬奧會圖標中的一部分，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據軸對稱圖形定義進行分析即可．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【解答】解：選項A，B，D都不能找到這樣的一條直線，使這些圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
選項C能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故選：C．
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）在平面直角坐標系中，點P（3，﹣2）關于y軸對稱的點的坐標是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（3，3）
【分析】直接利用關于y軸對稱點的性質，橫坐標互為相反數，縱坐標相同，進而得出答案．
【解答】解：點P（3，﹣2）關于y軸對稱的點的坐標是（﹣3，﹣2）．
故選：A．
【點評】此題主要考查了關于y軸對稱點的性質，正確掌握橫縱坐標的符號關系是解題關鍵．
3．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a2?a3＝a6B．2a2+3a2＝5a4
C．（2a2）3＝8a6D．2ab2?3ab2＝6ab2
【分析】利用同底數冪的乘法、合并同類項、積的乘方、冪的乘方、以及單項式乘以單項式計算法則進行計算即可．
【解答】解：A、a2?a3＝a5，故原題計算錯誤；
B、2a2+3a2＝5a2，故原題計算錯誤；
C、（2a2）3＝8a6，故原題計算正確；
D、2ab2?3ab2＝6a2b4，故原題計算錯誤；
故選：C．
【點評】此題主要考查了單項式乘以單項式、同底數冪的乘法、合并同類項、積的乘方、冪的乘方，關鍵是掌握各計算法則．
4．（3分）如圖，已知AB＝DC，下列條件中，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠ACB＝∠DBCC．∠ABC＝∠DCBD．∠A＝∠D＝90°
【分析】從圖中讀取公共邊BC＝CB的條件，結合每個選項給出的條件，只要能夠判定兩個三角形全等的都排除，從而找到不能判定兩個三角形全等的選項B．
【解答】解：由題知，AB＝DC，BC＝CB，
當AC＝DB時，△ABC≌△DCB（SSS），故選項A能判定兩個三角形全等，所以不選A；
當∠ACB＝∠DBC，不能判定，△ABC≌△DCB，故選B；
當∠ABC＝∠DCB，△ABC≌△DCB（SAS），故選項C能判定兩個三角形全等，所以不選C；
當∠A＝∠D＝90°，Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），故選項D能判定兩個三角形全等，所以不選D．
故選：B．
【點評】本題考查全等三角形的判定，注意一般三角形的“邊邊角”不能判定兩個三角形全等，以及直角三角形的“HL”可以判定兩個三角形全等．
5．（3分）在下列各式中，能運用平方差公式計算的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）B．（a﹣1）（﹣a+1）
C．（2a﹣b）（a+2b）D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）
【分析】運用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2時，關鍵要找相同項和相反項，其結果是相同項的平方減去相反項的平方．
【解答】解：A．（a﹣b）（b﹣a）中兩項的符號都相反，故不能用平方差公式計算；
B．（a﹣1）（﹣a+1）中兩項的符號都相反，故不能用平方差公式計算；
C．（2a﹣b）（a+2b）中不存在相同和相反的項，故不能用平方差公式計算；
D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）符合平方差公式．
故選：D．
【點評】本題考查了平方差公式的應用，熟記公式是解題的關鍵．
6．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，連接BE，則∠CBE的度數為（ ）
A．30°B．40°C．70°D．80°
【分析】由△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，即可求得∠ABC的度數，又由線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，可得AE＝BE，繼而求得∠ABE的度數，則可求得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝＝70°，
∵線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
故選：A．
【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若BC＝10，點D到AB的距離為4，則DB的長為（ ）
A．8B．6C．5D．4
【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據角平分線的性質定理得到DC＝DE＝4，結合圖形計算，得到答案．
【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6，
故選：B．
【點評】本題考查的是角平分線的性質，掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．
8．（3分）如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D作DE⊥BC于點E，且CE＝1.5，則AB的長為（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
【分析】由在等邊三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，則可求得CD的長，又由BD平分∠ABC交AC于點D，由三線合一的知識，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于點D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故選：C．
【點評】此題考查了等邊三角形的性質以及含30°角的直角三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．
9．（3分）如圖，△ABC的周長為24，BC＝9，BD、CD分別平分∠ABC，∠ACB過點D作直線平行于BC，分別交AB、AC于E、F，則△AEF的周長為（ ）
A．18B．15C．14D．9
【分析】根據題意可得：AB+AC＝15，再利用角平分線的定義和平行線的性質可得△EDB和△FDC是等腰三角形，從而可得ED＝EB，FD＝FC，進而可得△AEF的周長＝AB+AC，即可解答．
【解答】解：∵△ABC的周長為24，BC＝9，
∴AB+AC＝24﹣9＝15，
∵BD、CD分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∴△AEF的周長＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+EB+CF+AF
＝AB+AC
＝15，
故選：B．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握角平分線的定義和平行線的性質可證等腰三角形是解題的關鍵．
10．（3分）如圖，∠AOB＝α，點P是∠AOB內的一定點，點M、N分別在OA、OB上移動，當△PMN的周長最小時，∠MPN的值為（ ）
A．90°+αB．90°C．180°﹣αD．180°﹣2α
【分析】分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周長最小值等于P1P2的長，然后依據等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝180°﹣2α．
【解答】解：分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1、P2，交OA于M，交OB于N，則
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根據軸對稱的性質可得MP＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周長的最小值＝P1P2，
由軸對稱的性質可得∠P1OP2＝2∠AOB＝2α，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，
故選：D．
【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正確正確作出輔助線，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1的度數是關鍵．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，多數情況要作點關于某直線的對稱點．
二、填空題（共8小題，每小題2分，共16分）
11．（2分）計算：8a2?（﹣a3）＝ ﹣4a5 ．
【分析】利用單項式乘單項式的法則進行計算，即可得出答案．
【解答】解：8a2?（﹣a3）＝﹣4a5，
故答案為：﹣4a5．
【點評】本題考查了單項式乘單項式，熟練掌握單項式乘單項式的法則是解決問題的關鍵．
12．（2分）如圖，把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的工具（卡鉗），在圖中，要測量工件內槽寬AB，只要測量A′B′的長度即可，該做法的依據是 根據SAS證明△AOB≌△A′OB′ ．
【分析】根據測量兩點之間的距離，只要符合全等三角形全等的條件之一SAS，只需要測量易測量的邊A′B′上，進而得出答案．
【解答】解：連接AB，A′B′，如圖，
∵點O分別是AA′、BB′的中點，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB．
答：需要測量A′B′的長度，即為工件內槽寬AB．
其依據是根據SAS證明△AOB≌△A′OB′；
故答案為：根據SAS證明△AOB≌△A′OB′．
【點評】本題考查全等三角形的應用，根據已知條件可用邊角邊定理判斷出全等．
13．（2分）等腰三角形的一個外角是100°，則它的一個底角是 80°或50° ．
【分析】根據等腰三角形的一個外角等于100°，進行討論可能是底角的外角是100°，也有可能頂角的外角是100°，從而求出答案．
【解答】解：①當100°外角是底角的外角時，底角為：180°﹣100°＝80°，
②當100°外角是頂角的外角時，頂角為：180°﹣100°＝80°，
則底角為：（180°﹣80°）×＝50°，
∴底角為80°或50°．
故答案為：80°或50°．
【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質，此題應注意進行分類討論，特別注意不要忽略一種情況．
14．（2分）計算：32020×（）2021＝ 1 ．
【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則進行計算，即可得出答案．
【解答】解：32020×（）2021
＝32020×（）2020×
＝[3×（）]2020×
＝12020×
＝1×
＝，
故答案為：1．
【點評】本題考查了冪的乘方與積的乘方，熟練掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問題的關鍵．
15．（2分）如圖，△ADB≌△ECB，且點A的對應點是點E，點D的對應點是點C，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，則∠D的度數為 50° ．
【分析】設BD與CE相交于點F，根據垂直定義可得∠BFC＝90°，再利用直角三角形的直角三角形的兩個銳角互余可得∠C＝50°，然后利用全等三角形的性質即可解答．
【解答】解：設BD與CE相交于點F，
∵BD⊥EC，
∴∠BFC＝90°，
∵∠CBD＝40°，
∴∠C＝90°﹣∠CBD＝50°，
∵△ADB≌△ECB，
∴∠C＝∠D＝50°，
故答案為：50°．
【點評】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．
16．（2分）如圖，在△ABC中，若AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠BDC＝ 72° ．
【分析】設∠A＝x°，由已知條件開始，通過線段相等，得到角相等，再由三角形內角和求出各個角的大?。?br>【解答】解：設∠A＝x°．
∵BD＝AD，
∴∠A＝∠ABD＝x°，
∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x°，
在△ABC中x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
故答案為：72°．
【點評】此題考查了等腰三角形的性質；熟練掌握等于三角形的性質，以及三角形內角和定理，得到各角之間的關系式解答本題的關鍵．
17．（2分）規(guī)定a*b＝2a×2b，如2*3＝22×23＝25＝32．若2*（x+1）＝16，則x的值為 1 ．
【分析】根據新定義法則和同底數冪的乘法法則得出關于x的一元一次方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：∵a*b＝2a×2b，2*（x+1）＝16，
∴22×2x+1＝24，
∴2x+3＝24，
∴x+3＝4，
∴x＝1，
故答案為：1．
【點評】本題考查了同底數冪的乘法，解一元一次方程，根據新定義法則得出一元一次方程是解決問題的關鍵．
18．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，2），B（0，4），點C在坐標軸上，且△ABC是等腰三角形，請寫出一個滿足條件的點C的坐標 （0，2）（答案不唯一） ；滿足條件的點C一共有 5 個．
【分析】根據題意，畫出圖形，由等腰三角形的判定找出滿足條件的C點，即可得出答案．
【解答】解：如圖：
∵點A（2，2），B（0，4），
∴一個滿足條件的點C的坐標（0，2）（答案不唯一），
如圖，
若點A為兩腰的交點，此時滿足條件的點C有1個C1，與原點O重合，
若點B為兩腰的交點，此時滿足條件的點C有2個，分別為C2、C3；
若AB為底邊，此時滿足條件的點C有2個，分別為C、C4；
綜上，滿足此條件的點C共有5個，
故答案為：（0，2）（答案不唯一），5．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定及坐標與圖形性質，做題時需注意兩點，一是注意點C必須位于坐標軸上，二是注意不能漏解，應分AB為底邊和腰兩種情況分別解答，難度適中．
三、解答題（共9小題，19題12分，20題4分，21-25題，每小題12分，26題6分，27題7分，共54分）
19．（12分）計算：
（1）（x+2y）（x﹣2y）；
（2）（3a﹣1）2；
（3）（a﹣3）（a+4）+2a（a﹣1）．
【分析】（1）利用平方差公式，進行分解即可解答；
（2）利用完全平方公式，進行分解即可解答；
（3）先去括號，再合并同類項，即可解答．
【解答】解：（1）（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2；
（2）（3a﹣1）2＝9a2﹣6a+1；
（3）（a﹣3）（a+4）+2a（a﹣1）
＝a2+a﹣12+2a2﹣2a
＝3a2﹣a﹣12．
【點評】本題考查了整式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
20．（4分）已知x2﹣x+2＝0，求代數式（x﹣2）2+x（x+3）﹣（x+1）（x﹣1）的值．
【分析】先去括號，再合并同類項，然后把x2﹣x＝﹣2代入化簡后的式子進行計算即可解答．
【解答】解：（x﹣2）2+x（x+3）﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2﹣4x+4+x2+3x﹣（x2﹣1）
＝x2﹣4x+4+x2+3x﹣x2+1
＝x2﹣x+5，
∵x2﹣x+2＝0，
∴x2﹣x＝﹣2，
∴當x2﹣x＝﹣2時，原式＝﹣2+5＝3．
【點評】本題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
21．（5分）如圖，點B，E，C，F在一條直線上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求證：∠A＝∠D．
【分析】證明△ABC≌△DEF（SAS），可得∠A＝∠D．
【解答】證明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．
22．（5分）下面是小芳同學設計的“過直線外一點作這條直線垂線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，直線l及直線l外一點P．
求作：直線l的垂線，使它經過點P．
作法：如圖2．
①以P為圓心，大于P到直線l的距離為半徑作弧，交直線l于A，B兩點；
②連接PA和PB；
③作∠APB的平分線PQ，交直線l于點Q．
④反向延長射線PQ，直線PQ就是所求的直線．
根據小芳設計的尺規(guī)作圖過程，解答下列問題：
（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖2（保留作圖痕跡）．
（2）補全下面證明過程：
證明：∵PA＝ PB ，PQ平分∠APB．
∴PQ⊥AB（ 等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高線重合 ）（填推理依據）
即PQ⊥l．
【分析】（1）根據作圖過程即可補全圖2；
（2）根據等腰三角形的性質即可補全證明過程．
【解答】（1）解：如圖即為補全的圖2；
（2）證明：∵PA＝PB，PQ平分∠APB．
∴PQ⊥AB（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高線重合），
即PQ⊥l．
故答案為：PB，等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高線重合．
【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖，垂線段最短，角平分線的性質，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．
23．（5分）如圖，△ABC中，AB＝AC，延長CB至點D，延長BC至點E，使CE＝BD，連接AD，AE．
（1）求證：AD＝AE；
（2）若AB＝BC＝BD，求∠DAE的度數．
【分析】（1）根據等腰三角形的性質得出∠ABC＝∠ACB，根據三角形的外角性質得出∠ABD＝∠ACE，根據SAS推出△ABD≌△ACE，根據全等三角形的性質得出即可；
（2）根據AB＝AC，AB＝BC，可得AB＝AC＝BC，可得△ABC是等邊三角形，再根據三角形外角的性質和等腰三角形的性質可得∠D，∠E，再根據三角形內角和定理即可求解．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ACB+∠BAC，∠ACE＝∠ABC+∠BAC，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE；
（2）解：∵AB＝AC，AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AB＝BD，
∴∠DAB＝∠D，
∵∠ABC＝∠DAB+∠D，
∴∠D＝30°，
同理可得∠E＝30°，
∴∠DAE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形外角性質，全等三角形的判定和性質的應用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．
24．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）在圖中畫出△ABC關于y軸對稱的△A′B′C′；
（2）點P是x軸上一動點，當PB+PC的值最小時，畫出點P的位置，此時點P的坐標為 （0，） ．
【分析】（1）利用軸對稱變換的性質分別作出A，B，C的對應點A′，B′，C′即可；
（2）設P（0，m），利用面積法構建方程求解．
【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求；
（2）如圖，點P即為所求，設P（0，m）．
∵S△BCC′＝×2×2＝×2×（m﹣1）+×（1+5）×2﹣×1×（m﹣1）﹣×5×（3﹣m），
解得，m＝，
∴P（0，）．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質，屬于中考?？碱}型．
25．（5分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且C、E、D三點共線．
（1）求證：△ADB≌△AEC；
（2）過點A作AF⊥CD于F，依題意補全圖形并證明BD+DF＝CF．
【分析】（1）由“SAS”即可證明△AEC≌△ADB；
（2）由△AEC≌△ADB，可得BD＝CE，由等腰三角形的性質可得DF＝FE，可得結論．
【解答】證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）如圖，
∵△ADB≌△AEC，
∴BD＝CE，
∵AD＝AE，AF⊥CD，
∴DF＝FE，
∴BD+DF＝CE+EF＝CF．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理是本題的關鍵．
26．（6分）配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．
例如，把二次三項式x2﹣2x+3進行配方．
解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2．
我們定義：一個整數能表示成a2+b2（a，b是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”．理由：因為5＝22+12.再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整數），所以M也是“完美數”．
解決問題：
（1）請你再寫一個小于10的“完美數” 4 ；并判斷40是否為“完美數” 是 ；
（2）若二次三項式x2﹣4x+5（x是整數）是“完美數”，可配方成（x﹣m）2+n（m，n為常數），則mn的值為 2 ；
探究問題：
（1）已知“完美數”x2+y2﹣2x+4y+5（x，y是整數）的值為0，則x+y的值為 ﹣1 ；
（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的k值．
拓展結論：已知實數x，y滿足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值．
【分析】解決問題：
（1）根據“完美數”的定義判斷即可；
（2）利用配方法進行轉化，然后求得對應系數的值；
探究問題：
（1）配方后根據非負數的性質可得x和y的值，進行計算即可；
（2）利用完全平方公式把原式變形，根據“完美數”的定義證明結論；
拓展結論：根據題中結論求解
【解答】解：解決問題：（1）4是“完美數”，理由：因為＝22+02；
40是“完美數”，理由：因為40＝62+22；
（2）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+12，
∴m＝2，n＝1，
∴mn＝2，
故答案為：2；
探究問題：（1）∵x2+y2﹣2x+4y+5＝（x﹣1）2+（y+2）2＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴x+y＝﹣1；
（2）S＝x2+4y2+4x﹣12y+k＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13，
由題意得：k﹣13＝0，
∴k＝13；
拓展結論：∵﹣x2+3x+y﹣5＝0，
∴x+y
＝x2﹣2x+5
＝（x﹣1）2+4≥4；
∴當x＝1時，x+y最小，最小值為4．
【點評】本題考查的是配方法的應用，掌握完全平方公式、偶次方的非負性是解題的關鍵．
27．（7分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于點D．點A與點E關于直線BC對稱，連接BE，CE，延長AD交BE于點F．
（1）補全圖形；
（2）求證：△BDF是等腰三角形；
（3）求證：AB+BD＝2AC．
【分析】（1）根據題意畫出圖形即可；
（2）由AC＝BC，∠ACB＝90°，AD是∠CAB的平分線，可得∠CAD＝∠BAD＝22.5°，即得∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，根據點A與點E關于直線BC對稱，可得∠AFB＝90°﹣∠BAD＝67.5°，故∠BDF＝∠AFB，從而△BDF是等腰三角形；
（3）過D作DK⊥AB于K，證明△ACD≌△AKD（AAS），得AC＝AK，CD＝DK，又AC＝BC，∠ACB＝90°，可得△KBD是等腰直角三角形，BK＝DK，即知BK＝CD，而AB＝AK+BK，有AB＝AC+CD，故AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC．
【解答】（1）解：補全圖形如下：
（2）證明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵AD是∠CAB的平分線，
∴∠CAD＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵點A與點E關于直線BC對稱，
∴∠EBC＝∠CBA＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣∠BAD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠BDF＝∠AFB，
∴BF＝BD；
∴△BDF是等腰三角形；
（3）證明：過D作DK⊥AB于K，如圖：
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠KAD，
∵DK⊥AB，
∴∠AKD＝90°＝∠ACD，
在△ACD和△AKD中，
，
∴△ACD≌△AKD（AAS），
∴AC＝AK，CD＝DK，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠KBD＝45°，
∴△KBD是等腰直角三角形，
∴BK＝DK，
∴BK＝CD，
∵AB＝AK+BK，
∴AB＝AC+CD，
∴AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC．
【點評】本題考查等腰直角三角形的性質及應用，涉及全等三角形的判定與性質，角平分線等知識，解題的關鍵是掌握對稱的性質，能熟練應用全等三角形的判定與性質定理．
聲明：試題解析著作權屬所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/9/28 17:49:12；用戶：笑涵數學；郵箱：15699920825；學號：36906111

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