1．（2分）下列各組線段（單位：cm）中，成比例線段的是（ ）
A．1、2、2、3B．1、2、3、4C．1、2、2、4D．3、5、9、13
2．（2分）拋物線y＝x2﹣2的頂點坐標是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
3．（2分）如果一個矩形的寬與長的比等于黃金數(shù)（約為0.618），就稱這個矩形為黃金矩形．若矩形ABCD為黃金矩形，寬AD＝﹣1，則長AB為（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
4．（2分）若將拋物線先向左平移3個單位，再向下平移2個單位，得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是（ ）
A．B．
C．y＝（x+3）2﹣2D．
5．（2分）如圖，在?ABCD中，E是AB的中點，EC交BD于點F，那么EF與CF的比是（ ）
A．2：1B．1：3C．1：2D．3：1
6．（2分）如圖，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，則△ABC與△A′B′C′的面積的比為（ ）
A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2
7．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
8．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點A，點B的位置如圖所示，拋物線y＝ax2﹣2ax經(jīng)過A，B，則下列說法不正確的是（ ）
A．拋物線的頂點在第四象限
B．拋物線的對稱軸是直線x＝1
C．拋物線的開口向上
D．點B在拋物線對稱軸的左側(cè)
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0，2）的拋物線的表達式： ．
10．（2分）如圖，AB∥CD∥EF，直線l1、l2分別與這三條平行線交于點A、C、E和點B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，則BF的長為 ．
11．（2分）把二次函數(shù)y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式為 ．
12．（2分）已知拋物線y＝x2﹣2x經(jīng)過點（﹣1，y1），（4，y2），則y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
13．（2分）如圖，在△ABC中，DE分別與AB、AC相交于點D、E，且DE∥BC，如果，那么＝ ．
14．（2分）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，由圖象可知，方程﹣x2+bx+c＝0的解為 ．
15．（2分）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學者墨子和他的學生做了世界上第1個“小孔成像”的實驗，闡釋了光的直線傳播原理，如圖（1）所示．如圖（2）所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是 cm．
16．（2分）同學將如圖所示的三條水平直線m1，m2，m3的其中一條記為x軸（向右為正方向），三條豎直直線m4，m5，m6的其中一條記為y軸（向上為正方向），并在此坐標平面內(nèi)畫出了二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的圖象，那么她所選擇的x軸和y軸分別為直線 ．
三、解答題（本題共12小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）
17．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．
（1）求該二次函數(shù)的圖象的對稱軸和頂點坐標；
（2）求該二次函數(shù)的圖象與x軸交點．
18．（5分）如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，BC＝4，AC＝8，CD＝2．求證：△BCD∽△ACB．
19．（5分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，求這個函數(shù)的表達式．
20．（5分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點都在格點上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：
（1）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；
（2）畫一個三角形，它的三個頂點為P1，P2，P3，P4，P5中的3個格點，并且與△ABC相似．（要求：不寫作法與證明）
21．（5分）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應(yīng)值如下表：
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）若y＜﹣3，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍．
22．（5分）如圖，將一個Rt△BPE與正方形ABCD 疊放在一起，并使其直角頂點P落在線段CD上（不與C，D兩點重合），斜邊的一部分與線段AB重合．
（1）圖中與Rt△BCP相似的三角形共有 個，分別是 ；
（2）請選擇第（1）問答案中的任意一個三角形，完成該三角形與△BCP相似的證明．
23．（6分）如圖，在矩形ABCD中，E為BC的中點，DF⊥AE，垂足為F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的長．
24．（6分）擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目．如圖1是一名學生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，擲出時起點處高度為m，當水平距離為3m時，實心球行進至最高點3m處．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）根據(jù)蘭州市高中階段學校招生體育考試評分標準，投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70m，此項考試得分為滿分10分．該生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．
圖1來源：《2022年蘭州市高中階段學校招生體育考試規(guī)則與測試要求》
25．（6分）跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一．記運動員在該項目的運動過程中的某個位置與起跳點的水平距離為x（單位：m），豎直高度為y（單位：m），下面記錄了甲運動員起跳后的運動過程中的七組數(shù)據(jù)：
下面是小明的探究過程，請補充完整：
（1）為觀察y與x之間的關(guān)系，建立坐標系，以x為橫坐標，y為縱坐標，描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的7個點，并用平滑的曲線連接它們；
（2）觀察發(fā)現(xiàn)，（1）中的曲線可以看作是 的一部分（填“拋物線”或“雙曲線”），結(jié)合圖象，可推斷出水平距離約為 m（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）時，甲運動員起跳后達到最高點；
（3）乙運動員在此跳臺進行訓練，若乙運動員在運動過程中的最高點的豎直高度達到61m，則乙運動員運動中的最高點比甲運動員運動中的最高點 （填寫“高”或“低”）約 m（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．
26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）與y軸交于點A．
（1）直接寫出點A的坐標；
（2）點A、B關(guān)于對稱軸對稱，求點B的坐標；
（3）已知點P（4，0），．若拋物線與線段PQ恰有兩個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
27．（7分）感知：數(shù)學課上，老師給出了一個模型：如圖1，點A在直線DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．
應(yīng)用：（1）如圖2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．求證：△BEC≌△CDA．
（2）如圖3，在△ABC中，D是BC上一點，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求點C到AB邊的距離．
（3）如圖4，在?ABCD中，E為邊BC上的一點，F(xiàn)為邊AB上的一點．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．
28．（7分）對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2．
（1）函數(shù)①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函數(shù)的為 （只填序號即可），其上確界為 ；
（2）如果函數(shù)y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上確界是b，且這個函數(shù)的最小值不超過2a+1，求a的取值范圍；
（3）如果函數(shù)y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實數(shù)a的值．
2022-2023學年北京市昌平區(qū)雙城融合學區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．
1．（2分）下列各組線段（單位：cm）中，成比例線段的是（ ）
A．1、2、2、3B．1、2、3、4C．1、2、2、4D．3、5、9、13
【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對選項一一分析，排除錯誤答案．
【解答】解：A、1×3≠2×2，故選項錯誤；
B、1×4≠2×3，故選項錯誤；
C、1×4＝2×2，故選項正確；
D、3×13≠5×9，故選項錯誤．
故選：C．
【點評】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統(tǒng)一．
2．（2分）拋物線y＝x2﹣2的頂點坐標是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
【分析】利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得出頂點坐標．
【解答】解：∵y＝x2﹣2，
∴拋物線的頂點坐標為（0，﹣2），
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
3．（2分）如果一個矩形的寬與長的比等于黃金數(shù)（約為0.618），就稱這個矩形為黃金矩形．若矩形ABCD為黃金矩形，寬AD＝﹣1，則長AB為（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，求解即可．
【解答】解：∵矩形ABCD是黃金矩形，
∴，
∴，
∴AB＝2，
故選：C．
【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．
4．（2分）若將拋物線先向左平移3個單位，再向下平移2個單位，得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是（ ）
A．B．
C．y＝（x+3）2﹣2D．
【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．
【解答】解：將拋物線先向左平移3個單位，再向下平移2個單位，得到新的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是：y＝﹣（x+3）2﹣2．
故選：D．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
5．（2分）如圖，在?ABCD中，E是AB的中點，EC交BD于點F，那么EF與CF的比是（ ）
A．2：1B．1：3C．1：2D．3：1
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以證明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：由平行四邊形的性質(zhì)可知：AB∥CD，AB＝CD，
∴△BEF∽△DCF，
∵點E是AB的中點，
∴BE＝CD，
∴＝＝，
∴＝＝，
故選：C．
【點評】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型．
6．（2分）如圖，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，則△ABC與△A′B′C′的面積的比為（ ）
A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可直接得出結(jié)論．
【解答】解：∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，
∴其相似比為2：3，
∴△ABC與△A′B′C′的面積的比為4：9；
故選：A．
【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形（多邊形）的高的比等于相似比是解答此題的關(guān)鍵．
7．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
【分析】利用拋物線的對稱性確定（0，2）的對稱點，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線y＝2上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解答】解：∵拋物線的對稱軸為x＝﹣1.5，
∴點（0，2）關(guān)于直線x＝﹣1.5的對稱點為（﹣3，2），
當﹣3＜x＜0時，y＞2，
即當函數(shù)值y＞2時，自變量x的取值范圍是﹣3＜x＜0．
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
8．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點A，點B的位置如圖所示，拋物線y＝ax2﹣2ax經(jīng)過A，B，則下列說法不正確的是（ ）
A．拋物線的頂點在第四象限
B．拋物線的對稱軸是直線x＝1
C．拋物線的開口向上
D．點B在拋物線對稱軸的左側(cè)
【分析】由于拋物線y＝ax2﹣2ax的常數(shù)項為0，所以圖象經(jīng)過原點，根據(jù)對稱軸為直線x＝﹣＝1，可知拋物線開口向上，點B在對稱軸的右側(cè)，頂點在第四象限．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax，
∴x＝0時，y＝0，
∴圖象經(jīng)過原點，
又∵對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴拋物線開口向上，點B在對稱軸的右側(cè)，頂點在第四象限．
即A、B、C正確，D錯誤．
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確得出圖象的對稱軸是解題關(guān)鍵．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0，2）的拋物線的表達式： y＝x2+2 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，所寫出的函數(shù)解析式a是正數(shù)，c＝2即可．
【解答】解：開口向上，并且與y軸交于點（0，2）的拋物線的表達式可以為y＝x2+2，
故答案為：y＝x2+2（答案不唯一）．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
10．（2分）如圖，AB∥CD∥EF，直線l1、l2分別與這三條平行線交于點A、C、E和點B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，則BF的長為 ．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，求出BD，計算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
解得，BD＝，
則BF＝BD+DF＝，
故答案為：．
【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
11．（2分）把二次函數(shù)y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式為 y＝（x﹣3）2﹣4 ．
【分析】運用配方法把一般式化為頂點式即可．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5
＝x2﹣6x+9﹣9+5
＝（x﹣3）2﹣4；
故答案為：y＝（x﹣3）2﹣4．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握配方法是關(guān)鍵．
12．（2分）已知拋物線y＝x2﹣2x經(jīng)過點（﹣1，y1），（4，y2），則y1 ＜ y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】求出y1、y2的值即可判斷．
【解答】解：x＝﹣1時，y1＝3，
x＝4時，y2＝8，
∴y1＜y2，
故答案為＜．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，點的坐標適合解析式，屬于中考常考題型．
13．（2分）如圖，在△ABC中，DE分別與AB、AC相交于點D、E，且DE∥BC，如果，那么＝ ．
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合，即可求出的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)找出的值是解題的關(guān)鍵．
14．（2分）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，由圖象可知，方程﹣x2+bx+c＝0的解為 x1＝﹣1，x2＝5 ．
【分析】先利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為（﹣1，0），根據(jù)方程﹣x2+bx+c＝0的解即為y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸的交點即為所求．
【解答】解：由圖可知，拋物線的對稱軸為直線x＝2，
而拋物線與x軸的一個交點坐標為（5，0），
所以拋物線與x軸的另一個交點坐標為（﹣1，0），
所以方程﹣x2+bx+c＝0的解為x1＝﹣1，x2＝5，
故答案為：x1＝﹣1，x2＝5．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，關(guān)鍵是求出拋物線與x軸的交點．
15．（2分）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學者墨子和他的學生做了世界上第1個“小孔成像”的實驗，闡釋了光的直線傳播原理，如圖（1）所示．如圖（2）所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是 4 cm．
【分析】直接利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答．
【解答】解：設(shè)蠟燭火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性質(zhì)得到：＝．
解得x＝4．
即蠟燭火焰的高度是4cm．
故答案為：4．
【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學知識解決實際問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．
16．（2分）同學將如圖所示的三條水平直線m1，m2，m3的其中一條記為x軸（向右為正方向），三條豎直直線m4，m5，m6的其中一條記為y軸（向上為正方向），并在此坐標平面內(nèi)畫出了二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的圖象，那么她所選擇的x軸和y軸分別為直線 m2，m4 ．
【分析】由已知求得頂點坐標為（1，1﹣a），再結(jié)合a＜0，即可確定坐標軸的位置．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴頂點坐標為（1，1﹣a），
∵a＜0，
∴拋物線與m5的交點為頂點，
∴m4為y軸，
∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1與y軸的交點為（0，1），且1﹣a＞1，
∴m2為x軸，
故答案為：m2，m4．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平面直角坐標系中坐標軸與點的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共12小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）
17．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．
（1）求該二次函數(shù)的圖象的對稱軸和頂點坐標；
（2）求該二次函數(shù)的圖象與x軸交點．
【分析】（1）化成頂點式，即可得出答案；
（2）把y＝0代入函數(shù)解析式求出x，即可求出答案；
【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝﹣1，頂點坐標是（﹣1，﹣4）；
（2）當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，
解得：x＝1或﹣3，
即函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為（1，0），（﹣3，0）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點以及函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)的內(nèi)容是解此時的關(guān)鍵．
18．（5分）如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，BC＝4，AC＝8，CD＝2．求證：△BCD∽△ACB．
【分析】根據(jù)兩邊成比例夾角相等的兩三角形相似即可判斷．
【解答】證明：∵BC＝4，AC＝8，CD＝2，
∴＝，
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB．
【點評】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，學會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題；
19．（5分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，求這個函數(shù)的表達式．
【分析】設(shè)交點式為y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，3）代入求出a，從而得到二次函數(shù)的解析式．
【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，3）代入得a×1×（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，
所以拋物線解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．
20．（5分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點都在格點上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：
（1）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；
（2）畫一個三角形，它的三個頂點為P1，P2，P3，P4，P5中的3個格點，并且與△ABC相似．（要求：不寫作法與證明）
【分析】（1）根據(jù)勾股定理分別求出△ABC與△DEF各邊的長，再根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似即可判斷；
（2）根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似即可求解．
【解答】解：（1）∴△ABC和△DEF相似，理由如下：
由勾股定理可得：AB＝，
AC＝，
BC＝＝5，
DF＝，
DE＝，
FE＝，
∴，
∴△ABC和△DEF相似；
（2）如圖所示，△P2P4P5即為所求．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應(yīng)值如下表：
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）若y＜﹣3，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍．
【分析】（1）利用表中數(shù)據(jù)和拋物線的對稱性可得到二次函數(shù)的頂點坐標為（1，1），則可設(shè)頂點式y(tǒng)＝a（x﹣1）2+1，然后把點（0，0）代入求出a即可；
（2）利用描點法畫二次函數(shù)圖象；
（3）根據(jù)y＝﹣3時x的值，再結(jié)合函數(shù)圖象得出y＜﹣3時x的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意可得二次函數(shù)的頂點坐標為（1，1），
設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y＝a（x﹣1）2+1，
把點（0，0）代入y＝a（x﹣1）2+1，得a＝﹣1，
故拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+1，即y＝﹣x2+2x；
（2）由（1）知，拋物線頂點為（1，1），對稱軸為直線x＝1，過原點，
根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線過（2，0）
拋物線的圖象如圖所示：
（3）當y＝﹣3時，﹣x2+2x＝﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
結(jié)合函數(shù)圖象，當y＜﹣3時，x＞3或x＜﹣1．
【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
22．（5分）如圖，將一個Rt△BPE與正方形ABCD 疊放在一起，并使其直角頂點P落在線段CD上（不與C，D兩點重合），斜邊的一部分與線段AB重合．
（1）圖中與Rt△BCP相似的三角形共有 3 個，分別是 Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF ；
（2）請選擇第（1）問答案中的任意一個三角形，完成該三角形與△BCP相似的證明．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF均與Rt△BCP相似；
（2）Rt△BCP∽Rt△EPB．利用“兩角法”證得結(jié)論即可．
【解答】解：（1）圖中與Rt△BCP相似的三角形共有 3個，分別是 Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；
故答案是：3；Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；
（2）答案不唯一，如：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABP+∠PBC＝∠C＝90°．
∵∠PBC+∠BPC＝90°，
∴∠ABP＝∠BPC．
又∵∠BPE＝∠C＝90°，
∴Rt△BCP∽Rt△EPB．
【點評】本題考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)．相似三角形的判定方法：
（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；
（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．
23．（6分）如圖，在矩形ABCD中，E為BC的中點，DF⊥AE，垂足為F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的長．
【分析】由勾股定理可求AE的長，通過證明△DAF∽△AEB，可得，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠B＝∠DAB＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵E為BC的中點，
∴BE＝CE＝2，
∴AE＝＝＝2，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠B＝90°，
∴△DAF∽△AEB，
∴，
∴＝，
∴DF＝．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
24．（6分）擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目．如圖1是一名學生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，擲出時起點處高度為m，當水平距離為3m時，實心球行進至最高點3m處．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）根據(jù)蘭州市高中階段學校招生體育考試評分標準，投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70m，此項考試得分為滿分10分．該生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．
圖1來源：《2022年蘭州市高中階段學校招生體育考試規(guī)則與測試要求》
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)該同學此次投擲實心球的成績就是實心球落地時的水平距離，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣3）2+3，
把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣3）2+3，
解得：a＝﹣，
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝﹣（x﹣3）2+3；
（2）該生在此項考試中是得滿分，理由：
令y＝0，則﹣（x﹣3）2+3＝0，
解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），
∵7.5＞6.70，
∴該生在此項考試中是得滿分．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法，關(guān)鍵是理解題意把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程為題．
25．（6分）跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一．記運動員在該項目的運動過程中的某個位置與起跳點的水平距離為x（單位：m），豎直高度為y（單位：m），下面記錄了甲運動員起跳后的運動過程中的七組數(shù)據(jù)：
下面是小明的探究過程，請補充完整：
（1）為觀察y與x之間的關(guān)系，建立坐標系，以x為橫坐標，y為縱坐標，描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的7個點，并用平滑的曲線連接它們；
（2）觀察發(fā)現(xiàn)，（1）中的曲線可以看作是 拋物線 的一部分（填“拋物線”或“雙曲線”），結(jié)合圖象，可推斷出水平距離約為 14.5 m（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）時，甲運動員起跳后達到最高點；
（3）乙運動員在此跳臺進行訓練，若乙運動員在運動過程中的最高點的豎直高度達到61m，則乙運動員運動中的最高點比甲運動員運動中的最高點 高 （填寫“高”或“低”）約 2.8 m（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．
【分析】（1）用光滑曲線將各個點連接起來即可；
（2）觀察圖象可得出，曲線可看作拋物線的一部分，結(jié)合圖象，可得出拋物線的解析式，即可得出甲運動員何時達到最高點；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，可得出甲的最高點，再比較即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）由圖象可知，曲線可看作拋物線的一部分，
設(shè)該拋物線的解析式為：y＝ax2+bx+c，
將（0，54），（10.57.8），（50，33）代入，得，
解得．
∴y＝﹣0.02x2+0.58x+54．
當x＝﹣＝14.5時，y最大，
∴當水平距離為14.5m時，取最高；
故答案為：拋物線；14.5；
（3）甲最高為y＝＝58.205（m），
∴61﹣58.205＝2.795≈2.8（m），
故答案為：高；2.8．
【點評】本題屬于二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查待定函數(shù)求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于掌握由二次函數(shù)的圖象建立二次函數(shù)模型．
26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）與y軸交于點A．
（1）直接寫出點A的坐標；
（2）點A、B關(guān)于對稱軸對稱，求點B的坐標；
（3）已知點P（4，0），．若拋物線與線段PQ恰有兩個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）與y軸交于點A即可直接寫出點A的坐標；
（2）點A、B關(guān)于對稱軸對稱，即可求點B的坐標；
（3）根據(jù)點P（4，0），．若拋物線與線段PQ恰有兩個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，即可求a的取值范圍．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）與y軸交于點A，
∴A的坐標為（0，﹣3）；
（2）∵；
∴B（2，﹣3）．
（3）當拋物線過點P（4，0）時，，
∵．
∴．
此時，拋物線與線段PQ有兩個公共點．
當拋物線過點時，a＝1，
此時，拋物線與線段PQ有兩個公共點．
∵拋物線與線段PQ恰有兩個公共點，
∴．
∵Δ＝4a2+12a＞0
∴a＞0或a＜﹣3，
當拋物線開口向下時，
a＜﹣3．
綜上所述，當或a＜﹣3時，拋物線與線段PQ恰有兩個公共點．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖象解答．
27．（7分）感知：數(shù)學課上，老師給出了一個模型：如圖1，點A在直線DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．
應(yīng)用：（1）如圖2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．求證：△BEC≌△CDA．
（2）如圖3，在△ABC中，D是BC上一點，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求點C到AB邊的距離．
（3）如圖4，在?ABCD中，E為邊BC上的一點，F(xiàn)為邊AB上的一點．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．
【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出∠ACD＝∠EBC，可證明△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）過點D作DF⊥AB于點F，過點C作CE⊥AB于，交BA的延長線于點E，證明△CAE≌△ADF（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出CE＝AF＝，則可得出答案；
（3）過點D作DM＝DC交BC的延長線于點M，證明△BFE∽△MED，由相似三角形的性質(zhì)可得出答案．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°，
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）解：過點D作DF⊥AB于點F，過點C作CE⊥AB于，交BA的延長線于點E，
∵∠DBA＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∴AF＝BF＝AB＝，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAF+∠CAE＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CAE＝∠ADF，
在△CAE和△ADF中，
，
∴△CAE≌△ADF（AAS），
∴CE＝AF＝，
即點C到AB的距離為；
（3）解：過點D作DM＝DC交BC的延長線于點M，
∴∠DCM＝∠M，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DM＝CD＝AB＝10，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCM＝∠M，
∵∠FEC＝∠DEF+∠DEC＝∠B+∠BFE，∠B＝∠DEF，
∴∠DEC＝∠BFE，
∴△BFE∽△MED，
∴．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
28．（7分）對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2．
（1）函數(shù)①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函數(shù)的為 ② （只填序號即可），其上確界為 1 ；
（2）如果函數(shù)y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上確界是b，且這個函數(shù)的最小值不超過2a+1，求a的取值范圍；
（3）如果函數(shù)y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實數(shù)a的值．
【分析】（1）分別求出兩個函數(shù)的最大值即可求解；
（2）由題意可知：﹣b+2≤y≤﹣a+2，再由﹣a+2＝b，﹣b+2≤2a+1，b＞a，即可求a的取值范圍；
（3）當a≤1時，27﹣10a＝3，可得a＝2.4（舍）；當a≥5時，3﹣2a＝3，可得a＝0（舍）；當1＜a≤3時，27﹣10a＝3，可得a＝2.4；當3＜a＜5時，3﹣2a＝3，可得a＝0．
【解答】解：（1）①y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0，
∴①無上確界；
②y＝2x﹣3（x≤2），
∴y≤1，
∴②有上確界，且上確界為1，
故答案為：②，1；
（2）∵y＝﹣x+2，y隨x值的增大而減小，
∴當a≤x≤b時，﹣b+2≤y≤﹣a+2，
∵上確界是b，
∴﹣a+2＝b，
∵函數(shù)的最小值不超過2a+1，
∴﹣b+2≤2a+1，
∴a≥﹣1，
∵b＞a，
∴﹣a+2＞a，
∴a＜1，
∴a的取值范圍為：﹣1≤a＜1；
（3）y＝x2﹣2ax+2的對稱軸為直線x＝a，
當a≤1時，y的最大值為25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3為上確界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4（舍）；
當a≥5時，y的最大值為1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3為上確界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0（舍）；
當1＜a≤3時，y的最大值為25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3為上確界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4；
當3＜a＜5時，y的最大值為1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3為上確界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0，
綜上所述：a的值為2.4．
【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)所給范圍分類討論求二次函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/11 11:49:40；用戶：笑涵數(shù)學；郵箱：15699920825；學號：36906111x
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