1．（2分）下列有理數(shù)﹣1，0，，+3.5中，負數(shù)有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
2．（2分）化簡的結(jié)果為（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．2022
3．（2分）第24屆冬季奧林匹克運動會已經(jīng)畫上圓滿句號，北京成為歷史上首座“雙奧之城”，再一次見證了競技體育的榮耀與夢想，凝聚了人類社會的團結(jié)與友誼．2022年2月4日的北京冬奧會開幕式在全國44個上星頻道播出，總收視率達20.1%，收視份額達68.2%，電視直播觀眾規(guī)模約為316000000人．將316000000這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．316×106B．31.6×107C．3.16×109D．3.16×108
4．（2分）如果|m|＝3，那么m的值為（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．
5．（2分）已知P點在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣4，把P點向左移動3個單位長度后得到點P'點，那么P'點表示的數(shù)的相反數(shù)是（ ）
A．1B．7C．﹣1D．0
6．（2分）把算式中的后三個數(shù)放入前面帶有“﹣”的括號內(nèi)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）已知：|m﹣1|+（n+2）2＝0，則mn的值為（ ）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
8．（2分）如圖，四個有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為M，N，P，Q，若點M，N表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示絕對值最小的數(shù)的點是（ ）
A．點 MB．點 PC．點 ND．點 Q
二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）
9．（2分）月球表面的白天平均溫度為零上126℃，夜間平均溫度為零下150℃．如果零上126℃記作+126℃，那么零下150℃應(yīng)該記作 ℃．
10．（2分）比較大?。憨? ﹣5， 0．
11．（2分）化簡＝ ．
12．（2分）祖沖之是我國南北朝時期著名科學(xué)家，他推算出圓周率π的值在3.1415926和3.1415927之間．如果用四舍五入法把3.1415926精確到0.001，所得到的近似數(shù)為 ．
13．（2分）計算：（﹣1）2023＝ ，（﹣2）2＝ ．
14．（2分）大于且小于或等于1的整數(shù)有 （寫出具體的數(shù)）．
15．（2分）若m，n互為相反數(shù)，則5m+5n+3＝ ．
16．（2分）如圖所示是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成，其中部分小正方形涂有陰影，按照這樣的規(guī)律，第4個圖案中有 個涂有陰影的小正方形，第n個圖案中有 個涂有陰影的小正方形（用含有n的代數(shù)式表示）．
三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）
17．（5分）計算：﹣2+（﹣3）﹣（﹣5）．
18．（5分）計算：﹣3﹣4+19﹣11．
19．（5分）計算：﹣8+5×（﹣2）﹣（﹣4）×3÷（﹣6）．
20．（5分）計算：（﹣2.5）×38×（﹣4）÷（﹣19）．
21．（5分）計算：．
22．（5分）計算：．
23．（6分）在抗洪搶險中，中國人民解放軍駕駛沖鋒舟沿東西方向的河流搶救受災(zāi)群眾，他們早晨從A地出發(fā)，晚上到達B地，規(guī)定向東為正，向西為負，航行記錄如下（單位：km）：
+5，﹣2，﹣9，+7，﹣8，+14，﹣3，﹣6．
（1）B地在A地的哪側(cè)？相距多遠？
（2）若沖鋒舟每千米耗油0.5升，則這一天共消耗了多少升油？
24．（6分）畫數(shù)軸并在數(shù)軸上標出下列各數(shù)，再用“＜”把這些數(shù)連接起來．
，+2.5，0，﹣1，|﹣2|
25．（6分）已知a為有理數(shù)，定義運算符號“※”：當(dāng)a＞﹣1時，※a＝﹣a；當(dāng)a＜﹣1時，※a＝a；當(dāng)a＝﹣1時，※a＝0．
（1）※3＝ ；
（2）※（﹣5+4）＝ ；
（3）計算：※[7+※（3﹣5）]．
26．（6分）如圖，一只甲蟲在6×6的方格（每小格邊長為1）上沿著網(wǎng)格線運動．它從A處出發(fā)去看望B、C、D處的其它甲蟲，規(guī)定：向上和向右走為正，向下和向左走為負．例如：從A到B記為：A→B（+2，+4），表示從A點先向右平移2個單位，再向上平移4個單位，反之從B到A記為：B→A（﹣2，﹣4），括號中第一個數(shù)表示左右方向，第二個數(shù)表示上下方向，那么圖中：
（1）C→D（ ， ），B→C（ ， ），D→A（ ， ）；
（2）若這只甲蟲的行走路線為A→B→C→D，則該甲蟲走過的最少路程為 ；
（3）若這只甲蟲從A處去甲蟲P處的行走路線依次為（+1，+2），（+3，﹣1），（﹣2，+3），（+4，0），請在圖中標出P的位置．
27．（7分）觀察下列各式：
32﹣31＝2×31…①
33﹣32＝2×32…②
34﹣33＝2×33…③
…
探索以上式子的規(guī)律：
（1）寫出第5個等式： ；
（2）試寫出第n（n為正整數(shù)）個等式： ，并說明第n個等式成立；
（3）31+32+33+…+32022＝ ．
28．（7分）【概念學(xué)習(xí)】
點A，B，C為數(shù)軸上的三點，如果點C到A的距離是點C到B的距離的2倍，那么我們就稱點C是{A、B}的偶點．
如圖1，點A表示的數(shù)為﹣2，點B表示的數(shù)為1，表示0的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是{A、B}的偶點；表示﹣1的點D到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點D就不是{A、B}的偶點，但點D是{B、A}的偶點．
【初步探究】
已知如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點，點M表示的數(shù)為﹣1，點N表示的數(shù)為5，若點F是{M、N}的偶點，回答下列問題：
（1）當(dāng)F在點M，N之間，點F表示的數(shù)為 ；
（2）當(dāng)F為數(shù)軸上一點，點F表示的數(shù)為 ．
【深入思考】
如圖3，P、Q為數(shù)軸上兩點，點P表示的數(shù)為﹣20，點Q表示的數(shù)為40，現(xiàn)有一個動點E從點Q出發(fā)，以每秒2個單位的速度向左運動，到達點P停止．若運動時間為t，求當(dāng)t為何值時，P，Q，E中恰有一個點為其余兩點的偶點？
2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)雙城融合學(xué)區(qū)七年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）下列各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．
1．（2分）下列有理數(shù)﹣1，0，，+3.5中，負數(shù)有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【分析】根據(jù)“正數(shù)前加上負號（﹣）的數(shù)是負數(shù)”可確定結(jié)果．
【解答】解：0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，+3.5是正數(shù)，
故負數(shù)有﹣1，，共2個．
故選：C．
【點評】此題考查了正負數(shù)的辨別能力，關(guān)鍵是準確理解正負數(shù)的概念．
2．（2分）化簡的結(jié)果為（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．2022
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義進行化簡即可．
【解答】解：原式＝1．
故選：A．
【點評】本題主要考查了相反數(shù)，正確用式子表示出：“一個數(shù)的相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵．
3．（2分）第24屆冬季奧林匹克運動會已經(jīng)畫上圓滿句號，北京成為歷史上首座“雙奧之城”，再一次見證了競技體育的榮耀與夢想，凝聚了人類社會的團結(jié)與友誼．2022年2月4日的北京冬奧會開幕式在全國44個上星頻道播出，總收視率達20.1%，收視份額達68.2%，電視直播觀眾規(guī)模約為316000000人．將316000000這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．316×106B．31.6×107C．3.16×109D．3.16×108
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
【解答】解：將316000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：3.16×108．
故選：D．
【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．（2分）如果|m|＝3，那么m的值為（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵|m|＝3，
∴m＝±3．
故選C．
【點評】本題考查的是絕對值，熟知絕對值的定義是解題關(guān)鍵．
5．（2分）已知P點在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣4，把P點向左移動3個單位長度后得到點P'點，那么P'點表示的數(shù)的相反數(shù)是（ ）
A．1B．7C．﹣1D．0
【分析】利用點P向左移動3個單位長度得到P′數(shù)為﹣4﹣3＝﹣7，再利用相反數(shù)的知識即可求解．
【解答】解：∵P點在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣4，把P點向左移動3個單位長度后得到點P'點，
∴點P′表示的數(shù)為﹣4﹣3＝﹣7，
則點P′表示的數(shù)的相反數(shù)為7．
故選：B．
【點評】本題主要考查數(shù)軸與相反數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸與相反數(shù)的知識．
6．（2分）把算式中的后三個數(shù)放入前面帶有“﹣”的括號內(nèi)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)添括號法則：括號外面是減號，括到括號里的各項都改變符號．
【解答】解：＝3﹣（﹣+），
故選：D．
【點評】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運算，掌握把有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法，巧妙的運用添括號法則是解題關(guān)鍵．
7．（2分）已知：|m﹣1|+（n+2）2＝0，則mn的值為（ ）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求m、n的值，然后相乘計算即可得解．
【解答】解：由題意得，m﹣1＝0，n+2＝0，
解得m＝1，n＝﹣2，
所以mn＝1×（﹣2）＝﹣2．
故選：A．
【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．
8．（2分）如圖，四個有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為M，N，P，Q，若點M，N表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示絕對值最小的數(shù)的點是（ ）
A．點 MB．點 PC．點 ND．點 Q
【分析】根據(jù)相反數(shù)定義可得原點O在M、N的中點處，進而可得P點距離原點最近，因此表示絕對值最小的數(shù)的點是Q．
【解答】解：∵點M，N表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，
∴原點O在M、N的中點處，
∴圖中表示絕對值最小的數(shù)的點是Q．
故選D．
【點評】此題主要考查了絕對值，關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．
二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）
9．（2分）月球表面的白天平均溫度為零上126℃，夜間平均溫度為零下150℃．如果零上126℃記作+126℃，那么零下150℃應(yīng)該記作 ﹣150 ℃．
【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．
【解答】解：“正”和“負”相對．零上126℃，記作+126℃；夜間平均溫度為零下150℃，記作﹣150℃．
故答案為：﹣150．
【點評】解題關(guān)鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量．
10．（2分）比較大小：﹣6 ＜ ﹣5， ＜ 0．
【分析】根據(jù)負數(shù)比較大小的法則進行比較即可．
【解答】解：∵|﹣6|＝6，|﹣5|＝5，6＞5，
∴﹣6＜﹣5；
∵﹣是負數(shù)，
∴﹣＜0．
故答案為：＜，＜．
【點評】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知負數(shù)比較大小的法則是解答此題的關(guān)鍵．
11．（2分）化簡＝ ﹣ ．
【分析】利用有理數(shù)的除法法則計算，先確定符號，再把絕對值相除．
【解答】解：原式＝﹣，
故答案為：﹣．
【點評】本題考查了有理數(shù)的除法運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的除法法則．
12．（2分）祖沖之是我國南北朝時期著名科學(xué)家，他推算出圓周率π的值在3.1415926和3.1415927之間．如果用四舍五入法把3.1415926精確到0.001，所得到的近似數(shù)為 3.142 ．
【分析】根據(jù)近似數(shù)精確到哪一位，應(yīng)當(dāng)看末位數(shù)字實際在哪一位，找出0.001位上的數(shù)字，再通過四舍五入即可得出答案．
【解答】解：3.1415926取近似數(shù)，精確到0.001，得到的結(jié)果是3.142；3.1415927取近似數(shù)，精確到0.001，得到的結(jié)果是3.142；
所以用四舍五入法對圓周率π取近似數(shù)，精確到0.001，得到的數(shù)為3.142．
故答案為：3.142．
【點評】此題考查了近似數(shù)與有效數(shù)字，用到的知識點是四舍五入法取近似值，關(guān)鍵是找出末位數(shù)字．
13．（2分）計算：（﹣1）2023＝ ﹣1 ，（﹣2）2＝ 4 ．
【分析】根據(jù)乘方的符號法則計算第一個，根據(jù)乘方的意義計算第二個．
【解答】解：（﹣1）2023＝﹣1，
（﹣2）2＝4．
故答案為：﹣1，4．
【點評】本題考查了乘方，掌握乘方的符號法則和乘方的意義是解決本題的關(guān)鍵．
14．（2分）大于且小于或等于1的整數(shù)有 ﹣2，﹣1，0，1 （寫出具體的數(shù)）．
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，求出所有符合題意的數(shù)．
【解答】解：大于且小于或等于1的整數(shù)有：﹣2，﹣1，0，1．
故答案為：﹣2，﹣1，0，1．
【點評】本題考查了數(shù)軸和整數(shù)，正確理解整數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）若m，n互為相反數(shù)，則5m+5n+3＝ 3 ．
【分析】直接利用相反數(shù)的定義分析得出答案．
【解答】解：∵m，n互為相反數(shù)，
∴m+n＝0，
∴5m+5n+3＝5（m+n）+3＝3．
故答案為：3．
【點評】此題主要考查了相反數(shù)，正確把握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
16．（2分）如圖所示是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成，其中部分小正方形涂有陰影，按照這樣的規(guī)律，第4個圖案中有 14 個涂有陰影的小正方形，第n個圖案中有 3n+2 個涂有陰影的小正方形（用含有n的代數(shù)式表示）．
【分析】通過分析圖案個數(shù)與涂有陰影的小正方形的個數(shù)之間的關(guān)系即可得出結(jié)論．
【解答】解：由圖形可知：
第一個圖案有涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：1+3+1＝5，
第二個圖案有涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：1+3×2+1＝8，
第三個圖案有涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：1+3×3+1＝11，
∴第四個圖案有涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：1+3×4+1＝14，
第n個圖案有涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：1+3n+1＝3n+2，
故答案為：14；3n+2．
【點評】本題主要考查了圖形與數(shù)字的變化規(guī)律，列代數(shù)式，通過分析找到圖案個數(shù)與涂有陰影的小正方形的個數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）
17．（5分）計算：﹣2+（﹣3）﹣（﹣5）．
【分析】直接利用有理數(shù)的加減運算法則計算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2﹣3+5
＝﹣5+5
＝0．
【點評】此題主要考查了有理數(shù)的加減混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
18．（5分）計算：﹣3﹣4+19﹣11．
【分析】利用有理數(shù)的加、減運算法則計算即可．
【解答】解：原式＝﹣7+19﹣11
＝12﹣11
＝1．
【點評】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，做題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的加、減運算法則．
19．（5分）計算：﹣8+5×（﹣2）﹣（﹣4）×3÷（﹣6）．
【分析】先算乘除，后算加減，即可解答．
【解答】解：﹣8+5×（﹣2）﹣（﹣4）×3÷（﹣6）
＝﹣8+（﹣10）﹣（﹣12）÷（﹣6）
＝﹣18﹣2
＝﹣20．
【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）計算：（﹣2.5）×38×（﹣4）÷（﹣19）．
【分析】利用有理數(shù)的乘、除運算法則計算即可
【解答】解：原式＝（﹣2.5）×38×（﹣4）×（﹣）
＝﹣（2.5×4）×（38×）
＝﹣（10×2）
＝﹣20．
【點評】本題考查了有理數(shù)的乘法、除法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)乘法、除法法則．
21．（5分）計算：．
【分析】利用乘法分配律，進行計算即可解答．
【解答】解：
＝18×+18×﹣18×+18×
＝6+4﹣15+7
＝2．
【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）計算：．
【分析】先算乘方，再算乘除，后算加減，有括號先算括號里，即可解答．
【解答】解：
＝﹣1﹣[4﹣（1﹣）]×（﹣）
＝﹣1﹣（4﹣）×（﹣）
＝﹣1﹣×（﹣）
＝﹣1+
＝﹣．
【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
23．（6分）在抗洪搶險中，中國人民解放軍駕駛沖鋒舟沿東西方向的河流搶救受災(zāi)群眾，他們早晨從A地出發(fā)，晚上到達B地，規(guī)定向東為正，向西為負，航行記錄如下（單位：km）：
+5，﹣2，﹣9，+7，﹣8，+14，﹣3，﹣6．
（1）B地在A地的哪側(cè)？相距多遠？
（2）若沖鋒舟每千米耗油0.5升，則這一天共消耗了多少升油？
【分析】（1）根據(jù)題意，將題目中的數(shù)據(jù)相加，看最后的結(jié)果，即可解答本題；
（2）將題目中的各個數(shù)據(jù)的絕對值相加，再乘以0.5即可解答本題．
【解答】解：（1）由題意可得，
（+5）+（﹣2）+（+7）+（﹣8）+（+14）+（﹣3）+（﹣6）
＝（5+7+14）﹣（2+9+8+3+6）
＝26﹣28
＝﹣2，
即B在A地的西方，相距2km；
（2）由題意可得，
0.5×（|﹣16|+|﹣7|+|12|+|﹣9|+|6|+|10|+|﹣11|+|9|）＝0.46×80
＝0.5×54
＝27（升），
答：這一天共消耗了27升油．
【點評】本題考查了正數(shù)和負數(shù)以及有理數(shù)的混合運算，正確列出算式并掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
24．（6分）畫數(shù)軸并在數(shù)軸上標出下列各數(shù)，再用“＜”把這些數(shù)連接起來．
，+2.5，0，﹣1，|﹣2|
【分析】先把各點在數(shù)軸上表示出來，再根據(jù)數(shù)軸的特點即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖所示：
故﹣＜﹣1＜0＜|﹣2|＜+2.5．
【點評】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大是解題關(guān)鍵．
25．（6分）已知a為有理數(shù)，定義運算符號“※”：當(dāng)a＞﹣1時，※a＝﹣a；當(dāng)a＜﹣1時，※a＝a；當(dāng)a＝﹣1時，※a＝0．
（1）※3＝ ﹣3 ；
（2）※（﹣5+4）＝ 0 ；
（3）計算：※[7+※（3﹣5）]．
【分析】（1）根據(jù)定義的新運算，即可解答；
（2）根據(jù)定義的新運算，進行計算即可解答；
（3）根據(jù)定義的新運算，進行計算即可解答．
【解答】解：（1）※3＝﹣3，
故答案為：﹣3；
（2）※（﹣5+4）
＝※（﹣1）
＝0，
故答案為：0；
（3）※[7+※（3﹣5）]
＝※[7+※（﹣2）]
＝※[7+（﹣2）]
＝※5
＝﹣5．
【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，理解定義的新運算是解題的關(guān)鍵．
26．（6分）如圖，一只甲蟲在6×6的方格（每小格邊長為1）上沿著網(wǎng)格線運動．它從A處出發(fā)去看望B、C、D處的其它甲蟲，規(guī)定：向上和向右走為正，向下和向左走為負．例如：從A到B記為：A→B（+2，+4），表示從A點先向右平移2個單位，再向上平移4個單位，反之從B到A記為：B→A（﹣2，﹣4），括號中第一個數(shù)表示左右方向，第二個數(shù)表示上下方向，那么圖中：
（1）C→D（ +2 ， +1 ），B→C（ +1 ， ﹣3 ），D→A（ ﹣5 ， ﹣2 ）；
（2）若這只甲蟲的行走路線為A→B→C→D，則該甲蟲走過的最少路程為 13 ；
（3）若這只甲蟲從A處去甲蟲P處的行走路線依次為（+1，+2），（+3，﹣1），（﹣2，+3），（+4，0），請在圖中標出P的位置．
【分析】（1）根據(jù)規(guī)定，可得結(jié)論；
（2）利用絕對值求和即可；
（3）根據(jù)要求作出圖形，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）1）C→D（+2，+1），B→C（+1，﹣3），D→C（﹣1，﹣2）；
故答案為：+2，+1，+1，﹣3，﹣1，﹣2；
（2）若這只甲蟲的行走路線為A→B→C→D，則該甲蟲走過的最少路程＝+2+4+1+3+2+1＝13；
故答案為：13；
（3）如圖，
點P即為所求．
【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，正數(shù)與負數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
27．（7分）觀察下列各式：
32﹣31＝2×31…①
33﹣32＝2×32…②
34﹣33＝2×33…③
…
探索以上式子的規(guī)律：
（1）寫出第5個等式： 36﹣35＝2×35 ；
（2）試寫出第n（n為正整數(shù)）個等式： 3n+1﹣3n＝2×3n ，并說明第n個等式成立；
（3）31+32+33+…+32022＝ ． ．
【分析】（1）根據(jù)規(guī)律，可以寫出等式；
（2）根據(jù)規(guī)律，寫出等式，再證明等式左邊等于右邊即可；
（3）將等式①②③，左邊加左邊，右邊加右邊，再進行變形計算，即可得出其值．
【解答】解：（1）根據(jù)規(guī)律可得，
第5個式子為：36﹣35＝2×35．
故答案為：36﹣35＝2×35；
（2）根據(jù)規(guī)律可得，
第n（n為正整數(shù)）個等式為：3n+1﹣3n＝2×3n，證明如下：
左邊＝3n（3﹣1）＝2×3n＝右邊，
∴3n+1﹣3n＝2×3n；
（3）根據(jù)規(guī)律可得，
第1個等式：32﹣31＝2×31，
第2個等式：33﹣32＝2×32，
第3個等式：34﹣33＝2×33，
……，
第n個等式：3n+1﹣3n＝2×3n，
將第1，2，3，...，n等式左邊加左邊，右邊加右邊可得，
3n+1﹣31＝2×31+2×32+2×33+...+2×3n，整理得，
2×（31+32+33+...+3n）＝3n+1﹣3，
∴31+32+33+...+3n＝，
∴31+32+33+…+32022＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了數(shù)的變化規(guī)律，利用等式的性質(zhì)錯差相加是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．
28．（7分）【概念學(xué)習(xí)】
點A，B，C為數(shù)軸上的三點，如果點C到A的距離是點C到B的距離的2倍，那么我們就稱點C是{A、B}的偶點．
如圖1，點A表示的數(shù)為﹣2，點B表示的數(shù)為1，表示0的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是{A、B}的偶點；表示﹣1的點D到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點D就不是{A、B}的偶點，但點D是{B、A}的偶點．
【初步探究】
已知如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點，點M表示的數(shù)為﹣1，點N表示的數(shù)為5，若點F是{M、N}的偶點，回答下列問題：
（1）當(dāng)F在點M，N之間，點F表示的數(shù)為 3 ；
（2）當(dāng)F為數(shù)軸上一點，點F表示的數(shù)為 3或11 ．
【深入思考】
如圖3，P、Q為數(shù)軸上兩點，點P表示的數(shù)為﹣20，點Q表示的數(shù)為40，現(xiàn)有一個動點E從點Q出發(fā)，以每秒2個單位的速度向左運動，到達點P停止．若運動時間為t，求當(dāng)t為何值時，P，Q，E中恰有一個點為其余兩點的偶點？
【分析】【初步探究】
（1）設(shè)F表示的數(shù)為x，且﹣1＜x＜5，根據(jù)偶點的新定義建立方程求解即可；
（2）設(shè)F表示的數(shù)為x，根據(jù)偶點的新定義建立方程求解即可；
【深入思考】
由題意知：QE＝2t，PQ＝40﹣（﹣20）＝60，EP＝PQ﹣QE＝60﹣2t，分四種情況：當(dāng)點E是{P、Q}的偶點時，當(dāng)點E是{Q、P}的偶點時，當(dāng)點Q是{P、E}的偶點時，當(dāng)點P是{Q、E}的偶點時，分別根據(jù)偶點的新定義建立方程求解即可．
【解答】解：【初步探究】
（1）設(shè)F表示的數(shù)為x，且﹣1＜x＜5，
∵點M表示的數(shù)為﹣1，點N表示的數(shù)為5，
∴FM＝x﹣（﹣1）＝x+1，F(xiàn)N＝5﹣x，
點F是{M、N}的偶點，
∴FM＝2FN，
∴x+1＝2（5﹣x），
解得：x＝3，
故答案為：3；
（2）設(shè)F表示的數(shù)為x，
∵點M表示的數(shù)為﹣1，點N表示的數(shù)為5，
∴FM＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，F(xiàn)N＝|5﹣x|，
點F是{M、N}的偶點，
∴FM＝2FN，
∴|x+1|＝2|5﹣x|，
解得：x＝3或11，
故答案為：3或11．
【深入思考】
由題意知：QE＝2t，PQ＝40﹣（﹣20）＝60，
∴EP＝PQ﹣QE＝60﹣2t，
當(dāng)點E是{P、Q}的偶點時，EP＝2QE，
∴60﹣2t＝2×2t，
解得：t＝10；
當(dāng)點E是{Q、P}的偶點時，QE＝2EP，
∴2t＝2（60﹣2t），
解得：t＝20；
當(dāng)點Q是{P、E}的偶點時，PQ＝2QE，
∴60＝2×2t，
解得：t＝15；
當(dāng)點P是{Q、E}的偶點時，PQ＝2EP，
∴60＝2（60﹣2t），
解得：t＝15；
綜上所述，當(dāng)t為10或15或20時，P，Q，E中恰有一個點為其余兩點的偶點．
【點評】本題考查了數(shù)軸及數(shù)軸上兩點的距離、動點問題，認真理解并運用偶點的新定義，運用分類討論思想思考解決問題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/6/18 11:19:25；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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