1．（2分）在下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A．B．C．0D．9
2．（2分）36的平方根是（ ）
A．6B．﹣6C．4或9D．±6
3．（2分）二次根式中，字母a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜1B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)≥1D．a(chǎn)＞1
4．（2分）下列分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）下列各式從左到右的變形正確的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）若最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則x的值為（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
7．（2分）如果把分式中的x，y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（ ）
A．?dāng)U大3倍B．不變C．縮小3倍D．?dāng)U大2倍
8．（2分）張華在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子的最小值是2”．其推導(dǎo)方法如下：在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)是，矩形的周長(zhǎng)是；當(dāng)矩形成為正方形時(shí)，就有，解得x＝1，這時(shí)矩形的周長(zhǎng)最小，因此的最小值是2．模仿張華的推導(dǎo)，你求得式子的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）若分式的值是0，則x的值為 ．
10．（2分）比較大小：32 23．
11．（2分）與的最簡(jiǎn)公分母是 ．
12．（2分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x3﹣5x＝ ．
13．（2分）若，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的x的值 ．
14．（2分）已知﹣＝3，則分式的值為 ．
15．（2分）若的小數(shù)部分為a，整數(shù)部分為b，則的值為 ．
16．（2分）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定f（x）＝．f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝，則：
（1）f（x）+f（）＝ ；
（2）f（2020）+f（2019）+…+f（2）+f（1）+f（）+…+f（）+f（）＝ ．
三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）
17．（5分）計(jì)算：．
18．（5分）計(jì)算：．
19．（5分）計(jì)算：．
20．（5分）化簡(jiǎn)：（﹣）÷．
21．（5分）計(jì)算：．
22．（5分）解方程：+1＝．
23．（6分）先化簡(jiǎn)分式，再?gòu)末?，﹣1，1，這4個(gè)數(shù)中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值．
24．（6分）列方程解應(yīng)用題
2022年北京市教育委員會(huì)印發(fā)《關(guān)于推進(jìn)“互聯(lián)網(wǎng)+基礎(chǔ)教育”的工作方案》的通知．《方案》中指出：雙師課堂是在空中課堂基礎(chǔ)上的深化，將傳統(tǒng)單師授課模式變革為名師團(tuán)隊(duì)支持下新型教學(xué)場(chǎng)景．某校為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，利用暑期在各班安裝能夠進(jìn)行雙師教學(xué)的電腦．該校南樓安裝的48臺(tái)由甲隊(duì)完成，北樓安裝的30臺(tái)由乙隊(duì)完成．已知甲隊(duì)比乙隊(duì)每天多安裝3臺(tái)，且兩隊(duì)同時(shí)開工，恰好同時(shí)完成任務(wù)．甲、乙兩隊(duì)每天各安裝能夠進(jìn)行雙師教學(xué)多少臺(tái)？
25．（6分）我們之前學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，知道兩個(gè)數(shù)的乘積為1則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．在學(xué)習(xí)二次根式的過程中，小明研究發(fā)現(xiàn)有一些特殊的無理數(shù)之間具有互為倒數(shù)的關(guān)系．例如：由，可得與互為倒數(shù)，即或，類似地，，可得或．
根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題：
（1）＝ ，＝ （n為正整數(shù)）；
（2）若，則a＝ ；
（3）求的值．
26．（6分）現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)：先閱讀下面的材料，然后解答問題：通過觀察，發(fā)現(xiàn)方程：x+的解為x1＝2，x2＝；x+的解為x1＝3，x2＝；x+的解為x1＝4，x2＝；
（1）猜想關(guān)于x的方程x+的解是 ；
（2）猜想關(guān)于x的方程x+的解是 ；
（3）用上述方法求關(guān)于x的方程的解．
27．（7分）小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是小石的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：＝ （填寫運(yùn)算結(jié)果）；
（2）觀察、歸納，得出猜想．
如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為： ；
（3）證明你的猜想．
（4）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律：
①化簡(jiǎn)：＝ ；
②若（a，b均為正整數(shù)），則a﹣b的值為 ．
28．（7分）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”．如：，則是“和諧分式”．
（1）下列分式中，屬于“和諧分式”的是 （填序號(hào)）；
①②③④
（2）請(qǐng)將“和諧分式”化為一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，并寫出化簡(jiǎn)過程；
（3）應(yīng)用：先化簡(jiǎn)，并求x取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)．
2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)雙城融合學(xué)區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).
1．（2分）在下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A．B．C．0D．9
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【解答】解：A、是分?jǐn)?shù)，所以是有理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是開方開不盡的數(shù)，是無理數(shù)，故本選項(xiàng)正確；
C、0是整數(shù)，是有理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、9是整數(shù)，是有理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是無理數(shù)的定義，初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．
2．（2分）36的平方根是（ ）
A．6B．﹣6C．4或9D．±6
【分析】根據(jù)平方根的定義進(jìn)行解答即可．
【解答】解：36的平方根是±6．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平方根，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵，注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根．
3．（2分）二次根式中，字母a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜1B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)≥1D．a(chǎn)＞1
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0，即可求a的取值范圍．
【解答】解：根據(jù)題意得：a﹣1≥0，解得a≥1．故選C．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．
4．（2分）下列分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用分式的基本性質(zhì)結(jié)合最簡(jiǎn)分式的定義：分子與分母不含公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式，進(jìn)而判斷即可．
【解答】解：A、＝x，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；
B、＝，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；
C、＝x﹣y，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；
D、，是最簡(jiǎn)分式，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了最簡(jiǎn)分式，正確掌握最簡(jiǎn)分式的定義（分子與分母不含公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式）是解題關(guān)鍵．
5．（2分）下列各式從左到右的變形正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)依次進(jìn)行判斷即可，注意乘除一個(gè)數(shù)或代數(shù)式時(shí)要保證不為0．
【解答】解：A、當(dāng)c≠0時(shí)，才成立，所以選項(xiàng)A不正確；
B、，所以選項(xiàng)B不正確；
C、當(dāng)a＝b時(shí)，才成立，所以選項(xiàng)C不正確；
D、∵a是分母，
∴a≠0，
∴，
所以選項(xiàng)D正確；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是關(guān)鍵．
6．（2分）若最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則x的值為（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，
∴x+3＝2x，
解得：x＝3，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式和最簡(jiǎn)二次根式，能根據(jù)同類二次根式的定義得出x+3＝2x是解此題的關(guān)鍵，注意：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式．
7．（2分）如果把分式中的x，y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（ ）
A．?dāng)U大3倍B．不變C．縮小3倍D．?dāng)U大2倍
【分析】依題意，分別用3x和3y去代換原分式中的x和y，利用分式的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：分別用3x和3y去代換原分式中的x和y，
得＝＝，
可見新分式與原分式相等．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)．
規(guī)律總結(jié)：解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．
8．（2分）張華在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子的最小值是2”．其推導(dǎo)方法如下：在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)是，矩形的周長(zhǎng)是；當(dāng)矩形成為正方形時(shí)，就有，解得x＝1，這時(shí)矩形的周長(zhǎng)最小，因此的最小值是2．模仿張華的推導(dǎo)，你求得式子的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】仿照題干中的方法解答即可．
【解答】解：（x＞0）＝x+，
在面積是，4的長(zhǎng)方形中設(shè)長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為，
長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是2（x+），
∵在面積一定的長(zhǎng)方形中，正方形的周長(zhǎng)最短，
∴當(dāng)長(zhǎng)方形成為正方形時(shí)，就有x＝（x＞0），
解得：x＝2，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2是原方程的解，
這時(shí)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)2（x+）＝8最小，
因此x+（x＞0）的最小值是4．
∴式子（x＞0）的最小值是4．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題干中的方法并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）若分式的值是0，則x的值為 2 ．
【分析】根據(jù)分式的值為零的條件得到x﹣2＝0且x≠0，易得x＝2．
【解答】解：∵分式的值是0，
∴x﹣2＝0且x≠0，
∴x＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的值為零的條件：當(dāng)分式的分母不為零，分子為零時(shí)，分式的值為零．
10．（2分）比較大?。?2 ＞ 23．
【分析】分別計(jì)算32和23，再比較大小即可．
【解答】解：∵32＝9，23＝8，
∴9＞8，
即32＞23．
故答案為：＞．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的大小比較，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．
11．（2分）與的最簡(jiǎn)公分母是 6a2b3c ．
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)公分母的定義解決此題．
【解答】解：根據(jù)最簡(jiǎn)公分母的定義，
這兩個(gè)分式的的最簡(jiǎn)公分母為6a2b3c．
故答案為：6a2b3c．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查最簡(jiǎn)公分母的定義，熟練掌握最簡(jiǎn)公分母的定義是解決本題的關(guān)鍵．
12．（2分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x3﹣5x＝ x（x+）（x﹣） ．
【分析】首先提取公因式，再進(jìn)一步運(yùn)用平方差公式．
【解答】解：原式＝x（x2﹣5）＝x（x+）（x﹣）．
故答案為x（x+）（x﹣）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解．注意：5＝（）2．
13．（2分）若，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的x的值 1 ．
【分析】先根據(jù)二次根式化簡(jiǎn)，再結(jié)合分母不為0即可得出答案．
【解答】解：，
∴|x|＝x，且x≠0
∴x為大于0的一切自然數(shù)．
故答案為：1（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式和分式的定義，熟練掌握二次根式和分式的定義是解決此題的關(guān)鍵．
14．（2分）已知﹣＝3，則分式的值為 ．
【分析】由已知條件可知xy≠0，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，先將分式的分子、分母同時(shí)除以xy，再把﹣＝3代入即可．
【解答】解：∵﹣＝3，
∴x≠0，y≠0，
∴xy≠0．
∴＝＝＝＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)及求分式的值的方法，把﹣＝3作為一個(gè)整體代入，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．
15．（2分）若的小數(shù)部分為a，整數(shù)部分為b，則的值為 5 ．
【分析】確定a、b的值，代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
又∵a是的小數(shù)部分，b是它的整數(shù)部分，
∴a＝﹣3，b＝3，
∴＝（﹣3）（+3）＝14﹣9＝5，
故答案為5．
【點(diǎn)評(píng)】考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，無理數(shù)的估算，得出的整數(shù)部分和小數(shù)部分，即a、b的值，是正確計(jì)算的前提．
16．（2分）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定f（x）＝．f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝，則：
（1）f（x）+f（）＝ 1 ；
（2）f（2020）+f（2019）+…+f（2）+f（1）+f（）+…+f（）+f（）＝ 2019.5 ．
【分析】（1）利用題目給出的已知條件可知，f（x）+f（）＝+＝+＝1；
（2）利用（1）得到的規(guī)律可化簡(jiǎn)計(jì)算出結(jié)果．
【解答】解：（1）f（x）+f（）
＝+
＝+
＝1；
故答案為：1；
（2）原式＝f（2020）+f（）+f（2019）+f（）+…+f（2）+f（）+f（1）
＝1+1+1+…+1+
＝2019+
＝2019.5．
故答案為：2019.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的加減，有理數(shù)的加減，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟練地掌握分式的加減運(yùn)算．
三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）
17．（5分）計(jì)算：．
【分析】先根據(jù)乘方法則計(jì)算，再把除法化為乘法，再約分得到答案．
【解答】解：原式＝﹣??
＝﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．
18．（5分）計(jì)算：．
【分析】先把分母化成同分母，再根據(jù)同分母相加減，分母不變，分子相加減，即可得出答案．
【解答】解：
＝﹣
＝
＝
＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的加減，熟練掌握分式加減的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
19．（5分）計(jì)算：．
【分析】根據(jù)二次根式的乘法、除法法則運(yùn)算，注意結(jié)果是最簡(jiǎn)二次根式．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法則是解題關(guān)鍵．
20．（5分）化簡(jiǎn)：（﹣）÷．
【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算即可求出答案．
【解答】解：原式＝×x﹣×x
＝﹣
＝
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
21．（5分）計(jì)算：．
【分析】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：
＝+3﹣3+（﹣2）
＝+3﹣3﹣2
＝﹣+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地化簡(jiǎn)各式是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）解方程：+1＝．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4x+2x+6＝7，
移項(xiàng)合并得：6x＝1，
解得：x＝，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是分式方程的解．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．
23．（6分）先化簡(jiǎn)分式，再?gòu)末?，﹣1，1，這4個(gè)數(shù)中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值．
【分析】先根據(jù)分式的加法和除法法則化簡(jiǎn)題目中的式子，然后在﹣2、﹣1、1、這4個(gè)數(shù)中選取使原分式有意義的值代入計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
根據(jù)分式有意義的條件，a≠﹣2且a≠﹣1且a≠1，且a≠0，
所以當(dāng)時(shí)，
原式＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式有意義的條件、分式的化簡(jiǎn)求值以及最簡(jiǎn)二次根式的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則．
24．（6分）列方程解應(yīng)用題
2022年北京市教育委員會(huì)印發(fā)《關(guān)于推進(jìn)“互聯(lián)網(wǎng)+基礎(chǔ)教育”的工作方案》的通知．《方案》中指出：雙師課堂是在空中課堂基礎(chǔ)上的深化，將傳統(tǒng)單師授課模式變革為名師團(tuán)隊(duì)支持下新型教學(xué)場(chǎng)景．某校為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，利用暑期在各班安裝能夠進(jìn)行雙師教學(xué)的電腦．該校南樓安裝的48臺(tái)由甲隊(duì)完成，北樓安裝的30臺(tái)由乙隊(duì)完成．已知甲隊(duì)比乙隊(duì)每天多安裝3臺(tái)，且兩隊(duì)同時(shí)開工，恰好同時(shí)完成任務(wù)．甲、乙兩隊(duì)每天各安裝能夠進(jìn)行雙師教學(xué)多少臺(tái)？
【分析】設(shè)乙隊(duì)每天安裝x臺(tái)，則甲隊(duì)每天安裝（x+3）臺(tái)，根據(jù)兩隊(duì)同時(shí)開工，恰好同時(shí)完成任務(wù)，即所用的時(shí)間相等，即可列方程求解．
【解答】解：設(shè)乙隊(duì)每天安裝x臺(tái)，則甲隊(duì)每天安裝（x+3）臺(tái)．
由題意得：＝，
解得：x＝5．
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝5是原方程的根，
則x+3＝8．
答：甲隊(duì)每天安裝能夠進(jìn)行雙師教學(xué)的電腦8臺(tái)，乙隊(duì)每天安裝能夠進(jìn)行雙師教學(xué)的電腦5臺(tái)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．
25．（6分）我們之前學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，知道兩個(gè)數(shù)的乘積為1則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．在學(xué)習(xí)二次根式的過程中，小明研究發(fā)現(xiàn)有一些特殊的無理數(shù)之間具有互為倒數(shù)的關(guān)系．例如：由，可得與互為倒數(shù)，即或，類似地，，可得或．
根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題：
（1）＝ ﹣ ，＝ ﹣ （n為正整數(shù)）；
（2）若，則a＝ ± ；
（3）求的值．
【分析】（1）仿照閱讀材料分母有理化即可；
（2）解關(guān)于m的方程并檢驗(yàn)，可得答案；
（3）先分母有理化，再相加即可．
【解答】解：（1）＝＝，
＝＝﹣，
故答案為：﹣，﹣；
（2）∵，
∴（2+a）（2﹣a）＝1，
∴12﹣a2＝1，
∴a＝±，
經(jīng)檢驗(yàn)，a＝±都滿足題意，
故答案為：±；
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣++﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能把二次根式分母有理化．
26．（6分）現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)：先閱讀下面的材料，然后解答問題：通過觀察，發(fā)現(xiàn)方程：x+的解為x1＝2，x2＝；x+的解為x1＝3，x2＝；x+的解為x1＝4，x2＝；
（1）猜想關(guān)于x的方程x+的解是 x1＝5，x2＝ ；
（2）猜想關(guān)于x的方程x+的解是 x1＝a，x2＝ ；
（3）用上述方法求關(guān)于x的方程的解．
【分析】（1）通過給定的例題即可確定；
（2）通過給定的例題即可確定；
（3）先將原方程變形，通過前面的方法可得x+1＝a+1或x+1＝，進(jìn)一步求解即可．
【解答】解：（1）關(guān)于x的方程x+的解為x1＝5，x2＝，
故答案為：x1＝5，x2＝；
（2）關(guān)于x的方程x+的解是x1＝a，x2＝，
故答案為：x1＝a，x2＝；
（3）關(guān)于x的方程化為＝，
∴x+1＝a+1或x+1＝，
∴x1＝a，x2＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，看懂給定的例題中方程的解是解題的關(guān)鍵．
27．（7分）小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是小石的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：＝ 5 （填寫運(yùn)算結(jié)果）；
（2）觀察、歸納，得出猜想．
如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為： ＝ ；
（3）證明你的猜想．
（4）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律：
①化簡(jiǎn)：＝ 9 ；
②若（a，b均為正整數(shù)），則a﹣b的值為 ﹣57 ．
【分析】（1）根據(jù)規(guī)律可以直接寫結(jié)果；
（2）根據(jù)規(guī)律，歸納可得其運(yùn)算規(guī)律；
（3）證明等式的左邊等于右邊即可；
（4）①根據(jù)運(yùn)算規(guī)律，可以直接寫出的值，再進(jìn)行計(jì)算；
②根據(jù)運(yùn)算規(guī)律，求出a、b的值，再進(jìn)行計(jì)算即可得其值．
【解答】解：（1）根據(jù)規(guī)律可得，
＝5．
故答案為：5；
（2）運(yùn)算規(guī)律為：＝．
故答案為：＝．
（3）＝，證明如下：
∵左邊＝＝＝＝＝右邊，
∴＝；
（4）①
＝9×
＝9
＝9
＝9．
故答案為：9；
②∵，
∴a＝8，b＝65，
∴a﹣b＝8﹣65＝﹣57．
故答案為：﹣57．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)的變化規(guī)律，通過觀察、歸納、得出猜想、證明結(jié)論、運(yùn)用規(guī)律是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度適中．
28．（7分）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”．如：，則是“和諧分式”．
（1）下列分式中，屬于“和諧分式”的是 ②③ （填序號(hào)）；
①②③④
（2）請(qǐng)將“和諧分式”化為一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，并寫出化簡(jiǎn)過程；
（3）應(yīng)用：先化簡(jiǎn)，并求x取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)和諧分式的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）利用完全平方公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（3）先利用異分母分式加減法法則計(jì)算括號(hào)里，再算括號(hào)外，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）①＝+＝1+；
②＝﹣＝1﹣；
③＝＝﹣＝1﹣；
④＝+＝+；
∴上列分式中，屬于“和諧分式”的是②③，
故答案為：②③；
（2）
＝
＝
＝﹣
＝x+3﹣；
（3）
＝??
＝??
＝
＝
＝﹣
＝1﹣，
當(dāng)x+6＝±1或x+6＝±3時(shí)，該式的值為整數(shù)，
此時(shí)x＝﹣5，﹣7，﹣3或﹣9，
∵分式有意義時(shí)，x≠±3，x≠﹣6，x≠﹣1，x≠0，
∴x＝﹣5，﹣7或﹣9時(shí)，該式的值為整數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，分式的定義，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/10 12:23:17；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111

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