1．（3分）﹣2的相反數(shù)是（ ）
A．2B．﹣C．D．﹣2
2．（3分）北京大興國際機(jī)場于2019年9月25日正式投入使用，新機(jī)場的運行將進(jìn)一步滿足北京地區(qū)的航空運輸需求，增強(qiáng)國家民航競爭力，促進(jìn)南北城區(qū)的均衡發(fā)展和京津冀協(xié)同發(fā)展．根據(jù)規(guī)劃，2022年大興國際機(jī)場客流量將達(dá)到4500萬人次．4500用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．45×102B．4.5×103C．4.5×102D．4.5×104
3．（3分）若x＝2是關(guān)于x的方程2x+3m﹣1＝0的解，則m的值為（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
4．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．3x2﹣x2＝3B．﹣3a2﹣2a2＝﹣a2
C．3（a﹣1）＝3a﹣1D．﹣2（x+1）＝﹣2x﹣2
5．（3分）點A在數(shù)軸上距離原點3個單位長度，且位于原點左側(cè)，若將點A向右移動5個單位長度到點B，此時點B表示的數(shù)是（ ）
A．2B．﹣2C．8D．﹣8
6．（3分）下列等式變形正確的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3
B．如果3a﹣7＝5a，那么3a+5a＝7
C．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6
D．如果2x＝3，那么x＝
7．（3分）下列比較兩個有理數(shù)的大小正確的是（ ）
A．﹣3＞﹣1B．C．D．
8．（3分）下列各式中，去括號正確的是（ ）
A．x+2（y﹣1）＝x+2y﹣1B．x﹣2（y﹣1）＝x+2y+2
C．x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2D．x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y﹣2
9．（3分）把方程3x+＝3﹣去分母正確的是（ ）
A．3x+2（2x﹣1）＝3﹣3（x+1）
B．3x+（2x﹣1）＝3﹣（x+1）
C．18x+（2x﹣1）＝18﹣（x+1）
D．18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1）
10．（3分）已知k為非負(fù)整數(shù)，且關(guān)于x的方程3（x﹣3）＝kx的解為正整數(shù)，則k的所有可能取值為（ ）
A．4，6，12B．4，6C．2，0D．2，0，﹣6
二、填空題（每空2分，共20分）
11．（2分）絕對值等于2的數(shù)是 ．
12．（2分）在一次立定跳遠(yuǎn)測試中，合格的標(biāo)準(zhǔn)是2.00m，小明跳出了2.12m，記為+0.12m；小敏跳出了1.96m，記為 m．
13．（2分）如果單項式y(tǒng)與2x4yn+3是同類項，那么nm的值是 ．
14．（2分）用四舍五入法將3.886精確到0.01，所得到的近似數(shù)為 ．
15．（2分）已知多項式（m﹣1）x4﹣xn+2x﹣5是三次三項式，則（m+1）n＝ ．
16．（2分）若（x+3）2與|y﹣2|互為相反數(shù)，則xy的值為 ．
17．（4分）用“△”定義新運算：對于任意有理數(shù)a、b，當(dāng)a≤b時，都有a△b＝a2b；當(dāng)a＞b時，都有a△b＝ab2，那么，2△6＝ ；＝ ．
18．（4分）我們知道，，…
因此關(guān)于x的方程＝120的解是 ；
當(dāng)于x的方程＝2021的解是 （用含n的式子表示）．
三、計算題（每小題4分，共16分）
19．（4分）計算：（﹣7）+（+5）﹣（﹣19）﹣（+7）．
20．（4分）計算：19×+（﹣1.5）÷（﹣3）2．
21．（4分）計算：﹣18×（﹣+）
22．（4分）．
四、化簡求值（每小題4分，共12分）
23．（4分）化簡：3a2﹣2a+3﹣4a2﹣7a﹣6．
24．（4分）先化簡，再求值：已知a2﹣1＝0，求（5a2+2a﹣1）﹣2（a+a2）的值．
25．（4分）已知x2﹣2y﹣5＝0，求3（x2﹣2xy）﹣（x2﹣6xy）﹣4y的值．
五、解方程（每小題4分，共12分）
26．（4分）解方程：．
27．（4分）解方程：4（x﹣1）﹣3（20﹣x）＝5（x﹣2）
28．（4分）．
六、探究題（每小題5分，共10分）
29．（5分）對于任意有理數(shù)a，b，定義運算：a⊙b＝a（a+b）﹣1，等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如，2⊙5＝2×（2+5）﹣1＝13；（﹣3）⊙（﹣5）＝﹣3×（﹣3﹣5）﹣1＝23．
（1）求（﹣2）⊙3的值；
（2）對于任意有理數(shù)m，n，請你重新定義一種運算“⊕”，使得5⊕3＝20，寫出你定義的運算：m⊕n＝ （用含m，n的式子表示）．
30．（5分）一般情況下，對于數(shù)a和b，，但是對于某些特殊的數(shù)a和b，．我們把這些特殊的數(shù)a和b，稱為“理想數(shù)對”，記作＜a，b＞．例如當(dāng)a＝1，b＝﹣4時，有，那么＜1，﹣4＞就是“理想數(shù)對”．
（1）＜3，﹣12＞是不是“理想數(shù)對”？ ：（填“是”或“不是”）
（2）如果＜2，x＞是“理想數(shù)對”，那么x＝ ；
（3）若＜m，n＞是“理想數(shù)對”，求的值．
七、解答題：（本大題共3道小題，第1小題6分，第2小題7分，第3小題7分，共20分）
31．（6分）如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點，且AB＝8，點A表示的數(shù)為6；動點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，點Q從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù)是 ；
（2）當(dāng)t＝2時，線段PQ的長是 ；
（3）當(dāng)0＜t＜3時，則線段AP＝ ；（用含t的式子表示）
（4）當(dāng)PQ＝AB時，求t的值．
32．（7分）數(shù)學(xué)家歐拉最先把關(guān)于x的多項式用記號f（x）來表示，例如f（x）＝x2+3x﹣5，并把x＝常數(shù)a時多項式的值用f（a）來表示，例如x＝1時多項式x2+3x﹣5的值記為f（1）＝12+3×1﹣5＝1．
（1）若規(guī)定f（x）＝2x﹣3．
①f（﹣1）的值是 ；
②若f（x）＝7，x的值是 ；
（2）若規(guī)定g（x）＝|x﹣2|，h（x）＝|x+3|；
①有沒有能使g（x）＝h（x）成立的x的值，若有，求出此時x的值，若沒有，請說明理由．
②直接寫出g（x）+h（x）的最小值和此時x滿足的條件．
33．（7分）小兵喜歡研究數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)一元一次方程后，他給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的解，y0是關(guān)于y的方程的所有解的其中一個解，且x0，y0滿足x0+y0＝100，則稱關(guān)于y的方程為關(guān)于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x0＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，當(dāng)y0＝1時，x0+y0＝100，所以y2+1＝2為一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．
（1）已知關(guān)于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，
以上哪個方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？
請直接寫出正確的序號是 ．
（2）若關(guān)于y的方程|2y﹣2|+3＝5是關(guān)于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，請求出a的值．
（3）如關(guān)于y的方程2m|y﹣49|+＝m+n是關(guān)于x的一元一次方程mx+45n＝54m的“友好方程”，請直接寫出的值．
2021-2022學(xué)年北京師大附中七年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反數(shù)是（ ）
A．2B．﹣C．D．﹣2
【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義，相反數(shù)是只有符號不同的兩個數(shù)，改變﹣2前面的符號，即可得﹣2的相反數(shù)，再與每個選項比較得出答案．
【解答】解：由相反數(shù)的意義得，﹣2的相反數(shù)是2，
故選：A．
【點評】本題考查了相反數(shù)的意義．解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“﹣”號；一個正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．
2．（3分）北京大興國際機(jī)場于2019年9月25日正式投入使用，新機(jī)場的運行將進(jìn)一步滿足北京地區(qū)的航空運輸需求，增強(qiáng)國家民航競爭力，促進(jìn)南北城區(qū)的均衡發(fā)展和京津冀協(xié)同發(fā)展．根據(jù)規(guī)劃，2022年大興國際機(jī)場客流量將達(dá)到4500萬人次．4500用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．45×102B．4.5×103C．4.5×102D．4.5×104
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：將4500用科學(xué)記數(shù)法表示為4.5×103，
故選：B．
【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
3．（3分）若x＝2是關(guān)于x的方程2x+3m﹣1＝0的解，則m的值為（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x＝2代入方程2x+3m﹣1＝0即可求出m的值．
【解答】解：∵x＝2是關(guān)于x的方程2x+3m﹣1＝0的解，
∴2×2+3m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1．
故選：A．
【點評】本題的關(guān)鍵是理解方程的解的定義，方程的解就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
4．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．3x2﹣x2＝3B．﹣3a2﹣2a2＝﹣a2
C．3（a﹣1）＝3a﹣1D．﹣2（x+1）＝﹣2x﹣2
【分析】各式計算得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：A、原式＝2x2，不符合題意；
B、原式＝﹣5a2，不符合題意；
C、原式＝3a﹣3，不符合題意；
D、原式＝﹣2x﹣2，符合題意，
故選：D．
【點評】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
5．（3分）點A在數(shù)軸上距離原點3個單位長度，且位于原點左側(cè)，若將點A向右移動5個單位長度到點B，此時點B表示的數(shù)是（ ）
A．2B．﹣2C．8D．﹣8
【分析】首先根據(jù)點A在數(shù)軸上距離原點3個單位長度，且位于原點左側(cè)，可得點A表示的數(shù)是﹣3；然后根據(jù)數(shù)軸上“右加左減”的規(guī)律，用點A表示的數(shù)加上5，求出點B表示的數(shù)是多少即可．
【解答】解：∵點A在數(shù)軸上距離原點3個單位長度，且位于原點左側(cè)，
∴點A表示的數(shù)是﹣3
∵將點A向右移動5個單位長度到點B，
∴此時點B表示的數(shù)是：
﹣3+5＝2．
故選：A．
【點評】此題主要考查了數(shù)軸的特征和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在數(shù)軸上，向右為正，向左為負(fù)．
6．（3分）下列等式變形正確的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3
B．如果3a﹣7＝5a，那么3a+5a＝7
C．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6
D．如果2x＝3，那么x＝
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)和各個選項中的式子，可以判斷是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：如果a＝b，那么a+3＝b+3，故選項A錯誤；
如果3a﹣7＝5a，那么3a﹣5a＝7，故選項B錯誤；
如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6，故選項C正確；
如果2x＝3，那么x＝，故選項D錯誤；
故選：C．
【點評】本題考查等式的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確等式的性質(zhì)，會用等式的性質(zhì)解答問題．
7．（3分）下列比較兩個有理數(shù)的大小正確的是（ ）
A．﹣3＞﹣1B．C．D．
【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值越大，這個數(shù)反而越小，可以對A、C、D進(jìn)行判斷；根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小比較的方法進(jìn)行比較即可作出判斷．
【解答】解：A、﹣3＜﹣1，所以A選項錯誤；
B、＜，所以B選項錯誤；
C、﹣＞﹣，所以C選項錯誤；
D、﹣＞﹣，所以D選項正確．
故選：D．
【點評】本題考查了有理數(shù)的大小比較：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零；負(fù)數(shù)的絕對值越大，這個數(shù)反而越?。?br>8．（3分）下列各式中，去括號正確的是（ ）
A．x+2（y﹣1）＝x+2y﹣1B．x﹣2（y﹣1）＝x+2y+2
C．x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2D．x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y﹣2
【分析】根據(jù)去括號的方法，先去大括號，再去中括號，最后去小括號．
【解答】解：A、x+2（y﹣1）＝x+2y﹣2故A不符合題意；
B、x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2，故B不符合題意；
C、x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2，故C符合題意；
D、x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2，故D不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查去括號的方法：去括號時，運用乘法的分配律，先把括號前的數(shù)字與括號里各項相乘，再運用括號前是“+”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是“﹣”，去括號后，括號里的各項都改變符號．順序為先大后?。?br>9．（3分）把方程3x+＝3﹣去分母正確的是（ ）
A．3x+2（2x﹣1）＝3﹣3（x+1）
B．3x+（2x﹣1）＝3﹣（x+1）
C．18x+（2x﹣1）＝18﹣（x+1）
D．18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1）
【分析】方程兩邊乘以6去分母得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：把方程3x+＝3﹣去分母得：18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1），
故選：D．
【點評】此題考查了解一元一次方程，解方程去分母時各項都要乘以各分母的最小公倍數(shù)．
10．（3分）已知k為非負(fù)整數(shù)，且關(guān)于x的方程3（x﹣3）＝kx的解為正整數(shù)，則k的所有可能取值為（ ）
A．4，6，12B．4，6C．2，0D．2，0，﹣6
【分析】方程整理后，根據(jù)方程的解為正整數(shù)確定出k的值即可．
【解答】解：方程去括號得：3x﹣9＝kx，
移項合并得：（3﹣k）x＝9，
解得：x＝，
由x為正整數(shù)，得到k＝2，0，
故選：C．
【點評】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
二、填空題（每空2分，共20分）
11．（2分）絕對值等于2的數(shù)是 ±2 ．
【分析】根據(jù)絕對值的意義求解．
【解答】解：∵|2|＝2，|﹣2|＝2，
∴絕對值等于2的數(shù)為±2．
故答案為±2．
【點評】本題考查了絕對值：若a＞0，則|a|＝a；若a＝0，則|a|＝0；若a＜0，則|a|＝﹣a．
12．（2分）在一次立定跳遠(yuǎn)測試中，合格的標(biāo)準(zhǔn)是2.00m，小明跳出了2.12m，記為+0.12m；小敏跳出了1.96m，記為 ﹣0.04 m．
【分析】明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中超過標(biāo)準(zhǔn)的一個為正，則另一個不到標(biāo)準(zhǔn)的就用負(fù)表示，即可解決．
【解答】解：“正”和“負(fù)”相對，所以小明跳出了2.12m，比標(biāo)準(zhǔn)多0.12m，記為+12m，小敏跳出了1.96m，比標(biāo)準(zhǔn)少0.04m，應(yīng)記作﹣0.04m．
故答案為：﹣0.04．
【點評】考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)．解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．概念：用正數(shù)表示其中一種意義的量，另一種量用負(fù)數(shù)表示；特別地，在用正負(fù)數(shù)表示向指定方向變化的量時，通常把向指定方向變化的量規(guī)定為正數(shù)，而把向指定方向的相反方向變化的量規(guī)定為負(fù)數(shù)．
13．（2分）如果單項式y(tǒng)與2x4yn+3是同類項，那么nm的值是 4 ．
【分析】根據(jù)同類項的概念列式求出m，n，根據(jù)乘方法則計算即可．
【解答】解：由題意得，2m＝4，n+3＝1，
解得，m＝2，n＝﹣2，
則nm＝（﹣2）2＝4，
故答案為：4．
【點評】本題考查的是同類項的概念，有理數(shù)的乘方，所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項叫做同類項．
14．（2分）用四舍五入法將3.886精確到0.01，所得到的近似數(shù)為 3.89 ．
【分析】把千分位上的數(shù)字6進(jìn)行四舍五入即可．
【解答】解：3.886≈3.89（精確到0.01）．
故答案為3.89．
【點評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法；從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．
15．（2分）已知多項式（m﹣1）x4﹣xn+2x﹣5是三次三項式，則（m+1）n＝ 8 ．
【分析】根據(jù)多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)；多項式的組成元素的單項式，即多項式的每一項都是一個單項式，單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù)，如果一個多項式含有a個單項式，次數(shù)是b，那么這個多項式就叫b次a項式進(jìn)行分析即可．
【解答】解：由題意得：m＝1，n＝3，
則（m+1）n＝8．
故答案為：8
【點評】此題主要考查了多項式，關(guān)鍵是掌握多項式的相關(guān)定義．
16．（2分）若（x+3）2與|y﹣2|互為相反數(shù)，則xy的值為 9 ．
【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和等于0列方程求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可得解．
【解答】解：∵（x+3）2與|y﹣2|互為相反數(shù)，
∴（x+3）2+|y﹣2|＝0，
又∵（x+3）2≥0，|y﹣2|≥0，
∴x+3＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣3，y＝2，
∴xy＝（﹣3）2＝9．
故答案為：9．
【點評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)都為0．
17．（4分）用“△”定義新運算：對于任意有理數(shù)a、b，當(dāng)a≤b時，都有a△b＝a2b；當(dāng)a＞b時，都有a△b＝ab2，那么，2△6＝ 24 ；＝ ﹣6 ．
【分析】根據(jù)當(dāng)a≤b時，都有a△b＝a2b；當(dāng)a＞b時，都有a△b＝ab2，可以計算出所求式子的值．
【解答】解：∵2＜6，
∴2△6
＝22×6
＝4×6
＝24，
∵﹣＞﹣3，
∴
＝（﹣）×（﹣3）2
＝（﹣）×9
＝﹣6，
故答案為：24，﹣6．
【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是會運用新定義解答問題．
18．（4分）我們知道，，…
因此關(guān)于x的方程＝120的解是 x＝160 ；
當(dāng)于x的方程＝2021的解是 x＝ （用含n的式子表示）．
【分析】先化簡，再合并同類項，最后將x的系數(shù)化為，進(jìn)而解決此題．
【解答】解：∵＝120，
∴（1﹣）x+．
∴＝120．
∴．
∴x＝160．
∵＝2021，
∴．
∴．
∴．
∴x＝．
故答案為：x＝160，x＝．
【點評】本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
三、計算題（每小題4分，共16分）
19．（4分）計算：（﹣7）+（+5）﹣（﹣19）﹣（+7）．
【分析】先把算式化為省略加號和的形式，再把正數(shù)、負(fù)數(shù)分別相加．
【解答】解：原式＝﹣7+5+19﹣7
＝5+19﹣（7+7）
＝24﹣14
＝10．
【點評】本題考查了有理數(shù)的加減，掌握加法、減法法則是解決本題的關(guān)鍵．
20．（4分）計算：19×+（﹣1.5）÷（﹣3）2．
【分析】原式先計算乘方運算，再計算乘除運算，最后算加減運算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣×＝﹣＝2．
【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
21．（4分）計算：﹣18×（﹣+）
【分析】根據(jù)乘法分配律和有理數(shù)的加減法可以解答本題．
【解答】解：﹣18×（﹣+）
＝﹣9+15+（﹣12）
＝﹣6．
【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法．
22．（4分）．
【分析】先去括號、絕對值后再從左向右進(jìn)行計算．
【解答】解：原式＝2+2.5+1﹣1＝6﹣1＝4．
【點評】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算．解題的關(guān)鍵是能靈活掌握去括號法則，并能求任何數(shù)的絕對值．
四、化簡求值（每小題4分，共12分）
23．（4分）化簡：3a2﹣2a+3﹣4a2﹣7a﹣6．
【分析】先找出同類項，再合并同類項．
【解答】解：原式＝3a2﹣4a2﹣7a﹣2a+3﹣6
＝﹣a2﹣9a﹣3．
【點評】本題考查了合并同類項，掌握合并同類項法則是解決本題的關(guān)鍵．
24．（4分）先化簡，再求值：已知a2﹣1＝0，求（5a2+2a﹣1）﹣2（a+a2）的值．
【分析】原式去括號整理后，將已知等式變形后代入計算即可求出值．
【解答】解：（5a2+2a﹣1）﹣2（a+a2）＝5a2+2a﹣1﹣2a﹣2a2＝3a2﹣1，
又∵a2﹣1＝0，
∴a2＝1，
∴原式＝3a2﹣1＝3×1﹣1＝2．
【點評】此題考查了整式的加減﹣化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
25．（4分）已知x2﹣2y﹣5＝0，求3（x2﹣2xy）﹣（x2﹣6xy）﹣4y的值．
【分析】首先去括號，合并同類項，化簡后，再根據(jù)條件可得x2﹣2y＝5，再代入求值即可．
【解答】解：3（x2﹣2xy）﹣（x2﹣6xy）﹣4y，
＝3x2﹣6xy﹣x2+6xy﹣4y，
＝2x2﹣4y；
∵x2﹣2y﹣5＝0，
∴x2﹣2y＝5，
原式＝2（x2﹣2y）＝2×5＝10．
【點評】此題主要考查了整式的化簡求值，關(guān)鍵是正確把整式進(jìn)行化簡．
五、解方程（每小題4分，共12分）
26．（4分）解方程：．
【分析】通過去分母、移項、合并同類項、x的系數(shù)化為解決此題．
【解答】解：∵，
∴﹣2x﹣3＝15．
∴﹣2x＝18．
∴x＝﹣9．
【點評】本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
27．（4分）解方程：4（x﹣1）﹣3（20﹣x）＝5（x﹣2）
【分析】這是一個帶括號的方程，所以要先去括號，最后移項，化系數(shù)為1，從而得到方程的解．
【解答】解：去括號得：4x﹣4﹣60+3x＝5x﹣10，
移項、合并同類項得：2x＝54，
系數(shù)化為1得：x＝27．
【點評】本題考查了解一元一次方程的步驟：去括號、移項、合并同類項和系數(shù)化為1，在去括號時一定要注意：不要漏乘方程的每一項．
28．（4分）．
【分析】方程兩邊每一項都要乘各分母的最小公倍數(shù)10，切勿漏乘不含有分母的項，另外分?jǐn)?shù)線有兩層意義，一方面它是除號，另一方面它又代表著括號，所以在去分母時，應(yīng)該將分子用括號括上．
【解答】解：去分母得：5（x﹣3）﹣2（4x+1）＝10
去括號得：5x﹣15﹣8x﹣2＝10
合并得：﹣3x＝27
系數(shù)化為1得：x＝﹣9．
【點評】注意在去分母時，應(yīng)該將分子用括號括上．切勿漏乘不含有分母的項
六、探究題（每小題5分，共10分）
29．（5分）對于任意有理數(shù)a，b，定義運算：a⊙b＝a（a+b）﹣1，等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如，2⊙5＝2×（2+5）﹣1＝13；（﹣3）⊙（﹣5）＝﹣3×（﹣3﹣5）﹣1＝23．
（1）求（﹣2）⊙3的值；
（2）對于任意有理數(shù)m，n，請你重新定義一種運算“⊕”，使得5⊕3＝20，寫出你定義的運算：m⊕n＝ 3m+2+n （用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）根據(jù)a⊙b＝a（a+b）﹣1，可以求得題目中所求式子的值；
（2）根據(jù)題意只要寫出一個符合要求的式子即可，這是一道開放性題目，答案不唯一．
【解答】解：（1）∵a⊙b＝a（a+b）﹣1，
∴（﹣2）⊙3
＝（﹣2）×[（﹣2）+3]﹣1
＝（﹣2）×﹣1
＝（﹣3）﹣1
＝﹣4；
（2）∵5⊕3＝20，
∴m⊕n＝3m+2+n，
故答案為：3m+2+n．
【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法．
30．（5分）一般情況下，對于數(shù)a和b，，但是對于某些特殊的數(shù)a和b，．我們把這些特殊的數(shù)a和b，稱為“理想數(shù)對”，記作＜a，b＞．例如當(dāng)a＝1，b＝﹣4時，有，那么＜1，﹣4＞就是“理想數(shù)對”．
（1）＜3，﹣12＞是不是“理想數(shù)對”？ 是 ：（填“是”或“不是”）
（2）如果＜2，x＞是“理想數(shù)對”，那么x＝ ﹣8 ；
（3）若＜m，n＞是“理想數(shù)對”，求的值．
【分析】（1）根據(jù)“理想數(shù)對”的運算法則進(jìn)行計算判斷；
（2）根據(jù)“理想數(shù)對”的運算法則列方程求解；
（3）先將原式進(jìn)行去括號，合并同類項化簡，然后利用“理想數(shù)對”的概念列式化簡求得m與n的等量關(guān)系，從而利用整體思想代入求值．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝3，b＝﹣12時，
＝，
，
∴，
∴＜3，﹣12＞是理想數(shù)對，
故答案為：是；
（2）∵＜2，x＞是“理想數(shù)對”，
∴，
解得：x＝﹣8，
故答案為：﹣8；
（3）原式＝3（9n﹣4m﹣8n+m）﹣4m﹣16
＝27n﹣12m﹣24n+28m﹣4m﹣16
＝12m+3n﹣16，
∵＜m，n＞是“理想數(shù)對”，
∴，
整理，得：4m+n＝0，
∴原式＝3（4m+n）﹣16
＝3×0﹣16
＝﹣16．
【點評】本題考查整式的加減——化簡求值，理解新定義運算法則，掌握合并同類項（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號的運算法則（括號前面是“+”號，去掉“+”號和括號，括號里的各項不變號；括號前面是“﹣”號，去掉“﹣”號和括號，括號里的各項都變號）是解題關(guān)鍵．
七、解答題：（本大題共3道小題，第1小題6分，第2小題7分，第3小題7分，共20分）
31．（6分）如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點，且AB＝8，點A表示的數(shù)為6；動點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，點Q從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù)是 14 ；
（2）當(dāng)t＝2時，線段PQ的長是 4 ；
（3）當(dāng)0＜t＜3時，則線段AP＝ 6﹣2t ；（用含t的式子表示）
（4）當(dāng)PQ＝AB時，求t的值．
【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式即可求出數(shù)軸上點B表示的數(shù)；
（2）先求出當(dāng)t＝2時，P點對應(yīng)的有理數(shù)為2×2＝4，Q點對應(yīng)的有理數(shù)為6+1×2＝8，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求出PQ的長；
（3）先求出當(dāng)0＜t＜3時，P點對應(yīng)的有理數(shù)為2t＜6，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求出AP的長；
（4）由于t秒時，P點對應(yīng)的有理數(shù)為2t，Q點對應(yīng)的有理數(shù)為6+t，根據(jù)兩點間的距離公式得出PQ＝|2t﹣（6+t）|＝|t﹣6|，根據(jù)PQ＝AB列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）6+8＝14．
故 數(shù)軸上點B表示的數(shù)是14；
（2）當(dāng)t＝2時，P點對應(yīng)的有理數(shù)為2×2＝4，Q點對應(yīng)的有理數(shù)為6+1×2＝8，
8﹣4＝4．
故線段PQ的長是4；
（3）當(dāng)0＜t＜3時，P點對應(yīng)的有理數(shù)為2t＜6，
故AP＝6﹣2t；
（4）根據(jù)題意可得：
|t﹣6|＝×8，
解得：t＝4或t＝8．
故t的值是4或8．
故答案為：14；4；6﹣2t．
【點評】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用和數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握點的移動與點所表示的數(shù)之間的關(guān)系，（4）中解方程時要注意分兩種情況進(jìn)行討論．
32．（7分）數(shù)學(xué)家歐拉最先把關(guān)于x的多項式用記號f（x）來表示，例如f（x）＝x2+3x﹣5，并把x＝常數(shù)a時多項式的值用f（a）來表示，例如x＝1時多項式x2+3x﹣5的值記為f（1）＝12+3×1﹣5＝1．
（1）若規(guī)定f（x）＝2x﹣3．
①f（﹣1）的值是 ﹣5 ；
②若f（x）＝7，x的值是 5 ；
（2）若規(guī)定g（x）＝|x﹣2|，h（x）＝|x+3|；
①有沒有能使g（x）＝h（x）成立的x的值，若有，求出此時x的值，若沒有，請說明理由．
②直接寫出g（x）+h（x）的最小值和此時x滿足的條件．
【分析】（1）①將x的值代入求值．
②通過解一元一次方程解決此題．
（2）①根據(jù)絕對值的性質(zhì)解決此題．
②通過絕對值的意義解決此題．
【解答】解：（1）①當(dāng)x＝﹣1，f（﹣1）＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5．
故答案為：﹣5．
②當(dāng)f（x）＝7，則2x﹣3＝7．
∴x＝5．
故答案為：5．
（2）①若g（x）＝h（x），則|x﹣2|＝|x+3|．
∴x﹣2＝x+3或x﹣2+x+3＝0．
∴當(dāng)x﹣2＝x+3，此時x不存在；
當(dāng)x﹣2+x+3＝0，此時x＝．
綜上：當(dāng)x＝﹣時，g（x）＝h（x）．
②∵g（x）＝|x﹣2|，h（x）＝|x+3|，
∴g（x）+h（x）＝|x﹣2|+|x+3|．
∵|x﹣2|表示x在數(shù)軸上對應(yīng)的點到2在數(shù)軸上對應(yīng)的點的距離，
|x+3|表示x在數(shù)軸上對應(yīng)的點到﹣3在數(shù)軸上對應(yīng)的點的距離，
∴當(dāng)﹣3≤x≤2時，g（x）+h（x）＝|x﹣2|+|x+3|取最小值5．
【點評】本題主要考查解一元一次方程、絕對值，熟練掌握一元一次方程的解法、絕對值是解決本題的關(guān)鍵．
33．（7分）小兵喜歡研究數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)一元一次方程后，他給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的解，y0是關(guān)于y的方程的所有解的其中一個解，且x0，y0滿足x0+y0＝100，則稱關(guān)于y的方程為關(guān)于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x0＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，當(dāng)y0＝1時，x0+y0＝100，所以y2+1＝2為一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．
（1）已知關(guān)于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，
以上哪個方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？
請直接寫出正確的序號是 ② ．
（2）若關(guān)于y的方程|2y﹣2|+3＝5是關(guān)于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，請求出a的值．
（3）如關(guān)于y的方程2m|y﹣49|+＝m+n是關(guān)于x的一元一次方程mx+45n＝54m的“友好方程”，請直接寫出的值．
【分析】（1）先求出一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的解，再解出2y﹣2＝4和|y|＝2，根據(jù)“友好方程”的定義判斷即可；
（2）解出|2y﹣2|+3＝5得解，再解出x﹣＝a+1的解是a+3，分類討論，令x0+y0＝100，即可求出a的值；
（3）先解出一元一次方程mx+45n＝54m的解，再根據(jù)x0+y0＝100表示出y，將y代入到方程2m|y﹣49|+＝m+n中化簡即可．
【解答】解：（1）3x﹣2x﹣102＝0的解為x0＝102，
方程2y﹣2＝4的解是y＝3，x0+y0≠100；故不是“友好方程”；
方程|y|＝2的解是y＝2或y＝﹣2，當(dāng)y0＝﹣2時，x0+y0＝100，故是“友好方程”，
故答案是：②
（2）方程|2y﹣2|+3＝5的解是y＝2或y＝0，一元一次方程x﹣＝a+1的解是x＝a+3，
若y0＝0，x0+y0＝100，則a+3+0＝100，解得a＝97；
若y0＝2，x0+y0＝100，則a+3+2＝100，解得a＝95；
答：a的值為97或95．
（3）mx+45n＝54m，解得＝，
∵x0+y0＝100，
∴y0＝100﹣x＝；
∵2m|y﹣49|+＝m+n
∴2m|46+﹣49|＝m+n；
∴2m||+m+n＝m+n；
即2m||＝0．
∵分母m不能為0；
∴＝0，即m＝15n；
∴＝＝16；
答：的值為16．
【點評】本題考查解一元一次方程，理解題目定義中的“友好方程”是解題的關(guān)鍵，再通過解一元一次方程的方法求解．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/29 20:47:42；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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