專題7.10 平行線的證明章末九大題型總結(jié)（培優(yōu)篇） 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc5813" 【題型1 對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的運(yùn)用】  PAGEREF _Toc5813 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc12715" 【題型2 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別】  PAGEREF _Toc12715 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc15194" 【題型3 添加條件判定平行】  PAGEREF _Toc15194 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc28168" 【題型4 由平行線的性質(zhì)求角度】  PAGEREF _Toc28168 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc2168" 【題型5 由平行線的判定與性質(zhì)判斷多結(jié)論問(wèn)題】  PAGEREF _Toc2168 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc31914" 【題型6 在平行線中添加推理依據(jù)進(jìn)行證明】  PAGEREF _Toc31914 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc1214" 【題型7 利用平行線的判定及性質(zhì)求角度】  PAGEREF _Toc1214 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc28917" 【題型8 利用平行線的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明】  PAGEREF _Toc28917 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc18345" 【題型9 三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計(jì)算】  PAGEREF _Toc18345 \h 11  【題型1 對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的運(yùn)用】 【例1】（2023下·天津薊州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，下列說(shuō)法正確的是（　?。? A．∠1和∠4互為內(nèi)錯(cuò)角 B．∠2的同位角只有∠4 C．∠6和∠7互補(bǔ) D．∠2和∠1互為鄰補(bǔ)角 【變式1-1】（2023下·浙江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)課上老師用雙手表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．從左至右依次表示（????） A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角 B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角 C．內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、同位角 D．內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角 【變式1-2】（2023上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，圖中同旁內(nèi)角的數(shù)量共有（????） A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì) 【變式1-3】（2023下·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，下列說(shuō)法正確的是（???） ①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠1和∠2是同旁內(nèi)角；④∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角 ?? A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【題型2 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別】 【例2】（2023下·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE． （1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度數(shù)； （2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度數(shù)； （3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，請(qǐng)直接寫出∠AOC和∠BOF的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示） 【變式2-1】（2023下·上海虹口·八年級(jí)上外附中?？计谀┤簟?的對(duì)頂角是∠2，∠2的鄰補(bǔ)角是∠3，∠3的余角是∠4，若∠4=55°，則∠1＝ °． 【變式2-2】（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┤鐖D，直線AB、EF相交于點(diǎn)D，∠ADC=90°．若∠ADE與∠ADC的度數(shù)之比為1:3，則∠CDF的度數(shù)是 °． ?? 【變式2-3】（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線AB和CD交于點(diǎn)O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）當(dāng)α＝30°時(shí)，則∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）當(dāng)α＝60°時(shí)，射線OE′從OE開始以12°/秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)射線OF′從OF開始以8°/秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)射線OF′也停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多少秒射線OE′與射線OF′第一次重合？ （3）在（2）的條件下，射線OE′在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，當(dāng)∠E′OF′＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為_________秒． 【題型3 添加條件判定平行】 【例3】（2023下·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，下列條件中，不能判斷直線l1∥l2的是（????） ?? A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180° 【變式3-1】（2023下·黑龍江雙鴨山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件 ，使AB∥CD（填一個(gè)即可）． ?? 【變式3-2】（2023下·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，下列條件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；⑤∠D=∠5，則一定能判定AB∥CD的條件有 (填寫所有正確的序號(hào))． ?? 【變式3-3】（2023下·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=120°，添加一個(gè)條件，仍不能判定AB∥CD，添加的條件可能是（???????????） ?? A．∠BOE=60° B．∠DOF=30° C．∠AOF=30° D．∠BOE+∠AOF=90° 【題型4 由平行線的性質(zhì)求角度】 【例4】（2023下·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在同一平面內(nèi)，∠ABC=110°，AD∥BC，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，那么∠AEB度數(shù)為 ． 【變式4-1】（2023下·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，a∥c,b∥d，∠1=30°，求∠3的度數(shù)． ?? 【變式4-2】（2023下·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，∠G=∠FEH=90°，∠GEF=45°，∠H=60°，若∠AEG=26°，則∠DFH= ． ?? 【變式4-3】（2023下·貴州黔南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE=90°，點(diǎn)E在線段AB上，∠FCG=90°，點(diǎn)F在直線AD上，∠AHG=90°． ?? (1)圖中與∠D相等的角有__________； (2)若∠ECF=25°，求∠BCD的度數(shù)； (3)在（2）的條件下，點(diǎn)C（點(diǎn)C不與B，H兩點(diǎn)重合）從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BG的方向運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，求∠BAF的度數(shù)． 【題型5 由平行線的判定與性質(zhì)判斷多結(jié)論問(wèn)題】 【例5】（2023下·重慶云陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，E在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠FGA=42°；④∠MGK=21°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（??） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【變式5-1】（2023下·四川南充·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，DE∥BC，∠C=∠EDF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（????） A．∠ADE=∠B B．DF∥AC C．∠BFD=∠AED D．∠B+∠CED=180° 【變式5-2】（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥AB，EF是△DEC的角平分線，有下列四個(gè)結(jié)論：?①∠BDE=∠DBE；?②EF∥BD；?③∠CDE=∠ABC；?④S四邊形ABED=S△ABF．其中，正確的是（????） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【變式5-3】（2023下·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，E在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③GK∥CD；④∠MGK＝16°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（????） A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 【題型6 在平行線中添加推理依據(jù)進(jìn)行證明】 【例6】（2023下·北京東城·八年級(jí)北京二中校考期末）補(bǔ)全證明過(guò)程，并在（????）內(nèi)填寫推理的依據(jù)． 已知：如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，EG⊥BC于點(diǎn)G，∠E=∠1， 求證：AD是∠BAC的角平分線． ?? 證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC ∴∠EGD=∠ADC=90°（①___________） ∴AD∥EG（②___________） ∴∠E=∠③___________， ∠1=∠BAD（④___________） ∵∠E=∠1 ∴∠CAD=∠BAD ∴AD是∠BAC的角平分線（⑤___________） 【變式6-1】（2023下·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)完成證明過(guò)程和填寫上推理依據(jù)． 如圖，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠4，試判斷∠ACB與∠3的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由． ?? 解：∠ACB=∠3，理由如下： ∵∠1+∠2=180° 又∵（______）+∠2=180°（鄰補(bǔ)角定義） ∴（______）=∠1（__________________） ∴（______）∥AB（__________________） ∴∠AFE=∠4（__________________） ∵∠B=∠4， ∴（______）=∠B（__________________） ∴EF∥BC（__________________） ∴∠ACB=∠3（__________________） 【變式6-2】（2023下·重慶彭水·八年級(jí)校聯(lián)考期末）推理填空： 如圖，點(diǎn)D，E，H分別在△ABC的邊AB，BC，AC上，連接DE，過(guò)點(diǎn)C作CF交DH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F且滿足∠B+∠BCF=180°；若DE∥AC，∠1=∠3．求證：∠B=∠F． ?? 證明：∵DE∥AC（已知） ∴∠1= （兩直線平行，同位角相等） ∵∠1=∠3（已知） ∴∠3=∠2（ ） ∴DF∥BC（ ） ∴∠4=∠B（兩直線平行，同位角相等） ∵∠B+∠BCF=180°（已知） ∴ ∥ （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行） ∴∠4= （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ∴∠B=∠F（等量代換） 【變式6-3】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的根據(jù)．如圖，點(diǎn)D，E分別為三角形ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在BC，AB上，∠AED=∠C，∠DEF=∠B，∠EFG=90°．求證FG⊥AB． 證明：∵∠AED=∠C ∴DE∥BC（???????????????????????????） ∴∠DEF=∠EFC（???????????????????????????） ∵∠DEF=∠B ∴∠EFC=∠B ∵∠EFC+∠EFB=180° ∴∠B+∠EFB=180°（???????????????????????????） ∴DB∥EF（???????????????????????????） ∴∠AGF+∠EFG=180°（???????????????????????????） ∵∠EFG=90° ∴∠AGF=90° ∴FG⊥AB（???????????????????????????） 【題型7 利用平行線的判定及性質(zhì)求角度】 【例7】（2023下··浙江·八年級(jí)期末）已知，AB∥CD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G，F(xiàn)在AB上，點(diǎn)H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E． （1）如圖1，求證：HG⊥HE； （2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點(diǎn)M，求證：∠GHE＝2∠GME； （3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點(diǎn)K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)． 【變式7-1】（2023上·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠1+∠2=180°,∠A=∠3． ?? (1)求證：AB∥CD； (2)若∠B=78°,∠BDE=2∠3，求∠DEA的度數(shù)． 【變式7-2】（2023下·安徽六安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D1，已知點(diǎn)B和點(diǎn)C分別是AF和DE上的點(diǎn)，∠DAF=∠BCD，∠F=∠ECF． (1)試說(shuō)明：AD∥BC； (2)如圖2，連接AC，已知AC⊥CF，∠ECF=m∠BCF． ①當(dāng)m=1時(shí)，∠DAF=62°，求∠ACB的度數(shù)； ②若∠ACD+∠ABC=150°，則∠D=__________．（用含m的代數(shù)式表示） 【變式7-3】（2023下·浙江·八年級(jí)期末）綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)直角三角形和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知兩直線a,b，且a//b,△ABC是直角三角形，∠BCA=90°，操作發(fā)現(xiàn)： （1）如圖1．若∠1=48°，求∠2的度數(shù)； （2）如圖2，若∠A=30°,∠1的度數(shù)不確定，同學(xué)們把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，發(fā)現(xiàn)∠2?∠1=120°，請(qǐng)說(shuō)明理由． （3）如圖3，若∠A=30°，AC平分∠BAM，此時(shí)發(fā)現(xiàn)∠1與∠2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由． 【題型8 利用平行線的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明】 【例8】（2023下·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD ，連接BD，E是直線FD上的一點(diǎn)，∠ABC=140°，∠CDF=40°． ?? (1)判斷BC與EF平行嗎？為什么？ (2)若BD∥AE，∠BAE=110°，則BD是否平分∠ABC？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【變式8-1】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，∠BAP+∠APD =180°，∠1 =∠2.求證：AE∥PF． ?? 【變式8-2】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)校考期末）如圖，已知BC∥AD,∠C=∠A,∠3=∠4．求證： ?? (1)AB∥CD (2)∠1=∠2 【變式8-3】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校c(diǎn)E在射線DA上，點(diǎn)F、G為射線BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE． (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在F右側(cè)時(shí)，求證：BD//EF； (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在F左側(cè)時(shí)，求證：∠DGE=∠BDG+∠FEG； (3)如圖3，在2的條件下，P為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DM平分∠BDG，交BC于點(diǎn)M，DN平分∠PDM，交EF于點(diǎn)N，連接NG，若DG⊥NG，∠DBF?∠DNG=∠EDN，則∠DBF的度數(shù)是多少． 【題型9 三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計(jì)算】 【例9】（2023春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．點(diǎn)F與A位于線段BC所在直線的兩側(cè)，分別延長(zhǎng)AB、AC至點(diǎn)D、E． ?? 【特殊化思考】 若∠A=∠F時(shí)，請(qǐng)嘗試探究： （1）當(dāng)F在∠A內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為__________； （2）當(dāng)F在∠A外部時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為__________； （3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．無(wú)論點(diǎn)F在∠A內(nèi)部（如圖③）還是∠A外部（如圖④）時(shí)，都有CG∥BH，請(qǐng)選擇一幅圖進(jìn)行證明； ?? 【一般化探究】 若∠A∠CDE； (2)若∠AHF?∠CDE=30°，求∠F的度數(shù) 【變式9-2】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州中學(xué)校考期中）已知，在△ABC中，∠ACB=∠CDB=m°0

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章節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 北師大版（2024）

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