一、知識(shí)梳理
1．向量的夾角
(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．
(2)范圍：向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°．
[注意] 當(dāng)a與b同向時(shí)，θ＝0°；a與b反向時(shí)，θ＝180°；a與b垂直時(shí)，θ＝90°.
2．平面向量的數(shù)量積
[注意] 投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量，不是向量．
3．向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
常用結(jié)論
(1)兩向量a與b為銳角?a·b＞0且a與b不共線．
(2)兩向量a與b為鈍角?a·b＜0且a與b不共線．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(5)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|.
(6)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.
二、教材衍化
已知a·b＝－12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|為( )
A．12 B．6
C．3eq \r(3) D．3
解析：選B．a(chǎn)·b＝|a|·|b|cs 135°＝－12eq \r(2)，所以|b|＝eq \f(－12\r(2),4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))＝6.
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量．( )
(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量．( )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(5)兩個(gè)向量的夾角的范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(6)若a·b>0，則a和b的夾角為銳角；若a·b

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