一、知識(shí)梳理
1．等比數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義：
①文字語(yǔ)言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)(非零)．
②符號(hào)語(yǔ)言：eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．
(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即G2＝ab．
2．等比數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1．
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1(1－qn),1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比數(shù)列的性質(zhì)
已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，則am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,r)；
(2)數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數(shù)列；
(3)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比數(shù)列(此時(shí){an}的公比q≠－1)．
常用結(jié)論
1．等比數(shù)列的單調(diào)性
當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；
當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；
當(dāng)q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列．
2．等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系
當(dāng)q≠1時(shí)，an＝eq \f(a1,q)·qn，可以看成函數(shù)y＝cqx，是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，因此數(shù)列{an}各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在函數(shù)y＝cqx的圖象上．
3．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝A＋B·Cn?A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不為零)
二、教材衍化
1．對(duì)任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是( )
A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列
C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列
解析：選D．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，滿足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，
即aeq \\al(2,6)＝a3·a9.
2．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋a3＝eq \f(5,4)，a2＋a4＝eq \f(5,2)，則q＝________．
答案：2
3．在9與243中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為________．
解析：設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，
243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.
所以插入的兩個(gè)數(shù)分別為9×3＝27，27×3＝81.
答案：27，81
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列．( )
(2)三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.( )
(3)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．( )
(4)如果{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．( )
(5)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項(xiàng)．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易錯(cuò)糾偏
eq \a\vs4\al(常見誤區(qū))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，忽略q＝1的情況；
(2)忽視等比數(shù)列的項(xiàng)不為0；
(3)對(duì)等比數(shù)列項(xiàng)的符號(hào)不能作出正確判斷．
1．已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值是( )
A．1 B．－eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2) D．－1或eq \f(1,2)
解析：選C．當(dāng)q＝1時(shí)，an＝7，S3＝21，符合題意；當(dāng)q≠1時(shí)，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q2＝7，,\f(a1(1－q3),1－q)＝21，))得q＝－eq \f(1,2).綜上，q的值是1或－eq \f(1,2)，故選C．
2．已知x，2x＋2，3x＋3是一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則x的值為________．
解析：因?yàn)閤，2x＋2，3x＋3是一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)，
所以(2x＋2)2＝x(3x＋3)，
即x2＋5x＋4＝0，
解得x＝－1或x＝－4.
當(dāng)x＝－1時(shí)，數(shù)列的前三項(xiàng)為－1，0，0，
不是等比數(shù)列，舍去．
答案：－4
3．在等比數(shù)列{an}中，a2＝4，a10＝16，則a2和a10的等比中項(xiàng)為________．
解析：設(shè)a2與a10的等比中項(xiàng)為G，
因?yàn)閍2＝4，a10＝16，
所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.
答案：±8
考點(diǎn)一 等比數(shù)列的基本運(yùn)算(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算
(1)(一題多解)(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝1，S3＝eq \f(3,4)，則S4＝________．
(2)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2＋16.則an＝________．
【解析】 (1)通解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝1及S3＝eq \f(3,4)，易知q≠1.把a(bǔ)1＝1代入S3＝eq \f(a1(1－q3),1－q)＝eq \f(3,4)，得1＋q＋q2＝eq \f(3,4)，解得q＝－eq \f(1,2)，所以S4＝eq \f(a1(1－q4),1－q)＝eq \f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(4))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \f(5,8).
優(yōu)解一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)镾3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝eq \f(3,4)，a1＝1，所以1＋q＋q2＝eq \f(3,4)，解得q＝－eq \f(1,2)，所以a4＝a1·q3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝－eq \f(1,8)，所以S4＝S3＋a4＝eq \f(3,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))＝eq \f(5,8).
優(yōu)解二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意易知q≠1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝A(1－qn)(其中A為常數(shù))，則a1＝S1＝A(1－q)＝1 ①，S3＝A(1－q3)＝eq \f(3,4) ②，由①②可得A＝eq \f(2,3)，q＝－eq \f(1,2).所以S4＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(4)))＝eq \f(5,8).
(2)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得
2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.
解得q＝－2(舍去)或q＝4.
因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝2×4n－1＝22n－1.
【答案】 (1)eq \f(5,8) (2)22n－1
eq \a\vs4\al()
解決等比數(shù)列有關(guān)問題的2種常用思想
1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝( )
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：選C．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4－3q2－4＝0，令q2＝t，則t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝－2(舍去)．又S4＝eq \f(a1(1－q4),1－q)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.故選C．
2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若T3＝21，求S3.
解：設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
聯(lián)立①和②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d＝3，,q＝0))(舍去)，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d＝1，,q＝2.))
因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0，
解得q＝－5或q＝4.
當(dāng)q＝－5時(shí)，由①得d＝8，則S3＝21.
當(dāng)q＝4時(shí)，由①得d＝－1，則S3＝－6.
考點(diǎn)二 等比數(shù)列的判定與證明(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))理解等比數(shù)列的概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，體會(huì)等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系．
核心素養(yǎng)：邏輯推理
(1)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則下列命題不正確的是( )
A．?dāng)?shù)列{|an|}是等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等比數(shù)列
D．?dāng)?shù)列{lg aeq \\al(2,n)}是等比數(shù)列
(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．
【解】 (1)選D．因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列，所以eq \f(an＋1,an)＝q.對(duì)于A，eq \f(|an＋1|,|an|)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,an)))＝|q|，所以數(shù)列{|an|}是等比數(shù)列，A正確；對(duì)于B，eq \f(an＋1an＋2,anan＋1)＝q2，所以數(shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，eq \f(\f(1,an＋1),\f(1,an))＝eq \f(an,an＋1)＝eq \f(1,q)，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等比數(shù)列，C正確；對(duì)于D，eq \f(lg aeq \\al(2,n＋1),lg aeq \\al(2,n))＝eq \f(2lg an＋1,2lg an)＝eq \f(lg an＋1,lg an)，不一定是常數(shù)，所以D錯(cuò)誤．
(2)證明：因?yàn)閍n＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq \f(4an＋1－4an－2an＋1,an＋1－2an)＝eq \f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2.
因?yàn)镾2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．
【遷移探究1】 (變問法)若本例(2)中的條件不變，試求{an}的通項(xiàng)公式．
解：由(2)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
所以eq \f(an＋1,2n＋1)－eq \f(an,2n)＝eq \f(3,4)，
故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是首項(xiàng)為eq \f(1,2)，公差為eq \f(3,4)的等差數(shù)列．
所以eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)＋(n－1)·eq \f(3,4)＝eq \f(3n－1,4)，
所以an＝(3n－1)·2n－2.
【遷移探究2】 (變條件)在本例(2)中，若cn＝eq \f(an,3n－1)，證明：數(shù)列{cn}為等比數(shù)列．
證明：由[遷移探究1]知，an＝(3n－1)·2n－2，所以cn＝2n－2.
所以eq \f(cn＋1,cn)＝eq \f(2n－1,2n－2)＝2，又c1＝eq \f(a1,3×1－1)＝eq \f(1,2)，
所以數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為eq \f(1,2)，公比為2的等比數(shù)列．
eq \a\vs4\al()
等比數(shù)列的判定方法
(1)定義法：若eq \f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù))或eq \f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2)，則{an}是等比數(shù)列．
(2)中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．
(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0，1)，則{an}是等比數(shù)列．
[提醒] (1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定．
(2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．
1．(一題多解)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝a·2n－1＋eq \f(1,6)，則a的值為( )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
解析：選A．法一：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝a＋eq \f(1,6)，所以a＋eq \f(1,6)＝eq \f(a,2)，所以a＝－eq \f(1,3).
法二：因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝k×qn－k，則eq \f(1,2)a＝－eq \f(1,6)，a＝－eq \f(1,3).
2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ節(jié)選)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列．
證明：由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝eq \f(1,2)(an＋bn)．
又因?yàn)閍1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列．
由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因?yàn)閍1－b1＝1，所以{an－bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
考點(diǎn)三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(綜合型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算
角度一 等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用
(1)(2020·洛陽(yáng)市第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則eq \f(a2a16,a9)的值為( )
A．－eq \f(2＋\r(2),2) B．－eq \r(2)
C．eq \r(2) D．－eq \r(2)或eq \r(2)
(2)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a5＝4，則lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＋lg2a4＋lg2a5＝________．
【解析】 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，所以a3·a15＝aeq \\al(2,9)＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，則a9＝－eq \r(2)，所以eq \f(a2a16,a9)＝eq \f(aeq \\al(2,9),a9)＝a9＝－eq \r(2).
(2)由題意知a1a5＝aeq \\al(2,3)＝4，因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a3＝2.所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝(aeq \\al(2,3))2·a3＝aeq \\al(5,3)＝25.所以lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＋lg2a4＋lg2a5＝lg2(a1a2a3a4a5)＝lg225＝5.
【答案】 (1)B (2)5
角度二 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用
(1)已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q＝________．
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq \f(S6,S3)＝eq \f(1,2)，則eq \f(S9,S3)＝________．
【解析】 (1)由題意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S奇＝－80，,S偶＝－160，))所以q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(－160,－80)＝2.
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閑q \f(S6,S3)＝eq \f(1,2)，所以{an}的公比q≠1.由eq \f(a1(1－q6),1－q)÷eq \f(a1(1－q3),1－q)＝eq \f(1,2)，得q3＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(S9,S3)＝eq \f(1－q9,1－q3)＝eq \f(3,4).
【答案】 (1)2 (2)eq \f(3,4)
eq \a\vs4\al()
等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用問題的解題突破口
等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)公式的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
[提醒] 在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要對(duì)性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意“設(shè)而不求”的運(yùn)用．
1．已知等比數(shù)列{an}中，a4＋a8＝－2，則a6(a2＋2a6＋a10)的值為( )
A．4 B．6
C．8 D．－9
解析：選A．a(chǎn)6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2aeq \\al(2,6)＋a6a10＝aeq \\al(2,4)＋2a4a8＋aeq \\al(2,8)＝(a4＋a8)2，因?yàn)閍4＋a8＝－2，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝4.
2．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n等于( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：選C．因?yàn)閿?shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比數(shù)列．
不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，則公比q＝eq \f(b2,b1)＝eq \f(12,4)＝3.
所以bm＝4×3m－1.
令bm＝324，即4×3m－1＝324，解得m＝5，
所以b5＝324，即a13a14a15＝324.
所以n＝14.
3．在等比數(shù)列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝eq \f(15,8)，a8a9＝－eq \f(9,8)，則eq \f(1,a7)＋eq \f(1,a8)＋eq \f(1,a9)＋eq \f(1,a10)＝________．
解析：因?yàn)閑q \f(1,a7)＋eq \f(1,a10)＝eq \f(a7＋a10,a7a10)，eq \f(1,a8)＋eq \f(1,a9)＝eq \f(a8＋a9,a8a9)，
由等比數(shù)列的性質(zhì)知a7a10＝a8a9，
所以eq \f(1,a7)＋eq \f(1,a8)＋eq \f(1,a9)＋eq \f(1,a10)＝eq \f(a7＋a8＋a9＋a10,a8a9)
＝eq \f(15,8)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,8)))＝－eq \f(5,3).
答案：－eq \f(5,3)
[基礎(chǔ)題組練]
1．(2020·廣東六校第一次聯(lián)考)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列．若a1＝1，則S4＝( )
A．16 B．15
C．8 D．7
解析：選B．設(shè)公比為q，由題意得4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，又a1≠0，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S4＝eq \f(1×(1－24),1－2)＝15，故選B．
2．(2020·遼寧五校聯(lián)考)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a4與a14的等比中項(xiàng)為2eq \r(2)，則lg2a7＋lg2a11的值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選C．由題意得a4a14＝(2eq \r(2))2＝8，由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a4a14＝a7a11＝8，所以lg2a7＋lg2a11＝lg2(a7a11)＝lg28＝3，故選C．
3．(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列結(jié)論正確的是( )
A．?dāng)?shù)列{anan＋1}是公比為q2的等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列{an＋an＋1}是公比為q的等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列{an－an＋1}是公比為q的等比數(shù)列
D．?dāng)?shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是公比為eq \f(1,q)的等比數(shù)列
解析：選AD．對(duì)于A，由eq \f(anan＋1,an－1an)＝q2(n≥2)知數(shù)列{anan＋1}是公比為q2的等比數(shù)列；對(duì)于B，當(dāng)q＝－1時(shí)，數(shù)列{an＋an＋1}的項(xiàng)中有0，不是等比數(shù)列；對(duì)于C，若q＝1時(shí)，數(shù)列{an－an＋1}的項(xiàng)中有0，不是等比數(shù)列；對(duì)于D，eq \f(\f(1,an＋1),\f(1,an))＝eq \f(an,an＋1)＝eq \f(1,q)，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是公比為eq \f(1,q)的等比數(shù)列，故選AD．
4．(2020·長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若公比q＝2，則eq \f(a1＋a3＋a5,S6)＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,7)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,7)
解析：選A．法一：由題意知a1＋a3＋a5＝a1(1＋22＋24)＝21a1，而S6＝eq \f(a1(1－26),1－2)＝63a1，所以eq \f(a1＋a3＋a5,S6)＝eq \f(21a1,63a1)＝eq \f(1,3)，故選A．
法二：由題意知S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a1＋a3＋a5＋(a2＋a4＋a6)＝a1＋a3＋a5＋2(a1＋a3＋a5)＝3(a1＋a3＋a5)，故eq \f(a1＋a3＋a5,S6)＝eq \f(1,3)，故選A．
5．(應(yīng)用型)(2020·寧夏中衛(wèi)一模)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人最后一天走的路程為( )
A．24里 B．12里
C．6里 D．3里
解析：選C．記該人每天走的路程里數(shù)為{an}，可知{an}是公比q＝eq \f(1,2)的等比數(shù)列，
由S6＝378，得S6＝eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，
所以a6＝192×eq \f(1,25)＝6，故選C．
6．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝eq \f(1,3)，aeq \\al(2,4)＝a6，則S5＝________．
解析：通解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍eq \\al(2,4)＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝eq \f(1,3)，所以q＝3，所以S5＝eq \f(a1(1－q5),1－q)＝eq \f(\f(1,3)×(1－35),1－3)＝eq \f(121,3).
優(yōu)解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍eq \\al(2,4)＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝eq \f(1,3)，所以q＝3，所以S5＝eq \f(a1(1－q5),1－q)＝eq \f(\f(1,3)×(1－35),1－3)＝eq \f(121,3).
答案：eq \f(121,3)
7．(2020·陜西第二次質(zhì)量檢測(cè))公比為eq \r(2)的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a2a12＝16，則lg2a15＝________．
解析：等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且公比為eq \r(2)，a2a12＝16，
所以a1qa1q11＝16，即aeq \\al(2,1)q12＝16，
所以a1q6＝22，所以a15＝a1q14＝a1q6(q2)4＝26，則lg2a15＝lg226＝6.
答案：6
8．已知{an}是遞減的等比數(shù)列，且a2＝2，a1＋a3＝5，則{an}的通項(xiàng)公式為________；a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________．
解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是遞減的等比數(shù)列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首項(xiàng)為8，公比為eq \f(1,4)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋eq \f(1,2)＋…＋8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(n－1)＝eq \f(8×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))\s\up12(n))),1－\f(1,4))＝eq \f(32,3)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))\s\up12(n))).
答案：an＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1) eq \f(32,3)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))\s\up12(n)))
9．(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m.
解：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝eq \f(1－(－2)n,3).
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．
若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
綜上，m＝6.
10．(2020·昆明市診斷測(cè)試)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q＜1，前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝2，S3＝7.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)m∈Z，若Sn＜m恒成立，求m的最小值．
解：(1)由a2＝2，S3＝7得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q＝2，,a1＋a1q＋a1q2＝7，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝4，,q＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝2.))(舍去)
所以an＝4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－3).
(2)由(1)可知，Sn＝eq \f(a1(1－qn),1－q)＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n)))＜8.
因?yàn)閍n＞0，所以Sn單調(diào)遞增．
又S3＝7，所以當(dāng)n≥4時(shí)，Sn∈(7，8)．
又Sn＜m恒成立，m∈Z，所以m的最小值為8.
[綜合題組練]
1．(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn.前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1＞1，a7·a8＞1，eq \f(a7－1,a8－1)＜0.則下列結(jié)論正確的是( )
A．0＜q＜1 B．a(chǎn)7·a9＞1
C．Sn的最大值為S9 D．Tn的最大值為T7
解析：選AD．因?yàn)閍1＞1，a7·a8＞1，eq \f(a7－1,a8－1)＜0，所以a7＞1，a8＜1，所以0＜q＜1，故A正確；a7a9＝aeq \\al(2,8)＜1，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閍1＞1，0＜q＜1，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，所以Sn無最大值，故C錯(cuò)誤；又a7＞1，a8＜1，所以T7是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng)，故D正確．故選AD．
2．(2020·河南鄭州三測(cè))已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝b1＝1，an＋1－an＝eq \f(bn＋1,bn)＝3，n∈N*，則數(shù)列{ban}的前10項(xiàng)和為( )
A．eq \f(1,2)×(310－1) B．eq \f(1,8)×(910－1)
C．eq \f(1,26)×(279－1) D．eq \f(1,26)×(2710－1)
解析：選D．因?yàn)閍n＋1－an＝eq \f(bn＋1,bn)＝3，
所以{an}為等差數(shù)列，公差為3，{bn}為等比數(shù)列，公比為3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2，bn＝1×3n－1＝3n－1，
所以ban＝33n－3＝27n－1，所以{ban}是以1為首項(xiàng)，27為公比的等比數(shù)列，所以{ban}的前10項(xiàng)和為eq \f(1×(1－2710),1－27)＝eq \f(1,26)×(2710－1)，故選D．
3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2且對(duì)任意的m，n∈N*，都有eq \f(am＋n,am)＝an，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________．
解析：因?yàn)閑q \f(an＋m,am)＝an，
令m＝1，則eq \f(an＋1,a1)＝an，即eq \f(an＋1,an)＝a1＝2，
所以{an}是首項(xiàng)a1＝2，公比q＝2的等比數(shù)列，
Sn＝eq \f(2(1－2n),1－2)＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
4．(綜合型)(2020·安徽合肥等六校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為eq \f(3,2)，公比為－eq \f(1,2)，前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*，都有A≤2Sn－eq \f(1,Sn)≤B恒成立，則B－A的最小值為______．
解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的首項(xiàng)為eq \f(3,2)，公比為－eq \f(1,2)，所以Sn＝eq \f(\f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(n))),1＋\f(1,2))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n).令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n)，則－eq \f(1,2)≤t≤eq \f(1,4)，Sn＝1－t，所以eq \f(3,4)≤Sn≤eq \f(3,2)，所以2Sn－eq \f(1,Sn)的最小值為eq \f(1,6)，最大值為eq \f(7,3).又因?yàn)锳≤2Sn－eq \f(1,Sn)≤B對(duì)任意n∈N*恒成立，所以B－A的最小值為eq \f(7,3)－eq \f(1,6)＝eq \f(13,6).
答案：eq \f(13,6)
5．(2020·山西長(zhǎng)治二模)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：(1)由題意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q3＝9a1q，,\f(a1(1－q3),1－q)＝13，,q＞0，))解得a1＝1，q＝3，
所以an＝3n－1，Sn＝eq \f(1－3n,1－3)＝eq \f(3n－1,2).
(2)假設(shè)存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列，
因?yàn)镾1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝eq \f(1,2)，此時(shí)Sn＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)×3n，則eq \f(Sn＋1＋\f(1,2),Sn＋\f(1,2))＝3，
故存在常數(shù)λ＝eq \f(1,2)，使得數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn＋\f(1,2)))是等比數(shù)列．
6．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)，記T2n為{an}的前2n項(xiàng)的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn；
(2)求T2n.
解：(1)因?yàn)閍n·an＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)，
所以an＋1·an＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n＋1)，
所以eq \f(an＋2,an)＝eq \f(1,2)，
即an＋2＝eq \f(1,2)an.
因?yàn)閎n＝a2n＋a2n－1，
所以eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(a2n＋2＋a2n＋1,a2n＋a2n－1)＝eq \f(\f(1,2)a2n＋\f(1,2)a2n－1,a2n＋a2n－1)＝eq \f(1,2)，
因?yàn)閍1＝1，a1·a2＝eq \f(1,2)，
所以a2＝eq \f(1,2)，所以b1＝a1＋a2＝eq \f(3,2).
所以{bn}是首項(xiàng)為eq \f(3,2)，公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列．
所以bn＝eq \f(3,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＝eq \f(3,2n).
(2)由(1)可知，an＋2＝eq \f(1,2)an，
所以a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項(xiàng)，以eq \f(1,2)為公比的等比數(shù)列；a2，a4，a6，…是以a2＝eq \f(1,2)為首項(xiàng)，以eq \f(1,2)為公比的等比數(shù)列，
所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(n),1－\f(1,2))＋eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\f(1,2))＝3－eq \f(3,2n).方程
的思想
等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解
分類討論
的思想
等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq \f(a1(1－qn),1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)

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