2020版新一線高考理科數(shù)學一輪復(fù)習教學案：第4章第3節(jié)　平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例-學案下載-教習網(wǎng)

第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例
[考綱傳真]　1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題．

1．向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0°，180°]，其中當a與b的夾角是90°時，a與b垂直，記作a⊥b，當a與b的夾角為0°時，a∥b，且a與b同向，當a與b的夾角為180°時，a∥b，且a與b反向．
2．平面向量的數(shù)量積
定義
已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影；
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
幾何意義
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積
3.平面向量數(shù)量積的運算律
(1)交換律：a·b＝b·a；
(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示
設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
結(jié)論
幾何表示
坐標表示
模
|a|＝
|a|＝
數(shù)量積
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夾角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關(guān)系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|
≤·

1．兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；
兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．
2．平面向量數(shù)量積運算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3．當a與b同向時，a·b＝|a||b|；
當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.
[基礎(chǔ)自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)在△ABC中，向量與的夾角為∠B. ( )
(2)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量． ( )
(3)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角． ( )
(4)a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c. ( )
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．(教材改編)設(shè)a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，則t的值為( )
A．－4 B．4 C. D．－
A　[a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得t＝－4，故選A.]
3．(教材改編)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，則a與b的夾角θ為( )
A. B. C. D.
D　[cos θ＝＝＝－，
又0≤θ≤π，則θ＝，故選D.]
4．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，則m＝________.
2　[由a⊥b得a·b＝0，即－6＋3m＝0，
解得m＝2.]
5．(教材改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________．
－2　[由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.]

平面向量數(shù)量積的運算
1．(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
B　[因為|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3，故選B.]
2．已知＝(2,1)，點C(－1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為 ( )
A．－ B．－3 C. D．3
C　[因為點C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影為
||cos〈，〉＝＝＝，故選C.]
3．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則·的值為( )
A．－ B. C. D.
B　[如圖所示，＝＋.

又D，E分別為AB，BC的中點，
且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，
所以＝＋.
又＝－，
則·＝·(－)
＝·－2＋2－·
＝2－2－·.
又||＝||＝1，∠BAC＝60°，
故·＝－－×1×1×＝.
故選B.]
[規(guī)律方法]　平面向量數(shù)量積的三種運算方法
(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉.
(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.

平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
?考法1　求向量的模
【例1】　(1)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D為BC中點，則||等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)(2019·廣州模擬)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，則|b|等于( )
A．4 B．2 C. D．1
(1)A　(2)D　[(1)因為＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，則||＝2.
(2)由|a－2b|＝2，
得(a－2b)2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝4，
即|a|2－4|a||b|cos 60°＋4|b|2＝4，
即|b|2－|b|＝0，解得|b|＝0(舍去)或|b|＝1，故選D.]
?考法2　求向量的夾角
【例2】　(1)已知向量a，b滿足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，則a與b的夾角θ為( )
A. B. C. D.
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．
(1)C　(2)∪　[(1)∵(a＋2b)·(5a－4b)＝0，
∴5a2＋6a·b－8b2＝0.
又|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝，
∴cos θ＝＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故選C.
(2)因為2a－3b與c的夾角為鈍角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，所以4k－6－6＜0，所以k＜3.又若(2a－3b)∥c，則2k－3＝－12，即k＝－.當k＝－時，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b與c反向．
綜上，k的取值范圍為∪.]
?考法3　平面向量的垂直問題
【例3】　(1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，則實數(shù)t的值為________．
(2)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為________．
(1)－5　(2)　[(1)∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．
又a⊥(ta＋b)，則a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.
(2)由⊥得·＝0，即(λ＋)·(－)＝0，
∴(λ－1)·－λ2＋2＝0，
即－3(λ－1)－9λ＋4＝0.
解得λ＝.]
[規(guī)律方法]　平面向量數(shù)量積求解問題的策略
(1)求兩向量的夾角：，要注意θ∈[0，π].
(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.

③若a＝(x，y)，則|a|＝.
(1)(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.
(2)(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實數(shù)λ的值是________．
(1)2　(2) [(1)法一：|a＋2b|＝
＝
＝
＝＝2.
法二：(數(shù)形結(jié)合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.

(2)由題意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝
＝＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝＝＝，
解得λ＝.]

平面向量與三角函數(shù)的綜合
【例4】　(2017·江蘇高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值．
[解]　(1)因為a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，則sin x＝0，與sin2 x＋cos2 x＝1矛盾，
故cos x≠0.
于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因為x∈[0，π]，所以x＋∈，
從而－1≤cos≤.
于是，當x＋＝，即x＝0時，f(x)取到最大值3；
當x＋＝π，即x＝時，f(x)取到最小值－2.
[規(guī)律方法]　平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路
(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.
(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)的定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.
在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m與n的夾角為，求x的值．
[解]　(1)因為m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因為|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sin x－cos x＝，所以sin＝，
因為0＜x＜，所以－＜x－＜，
所以x－＝，即x＝.

1．(2016·全國卷Ⅲ)已知向量＝，＝，則∠ABC＝( )
A．30° B．45° 　C．60° 　D．120°
A　[因為＝，＝，所以·＝＋＝.又因為·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故選A.]
2．(2015·全國卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
C　[法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，
從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
從而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故選C.]
3．(2014·全國卷Ⅱ)設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
A　[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
將上面兩式左右兩邊分別相減，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.]
4．(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________.
7　[∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．
又a＋b與a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.]
自我感悟：______________________________________________________
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