一、知識梳理
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
2．平面向量的坐標(biāo)運算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))．
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
3．平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0．
[提醒] 當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時，a∥b與eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)等價．
即兩個不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例．
常用結(jié)論
1．共線向量定理應(yīng)關(guān)注的兩點
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因為x2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.
(2)判斷三點是否共線，先求每兩點對應(yīng)的向量，然后按兩向量共線進(jìn)行判定．
2．兩個結(jié)論
(1)已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
(2)已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
二、教材衍化
1．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb與a－2b共線，則eq \f(m,n)＝( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－2 D．2
解析：選A．由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb與a－2b共線，得－(2m－n)＝4(3m＋2n)，所以eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2).故選A．
2．已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標(biāo)為________．
解析：設(shè)D(x，y)，則由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5.))
答案：(1，5)
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底．( )
(2)在△ABC中，向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))的夾角為∠ABC．( )
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
(5)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易錯糾偏
常見誤區(qū)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共線；
(2)由點的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)忽視起點與終點致誤．
1．設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的交點，則給出下列向量組：①eq \(AD,\s\up6(→))與eq \(AB,\s\up6(→))；②eq \(DA,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))；③eq \(CA,\s\up6(→))與eq \(DC,\s\up6(→))；④eq \(OD,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→)).
其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：選B．平面內(nèi)任意兩個不共線的向量都可以作為基底，如圖：
對于①，eq \(AD,\s\up6(→))與eq \(AB,\s\up6(→))不共線，可作為基底；
對于②，eq \(DA,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))為共線向量，不可作為基底；
對于③，eq \(CA,\s\up6(→))與eq \(DC,\s\up6(→))是兩個不共線的向量，可作為基底；
對于④，eq \(OD,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))在同一條直線上，是共線向量，不可作為基底．
2．已知點A(0，1)，B(3，2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，則向量eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
解析：選A．法一：設(shè)C(x，y)，
則eq \(AC,\s\up6(→))＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝－2，))
從而eq \(BC,\s\up6(→))＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故選A．
法二：eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故選A．
考點一 平面向量基本定理的應(yīng)用(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解平面向量的基本定理及其意義．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運算
(1)在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝3eq \(EA,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B．eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)b
C．－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D．－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b
(2)(2020·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，連接CE，DF，交于點G.若eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq \f(λ,μ)＝________．
【解析】 (1)eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(CA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,12)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b.
(2)由題圖可設(shè)eq \(CG,\s\up6(→))＝xeq \(CE,\s\up6(→))(x＞0)，則eq \(CG,\s\up6(→))＝x(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(CD,\s\up6(→))))＝eq \f(x,2)eq \(CD,\s\up6(→))＋xeq \(CB,\s\up6(→)).因為eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))與eq \(CB,\s\up6(→))不共線，所以λ＝eq \f(x,2)，μ＝x，所以eq \f(λ,μ)＝eq \f(1,2).
【答案】 (1)C (2)eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
運算遵法則 基底定分解
(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算．一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系．
(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該組基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每組基底下的分解都是唯一的．
1．在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且AP＝eq \f(1,3)AB，BQ＝eq \f(1,3)BC，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(PQ,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b B．－eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b
C．eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b D．－eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b
解析：選A．由題意知eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b，故選A．
2．已知點A，B為單位圓O上的兩點，點P為單位圓O所在平面內(nèi)的一點，且eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))不共線．
(1)在△OAB中，點P在AB上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，若eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，求r＋s的值；
(2)已知點P滿足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))(m為常數(shù))，若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值．
解：(1)因為eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))，
又因為eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，
所以r＝eq \f(2,3)，s＝－eq \f(2,3)，所以r＋s＝0.
(2)因為四邊形OABP為平行四邊形，
所以eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))，
又因為eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，所以eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋(m＋1)eq \(OA,\s\up6(→))，
依題意eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))是非零向量且不共線，
所以m＋1＝0，解得m＝－1.
考點二 平面向量的坐標(biāo)運算(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．
2．會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運算
已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n的值；
(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．
【解】 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因為mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點，因為eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝3c，
所以eq \(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．又因為eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝－2b，
所以eq \(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)．所以eq \(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．
eq \a\vs4\al()
向量坐標(biāo)運算問題的一般思路
(1)向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運算，使得向量的線性運算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，通過建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算．
(2)巧借方程思想求坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)運算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過程中要注意方程思想的運用．
1．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，則c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
解析：選A．3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故選A．
2．已知O為坐標(biāo)原點，點C是線段AB上一點，且A(1，1)，C(2，3)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|，則向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是________．
解析：由點C是線段AB上一點，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|，得eq \(BC,\s\up6(→))＝－2eq \(AC,\s\up6(→)).設(shè)點B為(x，y)，則(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x＝－2，,3－y＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝7.))所以向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是(4，7)．
答案：(4，7)
3．如圖所示，以e1，e2為基底，則a＝________．
解析：以e1的起點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，
則e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，令a＝xe1＋ye2，即(－3，1)＝x(1，0)＋y(－1，1)，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝－3，,y＝1，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))即a＝－2e1＋e2.
答案：－2e1＋e2
考點三 平面向量共線的坐標(biāo)表示(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運算
角度一 利用向量共線求向量或點的坐標(biāo)
已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點D的坐標(biāo)為________．
【解析】 因為在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→)).設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)，則eq \(DC,\s\up6(→))＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))故點D的坐標(biāo)為(2，4)．
【答案】 (2，4)
角度二 利用兩向量共線求參數(shù)
已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三點共線，則k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
【解析】 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)．
因為A，B，C三點共線，所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共線，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq \f(2,3).
【答案】 A
eq \a\vs4\al()
(1)向量共線的兩種表示形式
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b?a＝λb(b≠0)；②a∥b?x1y2－x2y1＝0，至于使用哪種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用②.
(2)兩向量共線的充要條件的作用
判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點共線的問題；另外，利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值．
1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，則m＝________．
解析：因為a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，
所以a＋b＝(1，m－1)．
因為(a＋b)∥c，c＝(－1，2)，
所以2－(－1)·(m－1)＝0.
所以m＝－1.
答案：－1
2．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)當(dāng)k為何值時，ka－b與a＋2b共線？
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三點共線，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因為ka－b與a＋2b共線，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－eq \f(1,2).
(2)法一：因為A，B，C三點共線，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝λ,3＝mλ))，解得m＝eq \f(3,2).
法二：eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因為A、B、C三點共線，
所以eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→)).所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝eq \f(3,2).
[基礎(chǔ)題組練]
1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a＝(1，2)，a－eq \f(1,2)b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，則x＝( )
A．－2 B．－4
C．－3 D．－1
解析：選D．因為a－eq \f(1,2)b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝eq \f(1,2)b，則b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故選D．
2．(2020·河南新鄉(xiāng)三模)設(shè)向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，若向量a＝－3e1－e2與b＝e1－λe2共線，則λ＝( )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．－3 D．3
解析：選B．法一：因為a與b共線，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．
故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－eq \f(1,3).
故選B．
法二：因為向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，
故由a與b共線可得，eq \f(1,－3)＝eq \f(－λ,－1)，解得λ＝－eq \f(1,3).
故選B．
3．已知OB是平行四邊形OABC的一條對角線，O為坐標(biāo)原點，eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，3)，若點E滿足eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，則點E的坐標(biāo)為( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(1,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))
解析：選A．易知eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，則C(－1，－1)，設(shè)E(x，y)，則3eq \(EC,\s\up6(→))＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3－3x＝－1，,－3－3y＝－1，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).
4．(2020·河北豫水中學(xué)質(zhì)檢)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAB＝60°，設(shè)eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq \f(λ,μ)＝( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3)
C．3 D．2eq \r(3)
解析：選A．如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點的坐標(biāo)為(1，0)，C點的坐標(biāo)為(0，2)，
因為∠DAB＝60°，所以設(shè)D點的坐標(biāo)為(m，eq \r(3)m)(m≠0)．
eq \(AD,\s\up6(→))＝(m，eq \r(3)m)＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，則λ＝m，且μ＝eq \f(\r(3),2)m，
所以eq \f(λ,μ)＝eq \f(2\r(3),3).
5．(多選)(2021·預(yù)測)已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，D為線段OA的中點，則eq \(BD,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)) B．eq \f(4,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))
C．eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→)) D．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))
解析：選AC．如圖所示，設(shè)BC的中點為E，則eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)).故選AC．
6．(2020·湖北荊門階段檢測)在△AOB中，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))，D為OB的中點，若eq \(DC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，則λμ的值為________．
解析：因為eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，因為D為OB的中點，所以eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(4,5)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(3,10)eq \(OB,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(4,5)，μ＝－eq \f(3,10)，則λμ的值為－eq \f(6,25).
答案：－eq \f(6,25)
7．已知O為坐標(biāo)原點，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－2，－1)，若2eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，則|eq \(OP,\s\up6(→))|＝________.
解析：設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)，由2eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－2＝－3，,2y－4＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).))故|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
8．已知A(－3，0)，B(0，eq \r(3))，O為坐標(biāo)原點，C在第二象限，且∠AOC＝30°，eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為________．
解析：由題意知eq \(OA,\s\up6(→))＝(－3，0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3))，
則eq \(OC,\s\up6(→))＝(－3λ，eq \r(3))，
由∠AOC＝30°知，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，OC為終邊的一個角為150°，所以tan 150°＝eq \f(\r(3),－3λ)，
即－eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(\r(3),3λ)，所以λ＝1.
答案：1
9．已知點O為坐標(biāo)原點，A(0，2)，B(4，6)，eq \(OM,\s\up6(→))＝t1eq \(OA,\s\up6(→))＋t2eq \(AB,\s\up6(→)).
(1)求點M在第二或第三象限的充要條件；
(2)求證：當(dāng)t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點共線．
解：(1)eq \(OM,\s\up6(→))＝t1eq \(OA,\s\up6(→))＋t2eq \(AB,\s\up6(→))＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．
點M在第二或第三象限?eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4t2＜0，,2t1＋4t2≠0，))
解得t2＜0且t1＋2t2≠0.
故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠0.
(2)證明：當(dāng)t1＝1時，由(1)知eq \(OM,\s\up6(→))＝(4t2，4t2＋2)．
因為eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4，4)，
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2eq \(AB,\s\up6(→))，
所以A，B，M三點共線．
10．如圖，在△OBC中，點A是線段BC的中點，點D是線段OB上一個靠近點B的三等分點，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AO,\s\up6(→))＝b.
(1)用向量a與b表示向量eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)若eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))，判斷C，D，E三點是否共線，并說明理由．
解：(1)因為點A是線段BC的中點，點D是線段OB上一個靠近點B的三等分點，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BO,\s\up6(→)).因為eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AO,\s\up6(→))＝b，所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝－a－b，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BO,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→)))＝eq \f(5,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(5,3)a＋eq \f(1,3)b.
(2)C，D，E三點不共線．
因為eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))，
所以eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \(OC,\s\up6(→))－eq \f(3,5)eq \(AO,\s\up6(→))＝a＋b－eq \f(3,5)b＝a＋eq \f(2,5)b，
由(1)知eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(5,3)a＋eq \f(1,3)b，
所以不存在實數(shù)λ，使得eq \(CE,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→)).
所以C，D，E三點不共線．
[綜合題組練]
1．(多選)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m可以是( )
A．－2 B．eq \f(1,2)
C．1 D．－1
解析：選ABD．各選項代入驗證，若A，B，C三點不共線即可構(gòu)成三角形．因為eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，則A，B，C三點即可構(gòu)成三角形，故選ABD．
2.給定兩個長度為1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為90°，如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧eq \(AB,\s\up8(︵))上運動，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是( )
A．1 B．eq \r(2)
C．eq \r(3) D．2
解析：選B．因為點C在以O(shè)為圓心的圓弧eq \(AB,\s\up8(︵))上，所以|eq \(OC,\s\up6(→))|2＝|xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))|2＝x2＋y2＋2xyeq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x2＋y2，
所以x2＋y2＝1，則2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，
故x＋y的最大值為eq \r(2).
3．(創(chuàng)新型)若α，β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐標(biāo)為(－2，2)，則a在另一組基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐標(biāo)為________．
解析：因為a在基底p，q下的坐標(biāo)為(－2，2)，
即a＝－2p＋2q＝(2，4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
所以a在基底m，n下的坐標(biāo)為(0，2)．
答案：(0，2)
4．已知非零不共線向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，若2eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，且eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，則點P(x，y)的軌跡方程是________．
解析：由eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，得eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝λ(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
即eq \(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq \(OA,\s\up6(→))－λeq \(OB,\s\up6(→)).
又2eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
5．(一題多解)如圖，在同一個平面內(nèi)，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))的模分別為1，1，eq \r(2)，eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為α，且tan α＝7，eq \(OB,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為45°.若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，求m＋n的值．
解：法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1，0)，由tan α＝7，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，得sin α＝eq \f(7,5\r(2))，cs α＝eq \f(1,5\r(2))，設(shè)C(xC，yC)，B(xB，yB)，則xC＝|eq \(OC,\s\up6(→))|cs α＝eq \r(2)×eq \f(1,5\r(2))＝eq \f(1,5)，yC＝|eq \(OC,\s\up6(→))|sin α＝eq \r(2)×eq \f(7,5\r(2))＝eq \f(7,5)，
即Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(7,5))).又cs(α＋45°)＝eq \f(1,5\r(2))×eq \f(1,\r(2))－eq \f(7,5\r(2))×eq \f(1,\r(2))＝－eq \f(3,5)，sin (α＋45°)＝eq \f(7,5\r(2))×eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,5\r(2))×eq \f(1,\r(2))＝eq \f(4,5)，則xB＝|eq \(OB,\s\up6(→))|cs(α＋45°)＝－eq \f(3,5)，yB＝|eq \(OB,\s\up6(→))|sin (α＋45°)＝eq \f(4,5)，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，由eq \(OC,\s\up6(→))＝m eq \(OA,\s\up6(→))＋n eq \(OB,\s\up6(→))，可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)＝m－\f(3,5)n，,\f(7,5)＝\f(4,5)n，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,4)，,n＝\f(7,4)，))所以m＋n＝eq \f(5,4)＋eq \f(7,4)＝3.
法二：由tan α＝7，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，得sin α＝eq \f(7,5\r(2))，cs α＝eq \f(1,5\r(2))，則cs(α＋45°)＝eq \f(1,5\r(2))×eq \f(1,\r(2))－eq \f(7,5\r(2))×eq \f(1,\r(2))＝－eq \f(3,5)，eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝1×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝1×eq \r(2)×eq \f(1,5\r(2))＝eq \f(1,5)，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(3,5)，由eq \(OC,\s\up6(→))＝m eq \(OA,\s\up6(→))＋n eq \(OB,\s\up6(→))，得eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝m eq \(OA,\s\up6(→))2＋n eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))，即eq \f(1,5)＝m－eq \f(3,5)n ①，同理可得eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝m eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＋n eq \(OB,\s\up6(→))2，即1＝－eq \f(3,5)m＋n ②，聯(lián)立①②，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,4)，,n＝\f(7,4).))所以m＋n＝eq \f(5,4)＋eq \f(7,4)＝3.
6.已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD為角平分線．
(1)求AD的長度；
(2)過點D作直線交AB，AC的延長線于不同兩點E，F(xiàn)，且滿足eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq \(AC,\s\up6(→))，求eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的值，并說明理由．
解：(1)根據(jù)角平分線定理：eq \f(DB,DC)＝eq \f(AB,AC)＝2，所以eq \f(BD,BC)＝eq \f(2,3)，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,9)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(4,9)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))2＝eq \f(4,9)－eq \f(4,9)＋eq \f(4,9)＝eq \f(4,9)，所以AD＝eq \f(2,3).
(2)因為eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3x)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(2,3y)eq \(AF,\s\up6(→))，
因為E，D，F(xiàn)三點共線，所以eq \f(1,3x)＋eq \f(2,3y)＝1，所以eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3.

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新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教師用書：第五章　2 第2講　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案

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