一、知識梳理
1．仰角和俯角
在目標(biāo)視線和水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫仰角，在水平視線下方的角叫俯角(如圖①)．
2．方位角
從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．
3．方向角
相對于某一正方向的水平角．
(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．
(3)南偏西等其他方向角類似．
常用結(jié)論
1．明確兩類角
(1)方位角：從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角．
(2)方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角．
2．解三角形應(yīng)用題的一般步驟
二、教材衍化
1．如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為________米．
答案：50eq \r(2)
2．如圖，在塔底D的正西方A處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，在塔底D的南偏東60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，A，B間的距離是84 m，則塔高CD＝________m.
解析：設(shè)塔高CD＝x m，
則AD＝x m，DB＝eq \r(3)x m.
又由題意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理，得
842＝x2＋(eq \r(3)x)2－2eq \r(3)·x2 cs 150°，
解得x＝12eq \r(7)(負(fù)值舍去)，故塔高為12eq \r(7) m.
答案：12eq \r(7)
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.( )
(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系．( )
(4)方位角大小的范圍是[0，2π)，方向角大小的范圍一般是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
二、易錯糾偏
常見誤區(qū)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)仰角、俯角概念不清；
(2)方向角概念不清；
(3)方位角概念不清．
1.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°的方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東40°的方向上，則燈塔A相對于燈塔B的方向為( )

A．北偏西5° B．北偏西10°
C．北偏西15° D．北偏西20°
解析：選B．易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°－30°＝10°，故燈塔A相對于燈塔B的方向為北偏西10°.
2．在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60°，C點的俯角為70°，則∠BAC＝________
答案：130°
3．江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，在炮臺頂部測得兩條船的俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部所連的線成30°角，則兩條船相距________m.
解析：由題意畫示意圖，如圖，
OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝eq \f(\r(3),3)×30＝10eq \r(3)(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝eq \r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq \r(300)＝10eq \r(3)(m)．
答案：10eq \r(3)
考點一 解三角形應(yīng)用舉例(應(yīng)用型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模
角度一 測量距離問題
(2020·福建寧德5月質(zhì)檢)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞．若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點間的距離)，現(xiàn)取兩點C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為________．
【解析】 由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝eq \f(80sin 150°,sin 15°)＝eq \f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq \r(6)＋eq \r(2))．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，
由正弦定理eq \f(CD,sin∠CBD)＝eq \f(BC,sin∠BDC)，
得BC＝eq \f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(80×sin 15°,\f(1,2))＝160sin 15°＝40(eq \r(6)－eq \r(2))．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4eq \r(3))＋1 600×(8－4eq \r(3))＋2×1 600×(eq \r(6)＋eq \r(2))×(eq \r(6)－eq \r(2))×eq \f(1,2)＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80eq \r(5).
故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80eq \r(5).
【答案】 80eq \r(5)
eq \a\vs4\al()
解決距離問題的兩個注意事項：
(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定的三角形中求解．
(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如都可用，就選便于計算的定理．
角度二 測量高度問題
(2020·吉林長春質(zhì)量監(jiān)測四)《海島算經(jīng)》是中國學(xué)者劉徽編撰的一部測量數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)有取自其中的一個問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？其大意為：如圖所示，立兩個三丈高的標(biāo)桿BC和DE，兩標(biāo)桿之間的距離BD＝1 000步，兩標(biāo)桿的底端與海島的底端H在同一直線上，從前面的標(biāo)桿B處后退123步，人眼貼地面，從地上F處仰望島峰，A，C，F(xiàn)三點共線，從后面的標(biāo)桿D處后退127步，人眼貼地面，從地上G處仰望島峰，A，E，G三點也共線，則海島的高為(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)( )
A．1 255步 B．1 250步
C．1 230步 D．1 200步
【解析】 因為AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以eq \f(BF,HF)＝eq \f(BC,AH).
因為AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以eq \f(DG,HG)＝eq \f(DE,AH).
又BC＝DE，所以eq \f(BF,HF)＝eq \f(DG,HG)，即eq \f(123,123＋HB)＝eq \f(127,127＋1 000＋HB)，所以HB＝30 750步，
又eq \f(BF,HF)＝eq \f(BC,AH)，所以AH＝eq \f(5×（30 750＋123）,123)＝1 255(步)．故選A．
【答案】 A
eq \a\vs4\al()
解決高度問題應(yīng)注意的3個問題
(1)要理解仰角、俯角的定義；
(2)在實際問題中可能會遇到空間與平面(底面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形；
(3)注意山或塔垂直底面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．
角度三 測量角度問題
一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行(2eq \r(3)－2)n mile到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行4 n mile到達(dá)海島C．
(1)求AC的長；
(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，求∠CAB的大?。?br>【解】 (1)由題意，在△ABC中，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2eq \r(3)－2，BC＝4，
根據(jù)余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cs∠ABC
＝(2eq \r(3)－2)2＋42＋(2eq \r(3)－2)×4＝24，
所以AC＝2eq \r(6).
(2)根據(jù)正弦定理得，sin∠BAC＝eq \f(4×\f(\r(3),2),2\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，
所以∠CAB＝45°.
eq \a\vs4\al()
解決角度問題的三個注意事項
(1)測量角度時，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義；
(2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
(3)在解應(yīng)用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題過程中也要注意體會正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點．
1．一艘游輪航行到A處時看燈塔B在A的北偏東75°，距離為12eq \r(6)海里，燈塔C在A的北偏西30°，距離為12eq \r(3)海里，該游輪由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東60°方向，則此時燈塔C位于游輪的( )
A．正西方向 B．南偏西75°方向
C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向
解析：選C．如圖：在△ABD中，B＝45°，由正弦定理有eq \f(AD,sin 45°)＝eq \f(AB,sin 60°)，AD＝eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24.
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cs 30°，因為AC＝12eq \r(3)，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得eq \f(CD,sin 30°)＝eq \f(AC,sin∠CDA)，sin∠CDA＝eq \f(\r(3),2)，故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°.
因為AD＞AC，故∠CDA為銳角，所以∠CDA＝60°.
2．如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點之間的距離，選擇山坡上一段長度為300eq \r(3) m且和P，Q兩點在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點作為觀測點，現(xiàn)測得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，則P，Q兩點間的距離為________m.
解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.
又PB為公共邊，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA．
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
所以P，Q兩點間的距離為900 m.
答案：900
3．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.
解析：由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，
故由正弦定理得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，
解得BC＝300eq \r(2) m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300eq \r(2)×eq \f(\r(3),3)＝100eq \r(6)(m)．
答案：100eq \r(6)
考點二 求解幾何計算問題(綜合型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))解決此類問題的關(guān)鍵是尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果，求解時要靈活利用平面幾何的性質(zhì)，將幾何性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合起來．
(一題多解)(2020·湖南衡陽第三次聯(lián)考)如圖，在平面四邊形ABCD中，0

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