一、知識梳理
1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念
(1)數(shù)列的定義
按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng)．
(2)數(shù)列的分類
(3)數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法．
2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式
(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表達(dá)，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
3．?dāng)?shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(n≥2)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可用一個公式來表示，那么這個公式叫做數(shù)列的遞推公式．
常用結(jié)論
1．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在正整數(shù)集或其子集{1，2，3，…，n}上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．
2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1，))若an最小，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
二、教材衍化
1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq \f((－1)n,an－1)(n≥2)，則a5等于( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(5,3)
C．eq \f(8,5) D．eq \f(2,3)
解析：選D．a(chǎn)2＝1＋eq \f((－1)2,a1)＝2，a3＝1＋eq \f((－1)3,a2)＝eq \f(1,2)，a4＝1＋eq \f((－1)4,a3)＝3，a5＝1＋eq \f((－1)5,a4)＝eq \f(2,3).
2．根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式an＝________．
答案：5n－4
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列．( )
(2)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用通項(xiàng)公式表示．( )
(3)數(shù)列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．( )
(4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)．( )
(5)一個確定的數(shù)列，它的通項(xiàng)公式只有一個．( )
(6)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對?n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×
二、易錯糾偏
eq \a\vs4\al(常見誤區(qū))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)忽視數(shù)列是特殊的函數(shù)，其自變量為正整數(shù)集N*或其子集{1，2，…，n}；
(2)根據(jù)Sn求an時忽視對n＝1的驗(yàn)證．
1．在數(shù)列－1，0，eq \f(1,9)，eq \f(1,8)，…，eq \f(n－2,n2)中，0.08是它的第________項(xiàng)．
解析：依題意得eq \f(n－2,n2)＝eq \f(2,25)，解得n＝10或n＝eq \f(5,2)(舍)．
答案：10
2．已知Sn＝2n＋3，則an＝________．
解析：因?yàn)镾n＝2n＋3，那么當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝21＋3＝5；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不滿足(*)式，所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5，n＝1，,2n－1，n≥2.))
答案：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5，n＝1，,2n－1，n≥2))
考點(diǎn)一 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法)．
核心素養(yǎng)：邏輯推理
1．?dāng)?shù)列1，3，6，10，…的一個通項(xiàng)公式是( )
A．a(chǎn)n＝n2－(n－1) B．a(chǎn)n＝n2－1
C．a(chǎn)n＝eq \f(n(n＋1),2) D．a(chǎn)n＝eq \f(n(n－1),2)
解析：選C．觀察數(shù)列1，3，6，10，…可以發(fā)現(xiàn)
eq \a\vs4\al(1＝1，,3＝1＋2，,6＝1＋2＋3，,10＝1＋2＋3＋4，,…)
第n項(xiàng)為1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n(n＋1),2).
所以an＝eq \f(n(n＋1),2).
2．?dāng)?shù)列{an}的前4項(xiàng)是eq \f(3,2)，1，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，則這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是an＝________．
解析：數(shù)列{an}的前4項(xiàng)可變形為eq \f(2×1＋1,12＋1)，eq \f(2×2＋1,22＋1)，eq \f(2×3＋1,32＋1)，eq \f(2×4＋1,42＋1)，故an＝eq \f(2n＋1,n2＋1).
答案：eq \f(2n＋1,n2＋1)
3．?dāng)?shù)列eq \r(3)，eq \r(7)，eq \r(11)，eq \r(15)，…的一個通項(xiàng)公式是________．
解析：因?yàn)?－3＝11－7＝15－11＝4，即aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n)－1＝4，所以aeq \\al(2,n)＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝eq \r(4n－1).
答案：an＝eq \r(4n－1)
4．已知數(shù)列{an}為eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(5,8)，eq \f(13,16)，－eq \f(29,32)，eq \f(61,64)，…，則數(shù)列{an}的一個通項(xiàng)公式是________．
解析：各項(xiàng)的分母分別為21，22，23，24，…，易看出從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)的分子數(shù)比分母少3，且第1項(xiàng)可變?yōu)椋璭q \f(2－3,2)，故原數(shù)列可變?yōu)椋璭q \f(21－3,21)，eq \f(22－3,22)，－eq \f(23－3,23)，eq \f(24－3,24)，…故其通項(xiàng)公式可以為an＝(－1)n·eq \f(2n－3,2n).
答案：an＝(－1)n·eq \f(2n－3,2n)
eq \a\vs4\al()
解決此類問題，需抓住下面的特征：
(1)各項(xiàng)的符號特征，通過(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)節(jié)正負(fù)項(xiàng)．
(2)考慮對分子、分母各個擊破或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系．
(3)相鄰項(xiàng)(或其絕對值)的變化特征．
(4)拆項(xiàng)、添項(xiàng)后的特征．
(5)通過通分等方法變化后，觀察是否有規(guī)律．
[注意] 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式其實(shí)是利用了不完全歸納法，蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，由不完全歸納法得出的結(jié)果不一定是準(zhǔn)確的！
考點(diǎn)二 由an與Sn的關(guān)系求an(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))由Sn與an的關(guān)系求an.利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式．
(1)(2020·湖南三市聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝eq \f(a1(4n－1),3)，若a4＝32，則a1的值為( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,16)
(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則a1＝________，{an}的通項(xiàng)公式為________．
【解析】 (1)因?yàn)镾n＝eq \f(a1(4n－1),3)，a4＝32，所以S4－S3＝eq \f(255a1,3)－eq \f(63a1,3)＝32，所以a1＝eq \f(1,2)，故選A．
(2)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
當(dāng)n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
所以(2n－1)an＝2，所以an＝eq \f(2,2n－1).
當(dāng)n＝1時，a1＝2，上式也成立．
所以an＝eq \f(2,2n－1).
【答案】 (1)A (2)2 an＝eq \f(2,2n－1)
eq \a\vs4\al()
(1)已知Sn求an的三個步驟
①先利用a1＝S1求出a1；
②用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系式，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式；
③注意檢驗(yàn)n＝1時的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并．
(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則an＝________．
解析：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝4≠2×1＋1.所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.))
答案：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2))
2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，則{an}的通項(xiàng)公式an＝________．
解析：由Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，得當(dāng)n≥2時，Sn－1＝eq \f(2,3)an－1＋eq \f(1,3)，兩式相減，整理得an＝－2an－1，又當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝eq \f(2,3)a1＋eq \f(1,3)，所以a1＝1，所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列，故an＝(－2)n－1.
答案：(－2)n－1
考點(diǎn)三 由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式常利用構(gòu)造法、累加法、累乘法等．
分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．
【解】 (1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(n－1)2.
(2)由于eq \f(an＋1,an)＝2n，故eq \f(a2,a1)＝21，eq \f(a3,a2)＝22，…，eq \f(an,an－1)＝2n－1，
將這n－1個等式疊乘，
得eq \f(an,a1)＝21＋2＋…＋(n－1)＝2eq \s\up6(\f(n(n－1),2))，故an＝2eq \s\up6(\f(n(n－1),2))，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2eq \s\up6(\f(n(n－1),2)).
(3)因?yàn)閍n＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝3，所以數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2·3n－1－1.
eq \a\vs4\al()
由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法

1．在數(shù)列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，則an＝________．
解析：a1＝2，an＋1＝an＋2n－1?an＋1－an＝2n－1?an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，
則an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1
＝eq \f(1－2n－1,1－2)＋2＝2n－1＋1.
答案：2n－1＋1
2．若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．
解析：由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得eq \f(an,an－1)＝eq \f(n,n＋1)(n≥2)．
所以an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·eq \f(an－2,an－3)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)·a1
＝eq \f(n,n＋1)·eq \f(n－1,n)·eq \f(n－2,n－1)·…·eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×1＝eq \f(2,n＋1)，(*)
又a1也滿足(*)式，所以an＝eq \f(2,n＋1).
答案：eq \f(2,n＋1)
考點(diǎn)四 數(shù)列的函數(shù)特征(綜合型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))通過實(shí)例，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)．
核心素養(yǎng)：邏輯推理
角度一 數(shù)列的單調(diào)性
已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \f(3n＋k,2n)，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】 因?yàn)閍n＋1－an＝eq \f(3n＋3＋k,2n＋1)－eq \f(3n＋k,2n)＝eq \f(3－3n－k,2n＋1)，由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知，對任意n∈N*，an＋1－an＝eq \f(3－3n－k,2n＋1)＜0，所以k＞3－3n對任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故選D．
【答案】 D
eq \a\vs4\al()
(1)解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法
①用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；
②用作商比較法，根據(jù)eq \f(an＋1,an)(an＞0或an＜0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；
③結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷．
(2)求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法
①可以利用不等式組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an－1≤an，,an≥an＋1))(n≥2)找到數(shù)列的最大項(xiàng)；
②利用不等式組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an－1≥an，,an≤an＋1))(n≥2)找到數(shù)列的最小項(xiàng)．
角度二 數(shù)列的周期性
設(shè)數(shù)列{an}滿足：an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，a2 020＝3，那么a1＝( )
A．－2 B．2
C．－3 D．3
【解析】 設(shè)a1＝x，由an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，
得a2＝eq \f(1＋x,1－x)，
a3＝eq \f(1＋a2,1－a2)＝eq \f(1＋\f(1＋x,1－x),1－\f(1＋x,1－x))＝－eq \f(1,x)，
a4＝eq \f(1＋a3,1－a3)＝eq \f(1－\f(1,x),1＋\f(1,x))＝eq \f(x－1,x＋1)，
a5＝eq \f(1＋a4,1－a4)＝eq \f(1＋\f(x－1,x＋1),1－\f(x－1,x＋1))＝x＝a1，
所以數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列．
所以a2 020＝a505×4＝a4＝eq \f(x－1,x＋1)＝3.解得x＝－2.
【答案】 A
eq \a\vs4\al()
解決數(shù)列周期性問題的方法
先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．
1．等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且aeq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,11)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時的項(xiàng)數(shù)n的值為( )
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
解析：選C．由aeq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,11)，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，
因?yàn)閐＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，
又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.
因?yàn)閐＜0，所以{an}是遞減數(shù)列，
所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，顯然前5項(xiàng)和或前6項(xiàng)和最大，故選C．
2．(2020·遼寧重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sineq \f((n＋1)π,2)，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S18＝( )
A．0 B．18
C．10 D．9
解析：選C．因?yàn)閍n＋1－an＝sineq \f((n＋1)π,2)，
所以an＋1＝an＋sineq \f((n＋1)π,2).因?yàn)閍1＝1，
所以a2＝a1＋sin π＝1，a3＝a2＋sineq \f(3π,2)＝0，a4＝a3＋sineq \f(4π,2)＝0，a5＝a4＋sineq \f(5π,2)＝1，a6＝a5＋sineq \f(6π,2)＝1，a7＝a6＋sineq \f(7π,2)＝0，
a8＝a7＋sineq \f(8π,2)＝0，…，故數(shù)列{an}為周期數(shù)列，周期為4.
所以S18＝4(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝10.故選C．
3．已知數(shù)列{an}滿足an＝(n－λ)2n(n∈N*)，若{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．
解析：因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以an＋1＞an，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，化為λ＜n＋2，對?n∈N*都成立．所以λ＜3.
答案：(－∞，3)
[基礎(chǔ)題組練]
1．已知數(shù)列eq \r(5)，eq \r(11)，eq \r(17)，eq \r(23)，eq \r(29)，…，則5eq \r(5)是它的( )
A．第19項(xiàng) B．第20項(xiàng)
C．第21項(xiàng) D．第22項(xiàng)
解析：選C．?dāng)?shù)列eq \r(5)，eq \r(11)，eq \r(17)，eq \r(23)，eq \r(29)，…中的各項(xiàng)可變形為eq \r(5)，eq \r(5＋6)，eq \r(5＋2×6)，eq \r(5＋3×6)，eq \r(5＋4×6)，…，
所以通項(xiàng)公式為an＝eq \r(5＋6(n－1))＝eq \r(6n－1)，令eq \r(6n－1)＝5eq \r(5)，得n＝21.
2．已知數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq \f(1,2)，那么a5＝( )
A．eq \f(1,32) B．eq \f(1,16)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
解析：選A．因?yàn)閿?shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq \f(1,2)，所以a2＝a1a1＝eq \f(1,4)，a3＝a1·a2＝eq \f(1,8).那么a5＝a3·a2＝eq \f(1,32).故選A．
3．在數(shù)列{an}中，“|an＋1|＞an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B．“|an＋1|＞an”?an＋1＞an或－an＋1＞an，充分性不成立，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列?|an＋1|≥an＋1＞an成立，必要性成立，所以“|an＋1|＞an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選B．
4．(多選)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝1－eq \f(1,an)(n∈N*)，且a1＝2，則( )
A．a(chǎn)3＝－1 B．a(chǎn)2 019＝eq \f(1,2)
C．S3＝eq \f(3,2) D．S2 019＝eq \f(2 019,2)
解析：選ACD．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝1－eq \f(1,an)(n∈N*)，可得a2＝eq \f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，a5＝eq \f(1,2)，…所以an－3＝an，數(shù)列的周期為3.a2 019＝a672×3＋3＝a3＝－1.S3＝eq \f(3,2)，S2 019＝eq \f(2 019,2).
5．(2020·廣東廣州天河畢業(yè)班綜合測試(一))數(shù)列{an}滿足a1＝1，對任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，則eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a99)＝( )
A．eq \f(99,98) B．2
C．eq \f(99,50) D．eq \f(99,100)
解析：選C．由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，
則an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝eq \f(n(n＋1),2)，
則eq \f(1,an)＝eq \f(2,n(n＋1))＝eq \f(2,n)－eq \f(2,n＋1)，
則eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a99)＝2×[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,99)－\f(1,100)))]＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,100)))＝eq \f(99,50).故選C．
6．若數(shù)列{an}滿足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，
當(dāng)n＝1時，a1＝6；
當(dāng)n≥2時，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1·a2·a3·…·an－1·an＝(n＋1)(n＋2)，,a1·a2·a3·…·an－1＝n(n＋1)，))
故當(dāng)n≥2時，an＝eq \f(n＋2,n)，
所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6，n＝1，,\f(n＋2,n)，n≥2，n∈N*.))
答案：an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6，n＝1，,\f(n＋2,n)，n≥2，n∈N*))
7．(2020·黑龍江大慶一中模擬)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足a2＝2，Sn＝eq \f(1,2)n2＋An，則A＝________，數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an an＋1)))的前n項(xiàng)和Tn＝________．
解析：因?yàn)閍2＝S2－S1＝(2＋2A)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋A))＝2，所以A＝eq \f(1,2).
所以當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,2)n2＋eq \f(1,2)n－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)(n－1)2＋\f(1,2)(n－1)))＝n，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1滿足上式，所以an＝n.
所以eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,n(n＋1))＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，所以Tn＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)＝1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(n,n＋1).
答案：：eq \f(1,2) eq \f(n,n＋1)
8．(2020·重慶(區(qū)縣)調(diào)研測試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，則an＝________．
解析：由2Sn＝(n＋1)an知，當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝nan－1，所以2an＝2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an－nan－1，所以(n－1)an＝nan－1，
所以當(dāng)n≥2時，eq \f(an,n)＝eq \f(an－1,n－1)，所以eq \f(an,n)＝eq \f(a1,1)＝1，所以an＝n.
答案：n
9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
解：(1)因?yàn)閍5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝
(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，
又a1也適合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．
(2)因?yàn)楫?dāng)n＝1時，a1＝S1＝6；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，
由于a1不適合此式，所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6，n＝1，,2×3n－1＋2，n≥2.))
10．(2020·衡陽四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝4an＋3.
(1)寫出該數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝4.
解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因?yàn)閍1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以歸納得an＝4n－1.
(2)證明：因?yàn)閍n＋1＝4an＋3，所以eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝eq \f(4an＋3＋1,an＋1)＝eq \f(4(an＋1),an＋1)＝4.
[綜合題組練]
1．(2020·安徽江淮十校第三次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足eq \f(an＋1－an,n)＝2，a1＝20，則eq \f(an,n)的最小值為( )
A．4eq \r(5) B．4eq \r(5)－1
C．8 D．9
解析：選C．由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，
當(dāng)n＝1時，a1＝20符合上式，
所以eq \f(an,n)＝n＋eq \f(20,n)－1，n∈N*，
所以n≤4時eq \f(an,n)單調(diào)遞減，n≥5時eq \f(an,n)單調(diào)遞增，
因?yàn)閑q \f(a4,4)＝eq \f(a5,5)，所以eq \f(an,n)的最小值為eq \f(a4,4)＝eq \f(a5,5)＝8，故選C．
2．(多選)在數(shù)列{an}中，an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))eq \s\up12(n)，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)可以是( )
A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)
C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)
解析：選AB．假設(shè)an最大，則有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an＋1，,an≥an－1，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((n＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))\s\up12(n)≥(n＋2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))\s\up12(n＋1)，,(n＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))\s\up12(n)≥n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))\s\up12(n－1)，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＋1≥\f(7,8)(n＋2)，,\f(7,8)(n＋1)≥n，))即6≤n≤7，所以最大項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng)．
3．(2020·河南焦作第四次模擬)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n，記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq \f(Sn－2,2n＋1)＋1＝n，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝________．
解析：因?yàn)閑q \f(Sn－2,2n＋1)＋1＝n，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.所以當(dāng)n≥2時，Sn－1＝(n－2)2n＋2，兩式相減，得anbn＝n·2n，所以bn＝n；當(dāng)n＝1時，a1b1＝2，所以b1＝1.綜上所述，bn＝n，n∈N*.故答案為n.
答案：n
4．(2020·新疆一診)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}的前n項(xiàng)之積，則A2 019＝________．
解析：由an－anan＋1＝1，得an＋1＝1－eq \f(1,an)，
又a1＝3，則a2＝1－eq \f(1,a1)＝eq \f(2,3)，a3＝1－eq \f(1,a2)＝1－eq \f(3,2)＝－eq \f(1,2)，a4＝1－eq \f(1,a3)＝1－(－2)＝3，
則數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，且a1a2a3＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，則A2 019＝(a1a2a3)·(a4a5a6)·…·(a2017a2 018a2 019)＝(－1)673＝－1.
答案：－1
5．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n)＋eq \f(1,2)an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解：(1)由Sn＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n)＋eq \f(1,2)an(n∈N*)，可得a1＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,1)＋eq \f(1,2)a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,2)＋eq \f(1,2)a2，解得a2＝2；
同理a3＝3，a4＝4.
(2)Sn＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n)＋eq \f(1,2)an，①
當(dāng)n≥2時，Sn－1＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n－1)＋eq \f(1,2)an－1，②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于an＋an－1≠0，
所以an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n.
6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．
解：(1)依題意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，
又b1＝S1－3＝a－3，
因此，所求通項(xiàng)公式為bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(n－2)＋a－3))，
所以，當(dāng)n≥2時，
an＋1≥an?12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(n－2)＋a－3≥0?a≥－9，
又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.
所以，所求的a的取值范圍是[－9，3)∪(3，＋∞)．分類標(biāo)準(zhǔn)
類型
滿足條件
按項(xiàng)數(shù)
分類
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)有限
無窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)無限
按項(xiàng)與項(xiàng)
間的大小
關(guān)系分類
遞增數(shù)列
an＋1＞an
其中n∈N*
遞減數(shù)列
an＋1＜an
常數(shù)列
an＋1＝an
按其他
標(biāo)準(zhǔn)分類
有界數(shù)列
存在正數(shù)M，使|an|≤M
擺動數(shù)列
從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列
周期數(shù)列
對n∈N*，存在正整數(shù)常數(shù)k，使an＋k＝an

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