一、知識(shí)梳理
1．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．
(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．
[注意] (1)向量不同于數(shù)量，向量不僅有大小，而且還有方向．
(2)任意向量a的模都是非負(fù)實(shí)數(shù)，即|a|≥0.
2．向量的線性運(yùn)算
3.向量共線定理
向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．
常用結(jié)論
1．兩特殊向量
(1)零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量．它們的模是確定的，但方向不確定．
(2)非零向量a的同向單位向量為eq \f(a,|a|).
2．幾個(gè)重要結(jié)論
(1)若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
(2)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
(3)若G為△ABC的重心，則有
①eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0；②eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
二、教材衍化
1．已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則eq \(DC,\s\up6(→))＝________，eq \(BC,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)
解析：如圖，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝－a－b.
答案：b－a －a－b
2．在平行四邊形ABCD中，若|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD的形狀為________．
解析：如圖，因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(DB,\s\up6(→))|.由對(duì)角線長(zhǎng)相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形．
答案：矩形
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．( )
(2)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反．( )
(3)若向量eq \(AB,\s\up6(→))與向量eq \(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．( )
(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
二、易錯(cuò)糾偏
eq \a\vs4\al(常見,誤區(qū))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)對(duì)向量共線定理認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)確；
(2)向量的減法忽視兩向量的方向關(guān)系致誤．
1．對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A．若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要條件．
2．點(diǎn)D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量eq \(CD,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)) B．－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
C．eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)) D．eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
答案：A
考點(diǎn)一 平面向量的有關(guān)概念(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象
1．給出下列命題：
①向量eq \(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度與向量eq \(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等；
②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；
③|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同；
④若非零向量a與非零向量b的方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同．
其中敘述錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選C．對(duì)于②：當(dāng)a＝0時(shí)，不成立；對(duì)于③：當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)，不成立；對(duì)于④：當(dāng)a＋b＝0時(shí)，a＋b的方向是任意的，它可以與a，b的方向都不相同．故選C．
2．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分條件是( )
A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b
C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|
解析：選C．因?yàn)橄蛄縠q \f(a,|a|)的方向與向量a相同，向量eq \f(b,|b|)的方向與向量b相同，且eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)，所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項(xiàng)A，B，D．
當(dāng)a＝2b時(shí)，eq \f(a,|a|)＝eq \f(2b,|2b|)＝eq \f(b,|b|)，故a＝2b是eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分條件．
3．下列與共線向量有關(guān)的命題：
①相反向量就是方向相反的向量；
②a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞b；
③兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件．
其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為________．
解析：因?yàn)橄喾聪蛄渴欠较蛳喾矗笮∠嗟鹊膬蓚€(gè)向量，所以命題①是錯(cuò)誤的；因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以任何兩個(gè)向量都不能比較大小，所以命題②是錯(cuò)誤的；因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行不能推出兩個(gè)向量相等，而兩個(gè)向量相等，則這兩個(gè)向量平行，因此兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件，所以命題③是正確的．
答案：①②
eq \a\vs4\al()
平面向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆．
(4)非零向量a與eq \f(a,|a|)的關(guān)系：eq \f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．
考點(diǎn)二 平面向量的線性運(yùn)算(基礎(chǔ)型)
復(fù)習(xí)指導(dǎo)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義．
(2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算
(1)(一題多解)(2020·合肥市第二次質(zhì)量檢測(cè))在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C．eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D．eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
(2)(2020·河南八市聯(lián)考改編)在等腰梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，點(diǎn)E是線段eq \(BC,\s\up6(→))的中點(diǎn)，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，則λ＝________，μ＝________．
【解析】 (1)通解：如圖，過點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)).因?yàn)閑q \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故選A．
優(yōu)解一：eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故選A．
優(yōu)解二：由eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，得eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故選A．
(2)取AB的中點(diǎn)F，連接CF，則由題意可得CF∥AD，且CF＝AD．
因?yàn)閑q \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(FC,\s\up6(→))－eq \(FB,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(3,4)，μ＝eq \f(1,2).
【答案】 (1)A (2)eq \f(3,4) eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
向量線性運(yùn)算的解題策略
(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則．
(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．
1．下列四個(gè)結(jié)論：
①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0；
②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝0；
③eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝0；
④eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))＝0.
其中一定正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選C．①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，①正確；②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，②錯(cuò)；③eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝0，③正確；④eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \(NP,\s\up6(→))＋eq \(PN,\s\up6(→))＝0，④正確．故①③④正確．
2．已知D為三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CP,\s\up6(→))＝0，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PD,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為________．
解析：因?yàn)镈為邊BC的中點(diǎn)，所以eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，
又eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CP,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝－2eq \(PD,\s\up6(→))，
所以λ＝－2.
答案：－2
考點(diǎn)三 平面向量共線定理的應(yīng)用(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))理解兩個(gè)向量共線的含義，了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義．
核心素養(yǎng)：邏輯推理
設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．
【解】 (1)證明：因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共線，又它們有公共點(diǎn)B，
所以A，B，D三點(diǎn)共線．
(2)因?yàn)閗a＋b與a＋kb共線，
所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，
所以k＝±1.
【遷移探究】 (變條件)若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？
解：因?yàn)閗a＋b與a＋kb反向共線，
所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ

相關(guān)學(xué)案

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案 第5章 §5.1　平面向量的概念及線性運(yùn)算（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案 第5章 §5.1　平面向量的概念及線性運(yùn)算（含解析），共16頁(yè)。學(xué)案主要包含了平面向量的概念，平面向量的線性運(yùn)算，共線定理的應(yīng)用等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章第1課時(shí)平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章第1課時(shí)平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案，共19頁(yè)。學(xué)案主要包含了教師備選資源等內(nèi)容，歡迎下載使用。

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案6.1《平面向量的概念及線性運(yùn)算》(含詳解)：

這是一份(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案6.1《平面向量的概念及線性運(yùn)算》(含詳解)，共15頁(yè)。學(xué)案主要包含了知識(shí)梳理，教材衍化等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第1講平面向量的概念及其線性運(yùn)算學(xué)案

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第1講平面向量的概念及其線性運(yùn)算學(xué)案
人教版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章平面向量第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案理含解析

人教版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章平面向量第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案理含解析
第27講-平面向量的概念及線性運(yùn)算（解析版）學(xué)案

第27講-平面向量的概念及線性運(yùn)算（解析版）學(xué)案
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教師用書：第五章　1 第1講　平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教師用書：第五章　1 第1講　平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部