知識梳理
測量中的幾個有關(guān)術(shù)語
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)東南方向與南偏東45°方向相同．( √ )
(2)若△ABC為銳角三角形且A＝eq \f(π,3)，則角B的取值范圍是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( × )
(3)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.( × )
(4)俯角是鉛垂線與目標(biāo)視線所成的角，其范圍為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( × )
教材改編題
1．為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B(如圖)，要測量A，B兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以計算出A，B兩點的距離為( )
A．20eq \r(2) m B．30eq \r(2) m
C．40eq \r(2) m D．50eq \r(2) m
答案 D
解析 由三角形內(nèi)角和定理，
可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，
由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)
?eq \f(AB,\f(\r(2),2))＝eq \f(50,\f(1,2))?AB＝50eq \r(2).
2．為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距30 m的樓的樓頂C處測得塔頂A的仰角為30°，測得塔基B的俯角為45°，則塔AB的高度為________ m.
答案 30＋10eq \r(3)
解析 如圖所示，依題意∠ACE＝30°，
∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30，
由eq \f(AE,sin 30°)＝eq \f(CE,sin 60°)，得AE＝10eq \r(3)，
所以AB＝(30＋10eq \r(3)) m.
3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a＝2，A＝60°，則△ABC的面積最大值為________．
答案 eq \r(3)
解析 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，
∴4＝b2＋c2－bc，
∴bc＋4＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤4(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取“＝”)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4)bc≤eq \r(3)，
∴△ABC的面積最大值為eq \r(3).
題型一 解三角形的應(yīng)用舉例
命題點1 距離問題
例1 (1)(2022·天津模擬)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高度是60 m，則河流的寬度BC等于( )
A．240(eq \r(3)－1) m B．180(eq \r(2)－1) m
C．120(eq \r(3)－1) m D．30(eq \r(2)－1) m
答案 C
解析 從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，氣球的高度是60 m，
所以∠ABC＝105°，∠ACB＝30°，∠CAB＝45°，
所以AB＝eq \f(60,sin 75°)，
由正弦定理可得eq \f(AB,sin 30°)＝eq \f(BC,sin 45°)，
所以BC＝eq \f(ABsin 45°,sin 30°)＝eq \f(60×\r(2),sin?30°＋45°?)
＝120(eq \r(3)－1)．
(2)(2022·寧德質(zhì)檢)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點間的距離)，現(xiàn)取兩點C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為________．
答案 80eq \r(5)
解析 由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得
AC＝eq \f(80sin 150°,sin 15°)＝eq \f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq \r(6)＋eq \r(2))．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理eq \f(CD,sin∠CBD)＝eq \f(BC,sin∠BDC)，
得BC＝eq \f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(80×sin 15°,\f(1,2))
＝160sin 15°
＝40(eq \r(6)－eq \r(2))．
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝1 600×(8＋4eq \r(3))＋1 600×(8－4eq \r(3))＋2×1 600×(eq \r(6)＋eq \r(2))×(eq \r(6)－eq \r(2))×eq \f(1,2)＝1 600×16＋1 600×4
＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80eq \r(5)，
故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80eq \r(5).
命題點2 高度問題
例2 (1)(2022·重慶沙坪壩質(zhì)檢)在東京奧運會乒乓球男單頒獎禮上，五星紅旗冉冉升起，在坡度15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為9eq \r(6)米(如圖所示)，則旗桿的高度為( )
A．9米 B．27米
C．9eq \r(3)米 D．9eq \r(6)米
答案 B
解析 依題意可知∠AEC＝45°，
∠CAE＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠ACE＝180°－45°－105°＝30°，
由正弦定理可知eq \f(AE,sin∠ACE)＝eq \f(AC,sin∠AEC)，
∴AC＝eq \f(AE,sin∠ACE)·sin∠AEC＝18eq \r(3)(米)，
∴在Rt△ABC中，
BC＝AC·sin∠CAB＝18eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝27(米)．
(2)(2022·河南豫南九校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖所示，為測量某不可到達(dá)的豎直建筑物AB的高度，在此建筑物的同一側(cè)且與此建筑物底部在同一水平面上選擇相距10米的C，D兩個觀測點，并在C，D兩點處測得建筑物頂部的仰角分別為45°和60°，且∠BDC＝60°，則此建筑物的高度為( )
A．10eq \r(3)米 B．5eq \r(3)米
C．10米 D．5米
答案 B
解析 設(shè)AB＝x，則BC＝x，BD＝eq \f(\r(3),3)x，
在△BCD中，由余弦定理可得
BC2＝BD2＋DC2－2BD·DCcs∠BDC，
即x2＝eq \f(1,3)x2＋100－2×eq \f(\r(3),3)x×10×eq \f(1,2)，
整理得x2＋5eq \r(3)x－150＝0，
解得x＝5eq \r(3)或x＝－10eq \r(3)(舍)．
命題點3 角度問題
例3 (1)(2022·合肥檢測)兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的( )
A．北偏東10° B．北偏西10°
C．南偏東10° D．南偏西10°
答案 B
解析 由題可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如圖，B正確．
(2)如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100 m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50 m，山坡對于地平面的坡角為θ，則cs θ等于( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(6)－2
C.eq \r(3)－1 D.eq \r(2)－1
答案 C
解析 由題知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，
所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°.
在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AB,sin 30°)＝eq \f(AC,sin 135°)，
又AB＝100 m，所以AC＝100eq \r(2) m.
在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m，
由正弦定理得eq \f(AC,sin?θ＋90°?)＝eq \f(CD,sin 15°)，
所以cs θ＝sin(θ＋90°)＝eq \f(AC·sin 15°,CD)
＝eq \r(3)－1.
教師備選
1．(2022·長沙模擬)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是( )
A．10eq \r(2)海里 B．10eq \r(3)海里
C．20eq \r(3)海里 D．20eq \r(2)海里
答案 A
解析 如圖所示，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根據(jù)正弦定理得eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 45°)，
解得BC＝10eq \r(2)(海里)．
2．圣·索菲亞教堂(英語：SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996年經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為(15eq \r(3)－15)m，在它們之間的地面上的點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得教堂頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為( )
A．20 m B．30 m
C．20eq \r(3) m D．30eq \r(3) m
答案 D
解析 由題意知∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，
所以∠ACM＝30°，
在Rt△ABM中，AM＝eq \f(AB,sin∠AMB)＝eq \f(AB,sin 15°)，
在△ACM中，由正弦定理得eq \f(AM,sin 30°)＝eq \f(CM,sin 45°)，
所以CM＝eq \f(AM·sin 45°,sin 30°)＝eq \f(AB·sin 45°,sin 15°·sin 30°)，
在Rt△DCM中，
CD＝CM·sin 60°＝eq \f(AB·sin 45°·sin 60°,sin 15°·sin 30°)
＝eq \f(?15\r(3)－15?×\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2),\f(\r(6)－\r(2),4)×\f(1,2))＝30eq \r(3)(m)．
思維升華 解三角形的應(yīng)用問題的要點
(1)從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)如圖所示，為了測量A，B兩島嶼的距離，小明在D處觀測到A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩島嶼的距離為________海里．
答案 5eq \r(6)
解析 由題意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，
∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，
在△ACD中，由正弦定理得eq \f(AD,sin 30°)＝eq \f(10,sin 45°)，
所以AD＝eq \f(10sin 30°,sin 45°)＝eq \f(5,sin 45°)＝5eq \r(2)，
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
所以△BCD為等腰直角三角形，
則BD＝eq \r(2)CD＝10eq \r(2)，在△ABD中，由余弦定理可得AB＝eq \r(AD2＋BD2－2AD·BDcs 60°)
＝5eq \r(6)(海里)．
(2)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________ m.
答案 100eq \r(6)
解析 由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，
故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，
故由正弦定理得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，
解得BC＝300eq \r(2) m.
在Rt△BCD中，
CD＝BC·tan 30°＝300eq \r(2)×eq \f(\r(3),3)＝100eq \r(6)(m)．
題型二 解三角形中的最值和范圍問題
例4 (2022·遼寧實驗中學(xué)模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知eq \f(\r(3),3)bsin C＋ccs B＝a.
(1)若a＝2，b＝eq \r(3)，求△ABC的面積；
(2)若c＝2，求△ABC周長的取值范圍．
解 (1)∵eq \f(\r(3),3)bsin C＋ccs B＝a，
∴eq \f(\r(3),3)sin Bsin C＋sin Ccs B＝sin A，
∴eq \f(\r(3),3)sin Bsin C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)，
∴eq \f(\r(3),3)sin Bsin C＋sin Ccs B
＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
∴eq \f(\r(3),3)sin Bsin C＝sin Bcs C，
∵sin B≠0，∴eq \f(\r(3),3)sin C＝cs C，
又易知cs C≠0，
∴tan C＝eq \r(3)，
∵0

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