一、知識(shí)梳理
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念
2.用五點(diǎn)法畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖
用五點(diǎn)法畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：
3.三角函數(shù)圖象變換的兩種方法(ω＞0)
常用結(jié)論
1．由y＝sin ωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的變換：向左平移eq \f(φ,ω)個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度．
2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱(chēng)軸由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)確定；對(duì)稱(chēng)中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)確定其橫坐標(biāo)．
二、教材衍化
1．函數(shù)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的振幅、頻率和初相分別為( )
A．2，4π，eq \f(π,3) B．2，eq \f(1,4π)，eq \f(π,3)
C．2，eq \f(1,4π)，－eq \f(π,3) D．2，4π，－eq \f(π,3)
解析：選C．由題意知A＝2，f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)＝eq \f(1,4π)，初相為－eq \f(π,3).
2．函數(shù)y＝sin x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是________．
解析：根據(jù)函數(shù)圖象變換法則可得．
答案：y＝sineq \f(1,2)x
3．某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測(cè)部門(mén)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購(gòu)價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn)．下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：
選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述收購(gòu)價(jià)格(元/斤)與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系為_(kāi)_______．
解析：設(shè)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由題意得A＝1，B＝6，T＝4，因?yàn)門(mén)＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝eq \f(π,2)，所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋φ))＋6.因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，y＝6，所以6＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＋6，結(jié)合表中數(shù)據(jù)得eq \f(π,2)＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－eq \f(π,2)，所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－\f(π,2)))＋6＝6－cs eq \f(π,2)x.
答案：y＝6－cs eq \f(π,2)x
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)把y＝sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq \f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝sin eq \f(1,2)x.( )
(2)將y＝sin 2x的圖象向右平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的圖象．( )
(3)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值為A，最小值為－A．( )
(4)如果y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期為T(mén)，那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為eq \f(T,2).( )
(5)若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
二、易錯(cuò)糾偏
eq \a\vs4\al(常見(jiàn),誤區(qū))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)搞不清ω的值對(duì)圖象變換的影響；
(2)確定不了函數(shù)解析式中φ的值．
1．若將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移eq \f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，則得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝________．
解析：函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移eq \f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
答案：2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
2．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則f(x)＝________．
解析：設(shè)f(x)的最小正周期為T(mén)，
根據(jù)題圖可知，eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，
所以T＝π，故ω＝2，
根據(jù)2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)＋φ))＝0(增區(qū)間上的零點(diǎn))可知，eq \f(π,6)＋φ＝2kπ，k∈Z，
即φ＝2kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，
又|φ|＜eq \f(π,2)，故φ＝－eq \f(π,6).
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
答案：2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
考點(diǎn)一 五點(diǎn)法作圖及圖象變換(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能畫(huà)出y＝sin x，y＝cs x，y＝tan x的圖象．
核心素養(yǎng)：直觀想象
已知函數(shù)f(x)＝eq \r(3)sin 2x＋2cs2x＋a，其最大值為2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)畫(huà)出f(x)在[0，π]上的圖象．
【解】 (1)f(x)＝eq \r(3)sin 2x＋2cs2x＋a
＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x＋1＋a
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1＋a的最大值為2，
所以a＝－1，最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，列表：
畫(huà)圖如下：
【遷移探究1】 (變結(jié)論)在本例條件下，函數(shù)y＝2cs 2x的圖象向右平移________個(gè)單位得到y(tǒng)＝f(x)的圖象．
解析：將函數(shù)y＝2cs 2x的圖象向右平移eq \f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y＝2sin 2x的圖象，再將y＝2sin 2x的圖象向左平移eq \f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y＝2sin(2x＋eq \f(π,6))的圖象，綜上可得，函數(shù)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的圖象可以由函數(shù)y＝2cs 2x的圖象向右平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
答案：eq \f(π,6)
【遷移探究2】 (變問(wèn)法)在本例條件下，若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，且y＝g(x)是偶函數(shù)，求m的最小值．
解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋eq \f(π,6)]＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m－\f(π,6)))))是偶函數(shù)，所以2m－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)(2k＋1)，k∈Z，m＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)，k∈Z，
又因?yàn)閙>0，所以m的最小值為eq \f(π,3).
eq \a\vs4\al()
函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
的圖象的兩種作法
[注意] 平移變換和伸縮變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是ωx加減多少值．
1．(2020·廣州市調(diào)研測(cè)試)由y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x－\f(π,6)))的圖象向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,12))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12x－\f(π,6)))
解析：選A．由y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x－\f(π,6)))的圖象向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋2π－\f(π,6)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x－\f(π,6)))的圖象，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到y(tǒng)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))的圖象，故所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))，選A．
2．(2020·湖南模擬改編)已知函數(shù)f(x)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x，將y＝f(x)的圖象向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則所得函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_______，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))的值為_(kāi)_______．
解析：由題知函數(shù)f(x)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
將y＝f(x)的圖象向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，
可得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)－\f(π,3)))＝2sin 2x的圖象，
再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝g(x)＝2sin 2x＋1的圖象，
則T＝eq \f(2π,2)＝π，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)))＋1＝3.
答案：π 3
考點(diǎn)二 求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解y＝Asin(ωx＋φ)的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，觀察參數(shù)A、ω、φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響．
核心素養(yǎng)：直觀想象
(2020·蓉城名校第一次聯(lián)考)若將函數(shù)g(x)圖象上所有的點(diǎn)向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)f(x)的圖象，已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則( )
A．g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) B．g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))
C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
【解析】 根據(jù)題圖有A＝1，eq \f(3,4)T＝eq \f(5π,6)－eq \f(π,12)＝eq \f(3π,4)?T＝π＝eq \f(2π,ω)?ω＝2(T為f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)＋φ))＝1?sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋φ))＝1?eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z?φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z.因?yàn)閨φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，將f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象向右平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))
＝sin 2x.故選C．
【答案】 C
eq \a\vs4\al()
確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法
(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，
則A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω，確定函數(shù)的最小正周期T，則可得ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)；
②特殊點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“最值點(diǎn)”為突破口．具體如下：
“最大值點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí)ωx＋φ ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)；“最小值點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí)ωx＋φ＝eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)．
1．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，－\f(π,2)

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