第7講　解三角形應(yīng)用舉例
[考綱解讀]　1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn))
2．利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題，主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立三角函數(shù)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．(難點(diǎn))
[考向預(yù)測(cè)]　從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)考查內(nèi)容．預(yù)計(jì)2021年會(huì)強(qiáng)化對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的考查．以與三角形有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題為主要命題方向，結(jié)合正、余弦定理求解平面幾何中的基本量，實(shí)際背景中求距離、高度、角度等均可作為命題角度．試題可以為客觀題也可以是解答題，難度以中檔為主.


對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P082
1.仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．

2．方位角
從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．
3．方向角
相對(duì)于某一正方向的水平角．
(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．
(3)南偏西等其他方向角類似．
4．坡角與坡度
(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．
(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．

1．概念辨析
(1)東北方向就是北偏東45°的方向．(　　)
(2)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(　　)
(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系．(　　)
(4)方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍一般是.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．小題熱身
(1)在某測(cè)量中，設(shè)A在B的南偏東34°27′，則B在A的(　　)
A．北偏西34°27′ B．北偏東55°33′
C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′
答案　A
解析　由方向角的概念知，B在A的北偏西34°27′.
(2)已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A，C兩地間的距離為(　　)
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
答案　D
解析　由余弦定理可得，AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos120°＝102＋202－2×10×20×＝700.
∴AC＝10(km)．
(3)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為________ m.
答案　50
解析　在△ABC中，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，又因?yàn)锳C＝50 m，所以由正弦定理得AB＝＝＝50(m)．

(4)如圖，從無(wú)人機(jī)A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時(shí)無(wú)人機(jī)的高度是46 m，則河流的寬度BC約等于________ m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)
答案　60
解析　由圖可知，AB＝，在△ABC中，由正弦定理可知＝，所以BC＝＝≈＝60(m)．

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P083
題型 一　測(cè)量距離問(wèn)題

1．一艘船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到達(dá)B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為(　　)
A．15 km B．30 km
C．45 km D．60 km
答案　B
解析　作出示意圖如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，
∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.
在△AMB中，由正弦定理，得＝，
解得BM＝30.
2．(2019·寧德模擬)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A，B兩點(diǎn)的距離為________．

答案　80
解析　由已知，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
所以∠DAC＝15°，由正弦定理，得
AC＝＝＝40(＋)，
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，得
BC＝＝
＝160sin15°＝40(－)；
在△ABC中，由余弦定理，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600×(8＋4)＋1600×(8－4)＋2×1600×(＋)×(－)×＝1600×16＋1600×4＝32000，
解得AB＝80，則A，B兩點(diǎn)的距離為80.

(1)測(cè)量距離問(wèn)題，無(wú)論題型如何變化，即兩點(diǎn)的情況如何變化，實(shí)質(zhì)都是要求這兩點(diǎn)間的距離，無(wú)非就是兩點(diǎn)所在三角形及其構(gòu)成元素的所知情況不同而已，恰當(dāng)?shù)禺嫵?找出)適合解決問(wèn)題的三角形是解題的基礎(chǔ)，將已知線段長(zhǎng)度和角度轉(zhuǎn)化為要解的三角形的邊長(zhǎng)和角是解題的關(guān)鍵．
(2)求距離問(wèn)題的兩個(gè)策略
①選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．
②確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


如圖，在海岸線上相距2千米的A，C兩地分別測(cè)得小島B在A的北偏西α方向，在C的北偏西－α方向，且cosα＝，則B，C之間的距離是(　　)
A．30千米 B．30千米
C．12千米 D．12千米
答案　D
解析　由題意，得AC＝2，
sinA＝sin＝cosα＝，
sinB＝sin＝cos2α＝2cos2α－1＝，
在△ABC中，由正弦定理得
BC＝＝＝12，
則B與C的距離是12千米．
題型 二　測(cè)量高度問(wèn)題

1．(2019·長(zhǎng)沙一中模擬)如圖，在路邊安裝路燈，路寬為OD，燈柱OB高為10 m，燈桿AB長(zhǎng)為1 m，且燈桿與燈柱成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，其軸截面的頂角為2θ，燈罩軸線AC與燈桿AB垂直．若燈罩截面的兩條母線所在直線中的一條恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，另一條與地面的交點(diǎn)為E.則該路燈照在路面上的寬度OE的長(zhǎng)是________ m.
答案　
解析　在△AOB中，由余弦定理可得OA＝ m，
由正弦定理得sin∠BAO＝，
因?yàn)椤螧AO＋θ＝，
所以cosθ＝sin∠BAO＝，sinθ＝，
則sin2θ＝2sinθcosθ＝.
易知∠ACO＝60°，則sin∠AEO＝sin(60°－θ)＝，
在△AOE中，由正弦定理可得OE＝＝ m.

2．如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14 s，則這輛汽車的速度約為________ m/s(精確到0.1)．
參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈2.236.
答案　22.6
解析　因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.
設(shè)這輛汽車的速度為v m/s，則BC＝14v.
在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.
在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，
所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos135°，所以v＝≈22.6，所以這輛汽車的速度約為22.6 m/s.

求解高度問(wèn)題的注意事項(xiàng)
(1)理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定義．
(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)．如舉例說(shuō)明2.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．如圖，在離地面高400 m的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC＝60°，則山的高度BC為(　　)

A．700 m B．640 m
C．600 m D．560 m
答案　C
解析　在Rt△AMD中，AM＝＝＝400(m)，
在△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理得AC＝＝＝400(m)．在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400×＝600(m)．
2．如圖所示，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，則山高M(jìn)N＝________ m.
答案　150
解析　在△ABC中，AC＝100，在△MAC中，＝，解得MA＝100，在△MNA中，＝sin60°＝，故MN＝150，即山高M(jìn)N為150 m.


題型 三　測(cè)量角度問(wèn)題
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前進(jìn)30 m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進(jìn)10 m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4θ，則θ的大小為________．

答案　15°
解析　在△ACD中，AC＝BC＝30，AD＝CD＝10，
∠ADC＝180°－4θ，
由正弦定理得＝，
所以＝，cos2θ＝，
所以2θ＝30°，θ＝15°.
2．在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值．

解　如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處攔截住藍(lán)方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根據(jù)余弦定理得
(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，
解得x＝2.
故AC＝28，BC＝20.
根據(jù)正弦定理得＝，
解得sinα＝＝.
所以紅方偵察艇所需的時(shí)間為2小時(shí)，角α的正弦值為.

解決測(cè)量角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)
(1)測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．
(2)求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值．
(3)在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在A處的正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在A處的南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)
乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20.由正弦定理得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝，故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACB·sin30°＝.


對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P285
　組　基礎(chǔ)關(guān)
1．如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測(cè)量方案：①測(cè)量A，C，b；②測(cè)量a，b，C；③測(cè)量A，B，a.則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號(hào)為(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
答案　D
解析　知兩角一邊可用正弦定理解三角形，故方案①③可以確定A，B間的距離，知兩邊及其夾角可用余弦定理解三角形，故方案②可以確定A，B間的距離．
2．如圖所示，一座建筑物AB的高為(30－10) m，在該建筑物的正東方向有一座通信塔CD.在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為(　　)

A．30 m B．60 m
C．30 m D．40 m
答案　B
解析　在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20(m)．過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CD于點(diǎn)N，如圖所示．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40(m)．在Rt△CMD中，CD＝40×sin60°＝60(m)，故通信塔CD的高為60 m.

3．如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m,50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
答案　B
解析　依題意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°

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