?第26講 統(tǒng)計

【知識點總結】
一、抽樣方法
三種抽樣方式的對比
類型
共同點
各自特點
相互關系
使用范圍
簡單隨機抽樣
抽樣過程都是不放回抽樣，每個個體被抽到的機會均等，總體容量N，樣本容量n，每個個體被抽到的概率
從總體中隨機逐個抽取

總體容量較小
系統(tǒng)抽樣
總體均分幾段，每段T個，
第一段取a1，
第二段取a1+T，
第三段取a1+2T，
……
第一段簡單隨機抽樣
總體中的個體個數較多
分層抽樣
將總體分成n層，每層按比例抽取
每層按簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣
總體由差異明顯的幾部分組成
二、樣本分析
(1)樣本平均值：。
(2)樣本眾數：樣本數據中出現次數最多的那個數據。
(3)樣本中位數：將數據按大小排列，位于最中間的數據或中間兩個數據的平均數。
(4)樣本方差：。
眾數、中位數、平均數都是描述一組數據集中趨勢的量，方差是用來描述一組數據波動情況的特征數。
三、頻率分布直方圖的解讀
(1)頻率分布直方圖的繪制
①由頻率分布表求出每組頻數ni；
②求出每組頻率(n為樣本容量)；
③列出樣本頻率分布表；
④畫出樣本頻率分布直方圖，直方圖橫坐標表示各組分組情況，縱坐標為每組頻率與組距比值，各小長方形的面積即為各組頻率，各小長方形的面積總和為1。
(2)樣本估計總體
步驟：總體→抽取樣本→頻率分布表→頻率分布直方圖→估計總體頻率分布。
樣本容量越大，估計越精細，樣本容量無限增大，頻率分布直方圖無限無限趨近概率分布密度曲線。
(3)用樣本平均數估計總體平均數，用樣本標準差估計總體標準差。
公式：，s2(aX+b)=a2s2(X)。
【典型例題】
例1．（2021·云南師大附中高三階段練習（文））某公司利用隨機數表對生產的900支乙肝疫苗進行抽樣測試，先將疫苗按000，001，…，899進行編號，從中抽取90個樣本，若選定從第4行第4列的數開始向右讀數，（下面摘取了隨機數表中的第3行至第5行），根據下圖，讀出的第5個數的編號是（ ）
1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410
1256859926 9696682731 0503729315 5712101421 8826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
A．827 B．310 C．503 D．729
【答案】C
【詳解】
從表中第4行第4列開始向右讀取分別為
685，992（舍），696，966（舍），827，310，503，第5個數為503，
故選：C．
例2．（2022·全國·高三專題練習）某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了調查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工，則應在這三個年齡段分別抽取人數為（ ）
A．33，34，33 B．25，56，19
C．20，40，30 D．30，50，20
【答案】B
【詳解】
因為125∶280∶95＝25∶56∶19，
所以抽取人數分別為25，56，19．
故選：B
例3．（2021·四川省內江市第六中學高三階段練習（文））某市場新購進某品牌電視機臺，為檢測這批品牌電視機的安全系數，現采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取臺進行檢測，若第一組抽出的號碼是，則第組抽出的號碼是________．
【答案】20
【詳解】
因為某品牌電視機臺，抽取臺進行檢測，所以分5組，每組6臺，因為第一組抽出的號碼是，則第組抽出的號碼是，
故答案為：20
例4．（2022·全國·高三專題練習（理））機床生產一批參考尺寸為的零件，從中隨機抽取個，量得其尺寸如下表(單位：)：
序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
尺寸
6.3
5.8
6.2
5.9
6.2
6.0
5.8
5.8
5.9
6.1
參考數據：取.
（1）求樣本零件尺寸的平均值與標準差；
（2）估計這批零件尺寸位于的百分比.
【解析】
（1）由表格數據得：，
，則，
所以樣本零件尺寸的平均值，標準差.
（2）由(1)知：，，
這件樣本中，尺寸在內的共有件，
以樣本估計總體，則這批零件尺寸位于的百分比約為.
例5．（2019·河北·衡水第一中學高考模擬（理））在一次高三年級統(tǒng)一考試中，數學試卷有一道滿分10分的選做題，學生可以從，兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學生參加了本次考試，為了了解該校學生解答該選做題的得分情況，計劃從900名考生的選做題成績中隨機抽取一個容量為10的樣本，為此將900名考生選做題的成績按照隨機順序依次編號為001一900.
（1）若采用隨機數表法抽樣，并按照以下隨機數表，以方框內的數字5為起點，從左向右依次讀取數據，每次讀取三位隨機數，一行讀數用完之后接下一行左端.寫出樣本編號的中位數；

（2）若采用系統(tǒng)抽樣法抽樣，且樣本中最小編號為08，求樣本中所有編號之和：
（3）若采用分層軸樣，按照學生選擇題目或題目，將成績分為兩層，且樣本中題目的成績有8個，平均數為7，方差為4：樣本中題目的成績有2個，平均數為8，方差為1.用樣本估計900名考生選做題得分的平均數與方差.
【詳解】
解：（1）根據題意，讀出的編號依次是：
512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重復），687，858，554，876，647，547，332.
將有效的編號從小到大排列，得
332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，
故中位數為.
（2）由題易知，按照系統(tǒng)抽樣法，抽出的編號可組成以8為首項，以90為公差的等差數列，故樣本編號之和即為該數列的前10項之和.
（3）記樣本中8個題目成績分別為，，…，2個題目成績分別為，，
由題意可知，，
，，
故樣本平均數為.
樣本方差為


.
故估計該校900名考生該選做題得分的平均數為7.2，方差為3.56.
【點睛】
采用隨機數表法抽樣時需先將樣本編號，且要注意號碼位數相同，然后由隨機數表讀數，在樣本號碼范圍內的取出，不在的舍掉．
系統(tǒng)抽樣法需先將樣本編號，然后分組，抽取的號碼數構成等差數列．
例6．（2020·河北·模擬預測（文））為抗擊新型冠狀病毒肺炎疫情，某口罩生產企業(yè)職工在做好自身安全防護的同時，加班加點生產口罩發(fā)往疫區(qū).該企業(yè)為保證口罩的質量，從某種型號的口罩中隨機抽取100
個，測量這些口罩的某項質量指標值，其頻率分布直方圖如圖所示，其中該項質量指標值在區(qū)間內的口罩恰有8個.

（1）求圖中，的值；
（2）用樣本估計總體的思想，估計這種型號的口罩該項質量指標值的平均數及方差(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)；
（3）根據質量指標標準，該項質量指標值不低于85，則為合格產品，試估計該企業(yè)生產這種型號口罩的質量合格率為多少？
【詳解】
解：（1）因為該項質量指標值在區(qū)間內的口罩恰有8個，
所以，
又，
所以；
（2）這種型號的口罩該項質量指標值的樣本平均數為
，
該項質量指標值的樣本方差為
，
利用樣本估計總體的思想，可以認為這種型號的口罩項質量指標值的樣本平均數為，方差為；
（3）從樣本可知質量指標值不低于的產品所占比例的估計值為，
故樣本的合格率為，
所以可以認為該企業(yè)生產這種型號口罩的質量合格率為.
【技能提升訓練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．投擲一枚硬幣1000次，一定有500次“正面朝上”
B．若甲組數據的方差是，乙組數據的方差是，則甲組數據比乙組數據穩(wěn)定
C．為了解我國中學生的視力情況，應采取全面調查的方式
D．一組數據1?2?5?5?5?3?3的中位數和眾數都是5
【答案】B
【分析】
根據統(tǒng)計量，對各項分析判斷即可得解.
【詳解】
對于A，因為每次拋擲硬幣都是隨機事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A錯誤；
對于B，因為方差越小越穩(wěn)定，故B正確；
對于C，為了解我國中學生的視力情況，應采取抽樣調查的方式，故C錯誤；
對于D，數據1?2?5?5?5?3?3按從小到大排列后為1?2?3?3?5?5?5，
則其中位數為3，故D錯誤，
故選：B.
2．（2022·全國·高三專題練習）我國古代數學名著《數書九章》中有“米谷粒分”問題；“開倉受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊．驗得米內夾谷，乃于樣內取米一捻，數計二百五十四粒內有谷二十八顆，凡粒米率每勺三百，今欲知米內雜谷多少”，其大意是，糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為（ ）
A．153石 B．154石 C．169石 D．170石
【答案】C
【分析】
這批米內夾谷約為石，則，由此能求出這批米內夾谷數量.
【詳解】
這批米內夾谷約為石,根據題意可得
解得
故選：C
3．（2022·全國·高三專題練習）現要完成下列3項抽樣調查：
①從15種疫苗中抽取5種檢測是否合格．
②某科研院所共有480名科研人員，其中具有高級職稱的有48名，具有中級職稱的有360名，具有初級職稱的有72名．為了解該科研院所科研人員的創(chuàng)新能力，擬抽取一個樣本容量為20的樣本．
③在中秋節(jié)前，某食品監(jiān)督局從某品牌的10盒月餅中隨機抽取3盒進行食品衛(wèi)生檢查．
較為合理的抽樣方法是（ ）
A．①③簡單隨機抽樣，②分層抽樣 B．①②簡單隨機抽樣，③分層抽樣
C．②③簡單隨機抽樣，①分層抽樣 D．①簡單隨機抽樣，②③分層抽樣
【答案】A
【分析】
根據簡單隨機抽樣和分層抽樣的概念判斷．
【詳解】
①③中總體容量較少，且個體沒有明顯差別，適合用簡單隨機抽樣；②中總體是由有明顯差異的幾部分組成的，適合用分層抽樣.
故選：A．
4．（2022·全國·高三專題練習）下面抽樣中是簡單隨機抽樣的個數是（ ）
①從無數個個體中抽取30個個體作為樣本
②從100部手機中一次抽取5部進行檢測
③某班有45名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球比賽
④一彩民買彩票選號，從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽取6個號簽
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根據簡單隨機抽樣的概念和特點分別判斷即可.
【詳解】
①總體個數無限，不是簡單的隨機抽樣；②不是逐個抽取，不是簡單的隨機抽樣；③指定了5名同學參賽，不滿足每個個體被抽到的可能性相同，不是簡單的隨機抽樣；④滿足簡單的隨機抽樣的定義.
故選：A.
5．（2022·全國·高三專題練習）完成下列兩項調查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調查社會購買能力的某項指標；②從某中學的15名藝術特長生中選出3名調查學習負擔情況．宜采用的抽樣方法依次是（ ）
A．①簡單隨機抽樣，②系統(tǒng)抽樣
B．①分層抽樣，②簡單隨機抽樣
C．①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣
D．①②都用分層抽樣
【答案】B
【分析】
可以從總體的個體有無差異和總數是否比較多入手選擇抽樣方法，①中某社區(qū)420戶家庭的收入差異較大;②中總體數量較少，且個體之間無明顯差異.
【詳解】
①中某社區(qū)420戶家庭的收入有了明顯了差異，所以選擇樣本時宜選用分層抽樣法;②個體沒有差異且總數不多可用簡單隨機抽樣法．故選：B
【點睛】
本題主要考查抽樣方法的特點及適用范圍，屬于容易題.
6．（2022·全國·高三專題練習）從編號依次為01，02，…，20的20人中選取5人，現從隨機數表的第一行第3列和第4列數字開始，由左向右依次選取兩個數字，則第五個編號為（ ）
5308 3395 5502 6215 2702 4369 3218 1826 0994 7846
5887 3522 2468 3748 1685 9527 1413 8727 1495 5656

A．09 B．02 C．15 D．18
【答案】A
【分析】
從隨機數表的第一行第3列和第4列數字開始，依次讀取，舍去不在范圍內的和重復的數字，可得答案．
【詳解】
從隨機數表的第一行第3列和第4列數字開始，依次讀取，（舍），（舍），（舍），，
（舍），，（舍），（舍），（舍），（舍），（舍），，（舍），（舍），
則第五個編號為
故選：A
7．（2022·全國·高三專題練習）為了弘揚文化自信，某中學隨機抽取了320個學生，調查其是否閱讀過四大名著《三國演義》《西游記/水滸傳》及《紅樓夢》經統(tǒng)計，其中閱讀過《三國演義》或《西游記》的有220人，閱讀過《三國演義》的有180人，同時閱讀過《三國演義》和《西游記》兩本書的有120人.用樣本估計總體，則該中學閱讀過《西游記》的學生人數與該中學學生總人數之比的估計值為（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】A
【分析】
求出閱讀過《西游記》的人數為160人，即得解.
【詳解】
由題意知：該學校僅閱讀過《三國演義》的有180-120=60人，
所以閱讀過《西游記》的人數為220-60=160人，
則該學校閱讀過《西游記》的學生人數與該小區(qū)學生總人數之比的估計值為.
故選：A
8．（2022·全國·高三專題練習）某學校決定從該校的2000名高一學生中采用系統(tǒng)抽樣（等距）的方法抽取50名學生進行體質分析，現將2000名學生從1至2000編號，已知樣本中第一個編號為7，則抽取的第26個學生的編號為（ ）
A．997 B．1007 C．1047 D．1087
【答案】B
【分析】
按照等距系統(tǒng)抽樣的定義進行分組抽樣即可求得第26個學生的編號.
【詳解】
按照等距系統(tǒng)抽樣的定義，2000名學生分50組，即40人一組，第1組1~40，第2組41~80，…，第50組1961~2000；
若第一個編號為7，則后面每組的編號都比前一組多40，可以求得第26個學生的編號為：
，
故選：B
9．（2022·全國·高三專題練習）第十四屆全國運動會開幕式，于年月日點在西安奧體中心隆重開幕.本次盛會的觀眾席中有名是“西安鐵一中”師生，這些師生中還有名學生參加了文藝演出.開幕式之后，在這名師生中，按照“參加了演出”和“未參加演出”分層抽樣共抽取了名師生，參加“陜西電視臺”舉辦的“弘揚十四運精神”座談會，則抽到的名師生中“參加了演出”和“未參加演出”的人數分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】
分別由和乘以抽樣比即可求解.
【詳解】
由題意可得：抽樣比為，
抽到的名師生中“參加了演出”人數有，
“未參加演出”的人數有，
所以抽到的名師生中“參加了演出”和“未參加演出”的人數分別是，，
故選：B.
10．（2022·全國·高三專題練習）某企業(yè)有職工150人，中高級職稱15人，中級職稱45人，一般職員90人，現抽取30人進行分層抽樣，則各職稱人數分別為（ ）
A．5，10，15 B．5，9，16 C．3，10，17 D．3，9，18
【答案】D
【分析】
由分層抽樣的定義結合抽樣比即求.
【詳解】
由分層抽樣的定義結合抽樣比可知：
中高級職稱應抽?。喝耍?br /> 中級職稱應抽?。喝?；
一般職員應抽取：人；
即各職稱人數分別為3，9，18.
故選：D.
11．（2022·全國·高三專題練習）已知某地區(qū)中小學生人數和近視情況分別如圖（1）和圖（2）所示，為了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學生進行調查，則在抽取的高中生中，近視人數約為（ ）

A．1000 B．40 C．27 D．20
【答案】D
【分析】
根據高中生的總人數乘以抽樣比可得所抽的高中生人數，再由近視率為即可求解.
【詳解】
由圖（1）知高中生的總人數為人，
所以應抽取的高中生為人，
抽取的高中生中，近視人數約為人，
故選：D
12．（2022·全國·高三專題練習）某學校高二年級選擇“史政地”、“史政生”和“史地生”這三種組合的學生人數分別為210、90和若采用分層抽樣的方法從中隨機抽取12名學生，則從“史政生”組合中抽取的學生人數為（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【答案】C
【分析】
先求出“史政生”所占的比例，然后按比例抽取人數，即可得到答案．
【詳解】
由題意可知，“史政地”、“史政生”和“史地生”這三種組合的學生人數分別為210，90和60，
故“史政生”所占的比例為，
由分層抽樣是按比例抽取可得，“史政生”組合中抽取的學生人數為．
故選：C
13．（2022·全國·高三專題練習）某班級有名學生，其中有名男生和名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數學測驗中的成績，五名男生的成績分別為，，，，，五名女生的成績分別為，，，，，下列說法一定正確的是
A．這種抽樣方法是一種分層抽樣
B．這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣
C．這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差
D．該班級男生成績的平均數小于該班女生成績的平均數
【答案】C
【詳解】
試題分析：根據抽樣方法的特點，可知既不是分層抽樣，也不是系統(tǒng)抽樣，故A,B是錯的，從這五名學生的成績得不出該班的男生成績和女生成績的平均分，故D是錯的，根據公式，求得五名男生成績的方差為，五名女生成績的方差為，故選C．
考點：1抽樣方法;2方差．
14．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖為2015~2020年中國常溫乳酸菌飲品市場規(guī)模柱形圖及增速折線圖（2015-2020年為真實數據，2021年及2022年為預測數據），給出下列判斷：

①2015-2020年中國常溫乳酸菌飲品市場規(guī)模逐年增加；
②2015-2020年中國常溫乳酸菌飲品市場規(guī)模增速逐年增加；
③由預測可知，2021年中國常溫乳酸菌飲品市場規(guī)模與2019年相比將增加7.3%，
其中正確判斷的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
利用市場規(guī)模柱形圖及増速折線圖的意義逐一分析三個判斷即可作答.
【詳解】
由市場規(guī)模柱形圖知，2015~2020年中國常溫乳酸菌飲品市場規(guī)模逐年増加，①正確；
由増速折線圖知，2015~2020年中國常溫乳酸菌飲品市場規(guī)模増速逐年下降，②錯誤；
由預測可知，2021年中國常溫乳酸菌飲品市場規(guī)模與2019年相比，增速為，③錯誤，
所以正確判斷的個數為1.
故選：B
15．（2022·全國·高三專題練習（理））今年暑假期間，某地從近兩年畢業(yè)的大學生中招聘了一批高中教師、初中教師、小學教師、小學特崗教師和幼兒教師共五個系列的教師，按分層抽樣方法抽取了名參加面試的教師的數量統(tǒng)計信息如下：

①樣本中男生占；
②樣本中參加高中教師面試的女生人數比參加初中教師面試的男生人數多；
③樣本中參加幼兒教師面試的男生與女生的人數多少無法比較．
則以上信息正確的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據條形圖和扇形圖所給數據對①②③逐一分析，由此確定正確選項.
【詳解】
對于①，由男生面試人數條形圖可知男生人數為人，所以占樣本總人數的比例為，所以①正確；
對于②，樣本中女生總人數為（人），所以參加高中教師面試的女生人數為（人），而參加初中教師面試的男生人數為人，所以②正確；
對于③，由條形圖可確定參加幼兒教師面試的男生人數為人，而從扇形圖中可知參加幼兒教師面試的女生人數為（人），所以參加幼兒教師面試的男生與女生的人數可以比較，故③錯誤；
綜合可知，正確的信息有個．
故選：C
16．（2022·全國·高三專題練習（文））如圖1為某省年月快遞業(yè)務量統(tǒng)計圖，圖2是該省年月快遞業(yè)務收入統(tǒng)計圖，下列對統(tǒng)計圖理解錯誤的是（ ）

A．年月的業(yè)務量，月最高，月最低，差值接近萬件
B．年月的業(yè)務量同比增長率超過，在月最高
C．從兩圖來看，年月中的同一個月快遞業(yè)務量與收入的同比增長率并不完全一致
D．從月來看，該省在年快遞業(yè)務收入同比增長率逐月增長
【答案】D
【分析】
根據圖1和圖2逐項分析各選項，可得合適的選項.
【詳解】
對于A選項，由圖1可知，年月的業(yè)務量，月最高，月最低，差值為（萬件），A對；
對于B選項，由圖1可知，年月的業(yè)務量同比增長率超過，在月最高，B對；
對于C選項，從兩圖來看，年月中的同一個月快遞業(yè)務量與收入的同比增長率并不完全一致，C對；
對于D選項，該省在年快遞業(yè)務收入同比增長率在月下降，D錯.
故選：D.
17．（2022·全國·高三專題練習（文））新聞出版業(yè)不斷推進供給側結構性改革，深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質出版產品供給，實現了行業(yè)的良性發(fā)展．下面是2017年至2021年我國新聞出版業(yè)和數字出版業(yè)營收情況，則下列說法錯誤的是（ ）

A．2017年至2021年我國新聞出版業(yè)和數字出版業(yè)營收均逐年增加
B．2021年我國數字出版業(yè)營收超過2017年我國數字出版業(yè)營收的2倍
C．2021年我國新聞出版業(yè)營收超過2017年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍
D．2021年我國數字出版業(yè)營收占新聞出版業(yè)營收的比例未超過三分之一
【答案】C
【分析】
通過條形圖中的數據信息，對四個選項進行逐一分析判斷，即可得到答案.
【詳解】
對于A中，由條形圖可以看出，條形的高一次在增高，所以2017年至2021年我國新聞出版業(yè)和數字出版業(yè)營收逐年增加，所以A正確；
對于B中，2021年我國數字出版業(yè)營收為5720.9億元，2017年我國新聞出版業(yè)營收為1935.3億元，因為，所以B正確；
對于C中，2021年我國新聞出版業(yè)營收為23595.8億元，2017年我國新聞出版業(yè)營收為16635.5億元，因為，所以C錯誤；
對于D中，因為，所以2021年我國數字出版業(yè)營收占新聞出版業(yè)營收為超過三分之一，所以D正確.
故選：C.
18．（2022·全國·高三專題練習（文））某人一周的總開支如圖所示，這周的食品開支如圖所示，則他這周的肉類開支占總開支的百分比為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
計算出食品開支占總開支的比例，以及肉類開支占食品開支的比例，相乘可得結果.
【詳解】
由圖知食品開支占總開支的，
由圖知肉類開支占食品開支的，
所以肉類開支占總開支的百分比為
故選：B.
19．（2022·天津南開·高三期末）對某種電子元件使用壽命跟蹤調查，抽取容量為1000的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示.根據此圖可知這批樣本中壽命不低于300h的電子元件的個數為（ ）.

A．800 B．750 C．700 D．650
【答案】A
【分析】
根據小矩形的面積等于這一組的頻率，先求出電子元件的壽命不低于小時的頻率，再乘以樣本容量即可求出符合條件的數量．
【詳解】
解：根據頻率分布直方圖可知這批樣本中電子元件的壽命不低于小時的頻率為，
抽取容量為1000的樣本，，
故選：A
20．（2022·全國·高三專題練習（文））在某次射擊比賽中，甲、乙兩人各射擊5次，射中的環(huán)數如圖，則下列說法正確的是（ ）


A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
由圖表進行數據分析，得到甲射擊5次所得環(huán)數分別為：9，8，10，9，10；乙射擊5次所得環(huán)數分別為：6，9， 9，8，10；利用平均數公式及方差公式計算即可．
【詳解】
由圖可知，甲射擊5次所得環(huán)數分別為：9，8，10，9，10；
乙射擊5次所得環(huán)數分別為：6，9， 9，8，10；
故，
，
，
，
故選：C．
21．（2022·全國·高三專題練習（文））某地為踐行“綠水青山就是金山銀山”的人與自然和諧共生的發(fā)展理念，對境內企業(yè)產生的廢水進行實施監(jiān)測，如圖所示莖葉圖是對，兩家企業(yè)10天內產生廢水的某項指標值的檢測結果，下列說法正確的是（ ）

A．，兩家企業(yè)指標值的極差相等
B．企業(yè)的指標值的中位數較大
C．企業(yè)的指標值眾數與中位數相等
D．，企業(yè)的指標值的平均數相等
【答案】C
【分析】
根據莖葉圖計算極差、中位數、眾數、平均數然后判斷．
【詳解】
企業(yè)的極差是，企業(yè)的極差是，兩者不相等，故A選項錯誤；
企業(yè)的中位數是，企業(yè)的中位數是68，故企業(yè)的中位數較大，故B選項錯誤；
企業(yè)的眾數為68，與中位數相同，故C選項正確；
企業(yè)的平均數是，企業(yè)的平均數是
，不相等，故D選項錯誤，
故選：C．
22．（2022·全國·高三專題練習（理））甲、乙兩班在我校舉行的“勿忘國恥，振興中華”合唱比賽中，7
位評委的評分情況如莖葉圖所示，其中甲班成績的中位數是81，乙班成績的平均數是86，則（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】
利用中位數的定義求出的值，利用平均數的定義求出的值，即可得到答案．
【詳解】
由于甲班成績的中位數是81，乙班成績的平均數是86，知，，
，解得，.
故選：A.
23．（2022·全國·高三專題練習（文））在五場籃球比賽中，甲、乙兩名運動員得分的莖葉圖如圖所示.下列說法正確的是（ ）

A．甲得分的中位數和極差都比乙大
B．甲得分的中位數比乙小，但極差比乙大
C．甲得分的中位數和極差都比乙小
D．甲得分的中位數比乙大，但極差比乙小
【答案】B
【分析】
本題可通過求出甲得分的中位數與極差以及乙得分的中位數與極差得出結果.
【詳解】
甲得分依次為、、、、，
中位數是，極差為，
乙得分依次為、、、、，
中位數是，極差為，
則甲得分的中位數比乙小，極差比乙大，
故選：B.
24．（2022·全國·高三專題練習）氣象意義上從春季進入夏季的標志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃”．現有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數據（記錄數據都是正整數，單位為℃）：
①甲地：5個數據的中位數為24，眾數為22；
②乙地：5個數據的中位數為27，總體均值為27；
③丙地：5個數據中有一個數據是32，總體均值為26總體方差為10.8．
則肯定進入夏季的地區(qū)有（ ）
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【答案】B
【分析】
①根據中位數和眾數得出甲地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數據值即可判斷；②根據中位數和總體均值找到一組不滿足進入夏季的數據即可判斷；③結合假設有一個數據沒超過22，通過方差即可得出矛盾，進而假設不成立，從而得出結論.
【詳解】
①甲地：5個數據的中位數為24，眾數為22，根據數據得出：甲地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數據可能為22，22，24，25，26，其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃．
②乙地：5個數據的中位數為27，總體均值為27，比如這5個數據從小到大排列為20，21，27，33，34滿足條件，但是有低于22的數，故不確定．
③丙地：5個數據中有一個數據是32，總體均值為26，若有低于22，則取21，此時方差就超出了10.8，可知其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22．則肯定進入夏季的地區(qū)有甲、丙兩地，
故選：B．
25．（2022·全國·高三專題練習）某公司為提高職工政治素養(yǎng)，對全體職工進行了一次時事政治測試，隨機抽取了100名職工的成績，并將其制成如圖所示的頻率分布直方圖，以樣本估計總體，則下列結論中正確的是（ ）

A．該公司職工的測試成績不低于60分的人數約占總人數的80%
B．該公司職工測試成績的中位數約為75分
C．該公司職工測試成績的平均值約為68分
D．該公司職工測試成績的眾數約為60分
【答案】C
【分析】
由頻率分布直方圖，分別求出該公司職工的測試成績不低于60分的頻率?中位數?平均值?眾數，能判斷正確選項.
【詳解】
解：由頻率分布直方圖，得：
對于A，該公司職工的測試成績不低于60分的頻率為：(0.02+0.015)×20=0.70，
∴該公司職工的測試成績不低于60分的人數約占總人數的70%，故A錯誤；
對于B，測試成績在[20，60)的頻率為(0.005+0.01)×20=0.3，
測試成績在[60，80)的頻率為0.02×20=0.4，
∴該公司職工測試成績的中位數約為：分，故B錯誤；
對于C，該公司職工測試成績的平均值約為：
分，故C正確；
對于D，該公司職工測試成績的眾數約為：分，故D錯誤.
故選：C.
【點睛】
本題考查命題真假的判斷，考查頻率?中位數?平均值?眾數?頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力?數據分析能力等，是基礎題.解題的關鍵在于熟練掌握頻率分布直方圖估計中位數，眾數，平均數的基本方法.
26．（2022·全國·高三專題練習）下圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產量數據（單位：件）若這兩組數據的中位數相等，且平均值也相等，則和的值分別為

A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，7
【答案】B
【分析】
利用莖葉圖、中位數、平均數的性質直接求解．
【詳解】
由莖葉圖得：
∵甲、乙兩組各5名工人某日的產量數據（單位：件）若這兩組數據的中位數相等，
∴65＝60+y，解得y＝5，
∵平均值也相等，
∴，
解得x＝3．
故選B．
【點睛】
本題考查實數值的求法，考查莖葉圖、中位數、平均數的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
27．（2022·全國·高三專題練習（文））設一組樣本數據，，…，的方差為1，則，，…，的方差為（ ）
A．10.1 B．1 C．0.1 D．0.01
【答案】D
【分析】
根據題意，結合數據的平均數和方差的計算公式，準確運算，即可求解.
【詳解】
由題意，設，，…，的平均數為，
可得，
則，，…，的平均數為，
所以，，…，的方差為

．
故選：D.
28．（2022·全國·高三專題練習）某校為了解學生體能素質，隨機抽取了名學生，進行體能測試.并將這名學生成績整理得如下頻率分布直方圖.根據此頻率分布直方圖.下列結論中不正確的是（ ）

A．這名學生中成績在內的人數占比為
B．這名學生中成績在內的人數有人
C．這名學生成績的中位數為
D．這名學生的平均成績（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值做代表）
【答案】C
【分析】
利用頻率分布直方圖求解判斷.
【詳解】
根據此頻率分布直方圖，成績在內的頻率為，所以A正確；
這名學生中成績在內的人數為所以B正確；
根據此頻率分布直方圖，，，
可得這名學生成績的中位數，所以C錯誤﹔
根據頻率分布直方圖的平均數的計算公式，可得：所以D正確.
故選：C.
29．（2022·全國·高三專題練習（理））為了讓學生了解更多的“一帶一路”倡議的信息，某中學舉行了一次“絲綢之路知識競賽”，全校學生的參賽成績的頻率分布直方圖如圖所示，若的學生不能參加復賽，則可以參加復賽的成績約為（ ）

A．72 B．73 C．74 D．75
【答案】D
【分析】
由題設，根據頻率直方圖，若可參加復賽的成績?yōu)?，則區(qū)間內的柱狀條的面積和為，列方程求即可.
【詳解】
由題設及頻率直方圖知：分位數在之間，
∴要使的學生不能參加復賽，若可參加復賽的成績?yōu)椋?br /> 則，解得.
故選：D
30．（2022·全國·高三專題練習（文））某公司計劃招收500名新員工，共報名了2000
人，遠超計劃，故該公司采用筆試的方法進行選拔，并按照筆試成績擇優(yōu)錄取.現采用隨機抽樣的方法抽取200名報名者的筆試成績，繪制頻率分布直方圖如下：

則錄取分數線可估計為（ ）
A．70.5 B．72.5 C．75.5 D．77.5
【答案】D
【分析】
由頻率分布直方圖求出75百分位對應的分數即可得．
【詳解】
．因此的人不能錄?。?br /> 由頻率分布直方圖得70分以下的頻率為，80分以下的頻率為，
設錄取分數線為，則，解得．
故選：D．

二、多選題
31．（2022·江蘇·高三專題練習）某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1500輛，6000輛和2000輛為檢驗該公司的產品質量，公司質監(jiān)部門要抽取57輛進行檢驗，則下列說法正確的是（ ）
A．應采用分層隨機抽樣抽取
B．應采用抽簽法抽取
C．三種型號的轎車依次應抽取9輛，36輛，12輛
D．這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的
【答案】ACD
【分析】
根據簡單隨機抽樣的特點知應選分層抽樣，按照抽樣比即可得三種型號的轎車分別應抽取的數量.
【詳解】
因為是三種型號的轎車，個體差異明顯，所以選擇分層抽樣，選項正確.
因為個體數目多，用抽取法制簽難，攪拌不均勻，抽出的樣本不具有好的代表性，故選項正確.
抽樣比為 ，三種型號的轎車依次應抽取9輛，36輛，12輛，選項正確.
分層抽樣種，每一個個體被抽到的可能性相同. 故選項正確.
故答案為：ACD
【點睛】
本題主要考查了簡單隨機抽樣與系統(tǒng)抽樣的特點，屬于基礎題.
32．（2022·全國·高三專題練習）空氣質量指數AQI是反映空氣狀況的指數，AQI指數值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如下表：
AQI指數
0～50
51～100
101～150
151～200
201～300
>300
空氣質量
優(yōu)
良
輕度污染
中度污染
重度污染
嚴重污染
下圖是某市10月1日～20日AQI指數變化趨勢，則下列敘述正確的是（ ）

A．這20天中AQI指數值的中位數略高于100
B．這20天中的中度污染及以上的天數占
C．該市10月的前半個月的空氣質量越來越好
D．總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的好
【答案】ABD
【分析】
A：從小到大排列這20天的數據，中位數為第10個暑假和第11個暑假的平均數；
B：數出中度污染及以上的天數再除以總數20即可；
C：由圖分析即可；
D：根據圖像分析即可.
【詳解】
A項，由題圖知排序后第10個數據為9日的、第11個數據為16日的，這兩個數據平均數大于100，即中位數略高于100，故A正確；
B項，中度污染及以上的天數為5天，占，故B正確；
由題圖知C錯誤；
D項，總體來說，該市10月上旬的AQI較中旬的底，故空氣質量比中旬的空氣質量好，故D正確.
故選：ABD.
33．（2022·河北張家口·高三期末）年月日，中國和美國在聯合國氣候變化格拉斯哥大會期間發(fā)布《中美關于在世紀年代強化氣候行動的格拉斯哥聯合宣言》（以下簡稱《宣言》）.承諾繼續(xù)共同努力，并與各方一道，加強《巴黎協(xié)定》的實施，雙方同意建立“世紀年代強化氣候行動工作組”，推動兩國氣候變化合作和多邊進程.為響應《宣言》要求，某地區(qū)統(tǒng)計了年該地區(qū)一次能源消費結構比例，并規(guī)劃了年一次能源消費結構比例，如下圖所示：

經測算，預估該地區(qū)年一次能源消費量將增長為年的倍，預計該地區(qū)（ ）
A．年煤的消費量相對年減少了
B．年天然氣的消費量是年的倍
C．年石油的消費量相對年不變
D．年水、核、風能的消費量是年的倍
【答案】BD
【分析】
設年該地區(qū)一次能源消費總量為，計算出年該地區(qū)煤、石油、天然氣以及水、核、風能的消費量，逐項判斷可得出合適的選項.
【詳解】
設年該地區(qū)一次能源消費總量為，
年煤的消費量為，規(guī)劃年煤的消費量為，故A錯誤；
年天然氣的消費量為，規(guī)劃年天然氣的消費量為，故B正確；
年石油的消費量為，規(guī)劃年石油的消費量為，故C錯誤；
年水、核、風能的消費量為，規(guī)劃年水、核、風能的消費量為，故D正確.
故選：BD.
34．（2022·全國·高三專題練習）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入調查數據整理得到如下頻率分布直方圖（如圖）：

根據此頻率分布直方圖，下面結論中正確的是（ ）
A．該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%
B．該地農戶家庭年收入的中位數約為7.5萬元
C．估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
D．估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
【答案】ABC
【分析】
根據頻率分布直方圖求出該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶得頻率即可判斷A；
根據頻率分布直方圖求出中位數即可判斷B；
根據頻率分布直方圖求出家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間頻率解判斷C；
根據頻率分布直方圖求出平均數即可判斷D.
【詳解】
解：對于A，該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶得頻率為，所以比率估計為6%，故A正確；
對于B，因為，所以該地農戶家庭年收入的中位數約為7.5萬元，故B正確；
對于C，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間頻率為，所以估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故C正確；
對于D，該地農戶家庭年收入的平均值為
，
所以估計該地農戶家庭年收入的平均值超過6.5萬元，故D錯誤.
故選：ABC.
35．（2022·全國·高三專題練習）冬末春初，乍暖還寒，人們容易感冒發(fā)熱.若發(fā)生群體性發(fā)熱，則會影響到人們的身體健康，干擾正常工作生產.某大型公司規(guī)定：若任意連續(xù)7天，每天不超過5人體溫高于37.3℃，則稱沒有發(fā)生群體性發(fā)熱.下列連續(xù)7天體溫高于37.3℃人數的統(tǒng)計特征數中，能判定該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為（ ）
A．中位數為3，眾數為2 B．均值小于1，中位數為1
C．均值為2，標準差為 D．均值為3，眾數為4
【答案】BC
【分析】
根據題意，設連續(xù)7天，每天體溫高于37.3℃的人數分別為，可得，然后根據選項，結合反例依次判定，即可求解.
【詳解】
由題意，連續(xù)7天，每天體溫高于37.3℃的人數分別為，
可得，
對于A中，取，則滿足中位數為3，眾數為2，但第7天的人數，
所以A不正確；
對于B中，若，由中位數為1，可知均值為，與均值小于1矛盾，所以B
正確；
對于C中，當均值為2，標準差為時，，且，
若，則，例如：，符合題意，
所以C正確；
對于D中，取，則滿足均值為3，眾數為4，但第7天人數，
所以D不正確.
故選：BC.
36．（2022·全國·高三專題練習）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是（ ）
A．樣本的標準差 B．樣本的中位數
C．樣本的極差 D．樣本的平均數
【答案】AC
【分析】
考查所給的選項哪些是考查數據的離散程度，哪些是考查數據的集中趨勢即可確定正確選項.
【詳解】
由標準差的定義可知，標準差考查的是數據的離散程度；
由中位數的定義可知，中位數考查的是數據的集中趨勢；
由極差的定義可知，極差考查的是數據的離散程度；
由平均數的定義可知，平均數考查的是數據的集中趨勢；
故選：AC.
37．（2022·全國·高三專題練習）已知一組數據的平均數?中位數?眾數依次成等差數列，若這組數據丟失了其中的一個，剩下的六個數據分別是2，2，4，2，5，10，則丟失的這個數據可能是（ ）
A．-11 B．3 C．9 D．17
【答案】ABD
【分析】
設未知數據為a，先求得眾數和平均值，分別求得，和情況下的中位數，根據等差中項的性質，列出等式，即可求得答案.
【詳解】
設這個數據為a，由題意得，眾數為2，平均數為，
若時，這列數為a，2，2，2，4，5，10，則中位數為2，
則，2，2成等差數列，所以，
解得，滿足題意，故A正確；
若時，這列數為2，2，2，a，4，5，10，則中位數為a，
則，a，2成等差數列，所以，
解得，滿足題意，故B正確；
若時，這列數為2，2，2， 4， a，5，10，則中位數為4，
則，4，2成等差數列，所以，
解得，滿足題意，故D正確
故選：ABD
38．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）為了估計魚塘中魚的尾數，先從魚塘中捕出2000尾魚，并給每條尾魚做上標記（不影響存活），然后放回魚塘，經過適當的時機，再從魚塘中捕出600尾魚，其中有標記的魚為40尾，根據上述數據估計該魚塘中魚的尾數為________.
【答案】30000.
【分析】
根據題意，利用抽樣方法中樣本與總體的比例是一致的，列出方程，求出該魚塘中魚的尾數即可.
【詳解】
根據題意，設該魚塘中魚的尾數為x，則；
，
解得；
估計該魚塘中魚的尾數為30000.
故答案為：30000.
【點睛】
本題考查了抽樣方法的應用問題，考查學生對抽樣方法的理解和應用，是基礎題目.
39．（2022·全國·高三專題練習）總體由編號為01，02，03，…，29，30的30個個體組成，利用隨機數表（以下選取了隨機數表中的第1行和第2行）選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第4
列開始由左向右讀取，讀取完畢后轉下一行繼續(xù)讀取，則讀出來的第4個個體的編號為________．
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01

【答案】02
【分析】
根據規(guī)則，依次讀取5個數，即得答案.
【詳解】
第1行的第4列開始，讀取的數是20,26,24,02，03，
所以讀出來的第4個個體的編號是02.
故答案為：02
40．（2022·全國·高三專題練習）某創(chuàng)新企業(yè)為了解新研發(fā)的一種產品的銷售情況，從編號為001，002，…480的480個專賣店銷售數據中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，若樣本中的個體編號依次為005，021，…則樣本中的最后一個個體編號是______.
【答案】469
【分析】
先求得編號間隔為16以及樣本容量，再由樣本中所有數據編號為求解.
【詳解】
間隔為021-005=16，
則樣本容量為，
樣本中所有數據編號為，
所以樣本中的最后一個個體的編號為，
故答案為：469
41．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）打算從500名學生中抽取50名進行問卷調查，擬采納系統(tǒng)抽樣方式，為此將他們一一編號為1~500，并對編號進行分段，假設從第一個號碼段中隨機抽出的號碼是2，那么從第五個號碼段中抽出的號碼應是______．
【答案】42
【分析】
由題設，根據等距抽樣的特點確定第五個號碼段中抽出的號碼即可.
【詳解】
從500名學生中抽取50名，那么每兩相鄰號碼之間的距離是10，
第一個號碼是2，那么第五個號碼段中抽取的號碼應是.
故答案為：42
42．（2022·全國·高三專題練習）已知某市A社區(qū)35歲至45歲的居民有450人，46歲至55歲的居民有750人，56歲至65歲的居民有900人，為了解該社區(qū)35歲至65歲居民的身體健康狀兄，社區(qū)負責人采用分層抽樣技術抽取若干人進行體檢調查，若這次抽樣調查抽取的人數是70人，則從46歲至55歲的居民中隨機抽取了_______人．
【答案】25
【分析】
根據已知條件求出抽樣比即可求解.
【詳解】
由題意，可知A社區(qū)總人數為450+750+900=2100，樣本容量為70，
所以抽樣比為，
故從46歲至55歲的居民中隨機抽取的人數為.
故答案為：25.
43．（2022·全國·高三專題練習）為調動我市學生參與課外閱讀的積極性，我市制定了《進一步加強中小學課外閱讀指導的實施方案》，有序組織學生開展課外閱讀活動，某校語文老師在班里開展了一次詩詞默寫比賽，班里40名學生得分數據的莖葉圖如下圖．若規(guī)定得分不低于85分的學生得到“詩詞達人”稱號，低于85分且不低于70分的學生得到“詩詞能手”稱號，其他學生得到“詩詞愛好者”稱號，根據該次比賽的成績，按照稱號的不同，進行分層抽樣抽選15名學生，則抽選的學生中獲得“詩詞能手”稱號的人數為______________．

【答案】
【分析】
根據題中條件，先分別得到各稱號的總人數，根據分層抽樣的方法即可得出結果.
【詳解】
由莖葉圖可得，獲得“詩詞愛好者”稱號的學生總數為；獲得“詩詞能手”稱號的學生總數為；獲得“詩詞達人”稱號的學生總數為人；
因此，按照稱號的不同，進行分層抽樣抽選15名學生，抽選的學生中獲得“詩詞能手”稱號的人數為.
故答案為：.
44．（2022·全國·高三專題練習）某校三個興趣小組的學生人數分布如下表（每名學生只參加一個小組，單位：人）.

籃球組
書畫組
樂器組
高一
45
30

高二
15
10
20

學校要對這三個小組的活動效果進行抽樣調查，用分層抽樣的方法，從參加這三個興趣小組的學生中抽取30人，結果籃球組被抽出12人，則=__________.
【答案】30
【分析】
先求得書畫組抽出的人數，由此求得樂器組抽出的人數，再根據分層抽樣的比例列方程，解方程求得的值.
【詳解】
依題意，籃球組有人，書畫組有人，所以書畫組抽出人，所以樂器組抽出
人，所以，解得.
故答案為：
【點睛】
本小題主要考查分層抽樣，屬于基礎題.
45．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知某社區(qū)的家庭年收入的頻率分布如下表所示，可以估計該社區(qū)內家庭的平均年收入為__________萬元.
家庭年收入
(以萬元為單位)






頻率
0.2
0.2
0.2
0.26
0.07
0.07

【答案】6.51
【分析】
將表格中各區(qū)間家庭收入的中間值乘以頻率，然后加總即可.
【詳解】
由表格數據知：家庭的平均年收入萬元.
故答案為：.
46．（2022·全國·高三專題練習）從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm)，將所得數據分為9組：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43，5.47]內的個數為________.

【答案】18
【分析】
首先根據題意得到的頻率為，再計算頻數即可.
【詳解】
由題知：的頻率為 ，
所以直徑落在區(qū)間內的個數為.
故答案為：18
47．（2022·河南·溫縣第一高級中學高三階段練習（理））已知，，，…，的中位數與方差分別為2，1，則，，，…，的中位數與方差的和為______.
【答案】7
【分析】
根據中位數的概念，方差的性質求解即可.
【詳解】
解：因為，，，…，的中位數與方差分別為2，1，，
所以，，，…，的中位數為3，方差為，
所以，，，…，的中位數與方差的和為7
故答案為：7.
48．（2022·河南·溫縣第一高級中學高三階段練習（文））已知，，，…，的中位數為，則，，，…，的中位數為______.
【答案】
【分析】
利用兩組數據的中位數存在一樣的線性關系求解.
【詳解】
解：∵，，，…，與，，，…，的中位數存在一樣的線性關系，
∴，，，…，的中位數為.
故答案為：.
49．（2022·全國·高三專題練習）已知數據x1，x2，x3，x4，x5，x6的標準差為5，則數據3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2，3x6－2的方差為________．
【答案】225
【分析】
根據標準差和方差的概念與性質，直接根據公式求解即可.
【詳解】
由題意知，數據x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差為25，
根據方差的性質可得，數據3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2，3x6－2的方差為.
故答案為225.
50．（2022·全國·高三專題練習）已知樣本的平均數是，標準差是，則的值為
【答案】60
【詳解】
解：樣本的平均數是，標準差是
所以


四、解答題
51．（2022·全國·高三專題練習）某校1 200名高三年級學生參加了一次數學測驗(滿分為100分)，為了分析這次數學測驗的成績，從這1 200人的數學成績中隨機抽取200人的成績繪制成如下的統(tǒng)計表，請根據表中提供的信息解決下列問題：
成績分組
頻數
頻率
平均分
[0，20)
3
0.015
16
[20，40)
a
b
32.1
[40，60)
25
0.125
55
[60，80)
c
0.5
74
[80，100]
62
0.31
88
（1）求a，b，c的值；
（2）如果從這1 200名學生中隨機抽取一人，試估計這名學生該次數學測驗及格的概率 (注：60分及60分以上為及格)；
（3）試估計這次數學測驗的年級平均分．
【答案】（1）；；；（2）；（3）73分．
【分析】
（1）根據頻率和為1即可得，根據頻率與頻數關系即可得，；
（2）根據題意，抽出的200人的數學成績中，及格的有162人，故；
（3）根據平均數的計算公式計算即可.
【詳解】
解：(1)由題意可得，，
，
(2)根據已知，在抽出的200人的數學成績中，及格的有162人．
所以.
(3)這次數學測驗樣本的平均分為，
所以這次數學測驗的年級平均分大約為73分．
52．（2022·全國·高三專題練習）為了迎接新高考，某校舉行物理和化學等選科考試，其中，600名學生化學成績（滿分100分）的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組.已知圖中前三個組的頻率依次構成等差數列，第一組和第五組的頻率相同.

（1）求，的值；
（2）估算高分（大于等于80分）人數；
（3）估計這600名學生化學成績的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）和中位數（中位數精確到0.1）.
【答案】（1）；（2）90；（3）平均值為69.5，中位數為69.4
【分析】
（1）根據題意得到方程組，解得答案.
（2）計算高分頻率為高分的頻率約為，得到人數.
（3）直接利用平均數公式計算得到平均值，再設中位數為，則，解得答案.
【詳解】
（1）由題意可知：，解得.
（2）高分的頻率約為：.
故高分人數為：.
（3）平均值為：
.
設中位數為，則，.
故中位數為.
53．（2022·全國·高三專題練習）某大學藝術專業(yè)名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了名學生，記錄他們的分數，將數據分成組：，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）從總體的名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于的概率；
（2）已知樣本中分數小于的學生有人，試估計總體中分數在區(qū)間內的人數；
（3）已知樣本中有一半男生的分數不小于，且樣本中分數不小于的男女生人數相等.試估計總體中男生和女生人數的比例.
【答案】（1）0.4；（2）20；（3）.
【分析】
（1）根據頻率組距高，可得分數小于70的概率為：；
（2）先計算樣本中分數小于40的頻率，進而計算分數在區(qū)間，內的頻率，可估計總體中分數在區(qū)間，內的人數；
（3）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等，分別求出男生、女生的人數，進而得到答案．
【詳解】
解：（1）由頻率分布直方圖知：分數小于70的頻率為：
故從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率為0.4；
（2）已知樣本中分數小于40的學生有5人，
故樣本中分數小于40的頻率為：0.05，
則分數在區(qū)間，內的頻率為：，
估計總體中分數在區(qū)間，內的人數為人，
（3）樣本中分數不小于70的頻率為：0.6，
由于樣本中分數不小于70的男女生人數相等．
故分數不小于70的男生的頻率為：0.3，
由樣本中有一半男生的分數不小于70，
故男生的頻率為：0.6，則男生人數為，
即女生的頻率為：0.4，則女生人數為，
所以總體中男生和女生人數的比例約為：．
54．（2022·全國·高三專題練習（文））共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點、商業(yè)區(qū)、公共服務區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務，由于其依托“互聯網+”，符合“低碳出行”的理念，已越來越多地引起了人們的關注.某部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了50人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調查，并將問卷中的這50人根據其滿意度評分值（百分制）按照分成5組，請根據下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：

（1）求，，，的值；
（2）若在滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談，求所抽取的2人中至少一人來自第5組的概率.
【答案】（1），，，；（2）.
【分析】
（1）根據頻率分布表可得.先求得內的頻數，即可由總數減去其余部分求得.結合頻率分布直方圖，即可求得，的值.
（2）根據頻率分布表可知在內有4人，在有2人.列舉出從這6人中選取2人的所有可能，由古典概型概率計算公式即可求解.
【詳解】
（1）由頻率分布表可得
內的頻數為，

內的頻率為

內的頻率為0.04

（2）由題意可知，第4組共有4人，第5組共有2人，
設第4組的4人分別為、、、；第5組的2人分別為、
從中任取2人的所有基本事件為：
，，，，，，，，，，，，，，共15個.
至少一人來自第5組的基本事件有：
，，，，，，，，共9個.
所以.
所抽取2人中至少一人來自第5組的概率為.
55．（2022·全國·高三專題練習）某市的教育主管部門對所管轄的學校進行年終督導評估，為了解某學校師生對學校教學管理的滿意度﹐分別從教師和不同年級的同學中隨機抽取若干師生﹐進行評分(滿分分)，繪制如下頻率分布直方圖(分組區(qū)間為，，，，，)，并將分數從低到高分為四個等級：
滿意度評分




滿意度等級
不滿意
基本滿意
滿意
非常滿意
已知滿意度等級為基本滿意的有人．
（1）求表中的值及不滿意的人數﹔

（2）記表示事件“滿意度評分不低于分”，估計的概率﹔
（3）若師生的滿意指數不低于，則該?？色@評“教學管理先進單位”．根據你所學的統(tǒng)計知識﹐判斷該校是否能獲評“教學管理先進單位”?并說明理由．(注：滿意指數)
【答案】（1）；；（2）；（3）可獲得，理由見解析．
【分析】
（1）根據頻率分布直方圖可得，設不滿意的人數為再由比例可得
，即可得解；
（2） “滿意度評分不低于分”的頻率為：，即可得解；
（3）帶入師生的滿意指數為：，即可得解.
【詳解】
（1）由頻率分布直方圖可知：
，
設不滿意的人數為
則，
解得
故不滿意的人數為．
（2） “滿意度評分不低于分”的頻率為：
，
因此，事件的概率估計值為．
（3）師生的滿意指數為：
，
因為
所以該校可獲得“教學管理先進單位”的稱號．
56．（2022·全國·高三專題練習）為了解高一年級學生的智力水平，某校按1:10的比例對700名高一學生按性別分別進行“智力評分”抽樣調查，測得“智力評分”的頻數分布表如表1、表2所示.
表1：男生“智力評分”頻數分布表
智力評分/分






頻數
2
5
14
13
4
2

表2：女生“智力評分”頻數分布表
智力評分/分






頻數
1
7
12
6
3
1


（1）求高一年級的男生人數，并完成下面男生“智力評分”的頻率分布直方圖；
（2）估計該校高一年級學生“智力評分”在內的人數.
【答案】（1）400, 頻率分布直方圖見解析;（2）
【分析】
根據表1和抽樣比例是1:10即可求出男生人數,根據頻率分布直方圖的作法：利用頻率分布表求出每組頻率.然后求出每組頻率/組距的值即可畫出頻率分布直方圖;
由頻率分布表可知,樣本中“智力評分”在的人數,再利用抽樣比例是1:10即可求出結果.
【詳解】
（1）由題中表1可知，樣本中男生人數是40，由抽樣比例是1:10，可得高一年級男生人數是400.男生“
智力評分”的頻率分布直方圖如圖所示.

由頻率分布表可知,樣本中“智力評分”在內的頻數為28，
所以估計該校高一年級學生“智力評分”在內的人數為（人）.
【點睛】
本題主要考查利用頻率分布表作出頻率分布直方圖;屬于基礎題,常考題型.
57．（2020·廣東肇慶·模擬預測（文））某快遞公司為了解本公司快遞業(yè)務情況，隨機調查了100個營業(yè)網點，得到了這些營業(yè)網點2019年全年快遞單數增長率x的頻數分布表：

（1）分別估計該快遞公司快遞單數增長率不低于40%的營業(yè)網點比例和快遞單數負增長的營業(yè)網點比例；
（2）求2019年該快遞公司快遞單數增長率的平均數和標準差的估計值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作為代表）.（精確到0.01）參考數據：
【答案】（1）快遞單數增長率不低于40%的營業(yè)網點比例為21%；快遞單數負增長的營業(yè)網點比例為2%（2）平均數的估計值為30%，標準差的估計值為17%
【分析】
（1）根據頻數分布表得，所調查100個營業(yè)網點中，快遞單數增長率不低于的營業(yè)網點的頻率為0.21，快遞單數負增長的營業(yè)網點的頻率為0.02，由此能求出結果.
（2）求出0.0296，S2，由此能求出2019年該快遞公司快遞單數增長率的平均數的估計值和標準差的估計值.
【詳解】
（1）根據頻數分布表得，所調查100個營業(yè)網點中，
快遞單數增長率不低于的營業(yè)網點的頻率為，
快遞單數負增長的營業(yè)網點的頻率為，
用樣本頻率分布估計總體分布得該快遞公司快遞單數增長率不低于40%的營業(yè)網點比例為21%，
快遞單數負增長的營業(yè)網點比例為2%.
（2），
S2＝（﹣0.10﹣0.3）2（0.10﹣0.3）2（0.30﹣0.3）2（0.50﹣0.3）2（0.70﹣0.3）2，
∴，
∴2019年該快遞公司快遞單數增長率的平均數的估計值為30%，標準差的估計值為17%.
【點睛】
本題考查頻率、平均數、標準差的求法，考查頻數分布表的性質等基礎知識，考查數據分析能力、運算求解能力，是基礎題.
58．（2020·全國·高三專題練習（文））對參加某次數學競賽的1 000名選手的初賽成績(滿分：100分)作統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）根據直方圖完成以下表格；
成績
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
頻數





（2）求參賽選手初賽成績的平均數及方差(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)；
（3）如果從參加初賽的選手中選取380人參加復賽，那么如何確定進入復賽選手的成績？
【答案】（1）表格見解析；（2）78；101；（3）初賽成績?yōu)?2分及其以上的選手均可進入復賽．
【分析】
（1）根據頻率分布直方圖確定每組數據的頻率及頻數；
（2）根據頻率分布直方圖并利用平均值及方差公式求得參賽選手初賽的平均數及方差；
（3）根據（1）的成績分布表，確定進入復賽的最低分位于[80，90)，故成績?yōu)榉?
【詳解】
（1）填表如下：
成績
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100)
頻數
50
150
350
350
100
（2）平均數為，
方差:.
（3）進入復賽選手的成績?yōu)?(分)，所以初賽成績?yōu)?2分及其以上的選手均可進入復賽．(說明：回答82分以上，或82分及其以上均可).
【點睛】
利用頻率分布直方圖求眾數、中位數和平均數時，應注意三點：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數；②中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.
59．（2020·全國·高三開學考試（文））隨著電子商務的發(fā)展，人們的購物習慣也在改變，幾乎所有的需求都可以通過網絡購物來解決，同時顧客的評價也成為電子商鋪的“生命線”.某電商平臺從其旗下的所有電商中隨機抽取了個電子商鋪，對電商的顧客評價，包括商品符合度、物流服務、服務態(tài)度、快遞包裝等方面進行調查，并把調查結果轉化為顧客的評價指數，得到了如下的頻率分布表：
評價指數





頻數







（1）畫出這個電子商鋪顧客評價指數的頻率分布直方圖；
（2）求該電商平臺旗下的所有電子商鋪的顧客評價指數的平均數與標準差的估計值（同一組中的數據以該組區(qū)間的中點值為代表）.（精確到）附：.
【答案】（1）頻率分布直方圖見解析；（2）平均數為，標準差為.
【分析】
（1）根據頻率分布表，即可得出頻率分布直方圖；
（2）根據頻率分布直方圖，由每組的中間值乘以該組的頻率，再求和，即可得出平均數，根據方差的計算公式，即可得出結果.
【詳解】
（1）由題中數據，頻率分布直方圖如下，

（2）由題中數據可得，，
方差為，
所以標準差.
60．（2022·全國·模擬預測）中醫(yī)藥文化歷史悠久.我國經歷了數千年的艱難探索和發(fā)展，逐漸積淀成博大精深的中醫(yī)藥文化.某醫(yī)藥采購商計劃從云南昭通購買500千克烏天麻，購買數據如下表：
烏天麻規(guī)格
（支/千克）




數量（千克）
200
100
150
50

（1）估計每千克烏天麻的平均支數（同一組中的數據用該區(qū)間的中點值作代表）；
（2）已知生產商提供該產品的兩種銷售方案供采購商選擇，
方案一：這500千克烏天麻一律售價為280元/千克.
方案二：這500千克按規(guī)格不同售出，其售價如下：
烏天麻規(guī)格
（支/千克）




售價（元/千克）
300
280
260
240
從采購商的角度考慮，應該選擇哪種方案?請說明理由.
【答案】
（1）16支
（2）選擇方案二，理由見解析
【分析】
（1）根據頻率分布表，利用平均數公式求解；
（2）根據頻率分布表，利用平均數公式求得方案二的產品的平均售價，再比較下結論.
（1）
解：，
所以該采購商購買的烏天麻每千克的平均支數為16支.
（2）
由題意知：方案二的產品的平均售價為：
（元/千克）.
因為278

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