1.直線在平面內(nèi),此時(shí)直線與平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).
如圖(1)所示,當(dāng)直線a在平面α內(nèi)時(shí),記作a ? α.
2. 直線與平面相交,此時(shí)直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn).
如圖(2)所示,當(dāng)直線b在平面α相交于點(diǎn)B時(shí),記作b∩α=B .
3. 直線與平面平行,此時(shí)直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn).
如圖(3)所示,當(dāng)直線c在平面α平行時(shí),記作c∥α .
畫(huà)圖時(shí),把直線畫(huà)在表示平面的平行四邊形外,并與平行四邊形的一條邊平行 .
直線l與平面α相交或平行,稱直線 l 在平面α外,記作l與?α.
直線與平面平行的判定定理? 如果平面外的一條直線與這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條平面外直線與這個(gè)平面平行.
一般情形為,m?α,n?α,且m∥n,如圖(1)所示. ?假設(shè)直線m與平面α相交,記交點(diǎn)為點(diǎn)P,如圖(2)所示.?由m∥n知P?n.根據(jù)異面直線判定定理,m與n是異面直線,這與m∥n矛盾.故直線?m?與平面α不相交,從而m∥α.
既然直線與直線的平行可以用來(lái)判定直線與平面平行,那么能否利用直線與平面的平行來(lái)判定直線與直線平行呢？
? 直線與平面平行的性質(zhì)定理 如果一條直線和一個(gè)平面平行, 那么經(jīng)過(guò)這條直線的任一平面和這個(gè)平面的交線與這條直線平行.
顯然,m與n共面于平面B內(nèi),則n與n要么相交,要么平行.若m與n相交，且交點(diǎn)為P,如圖(2)所示,則P也是直線m與平面α的交點(diǎn),這與條件m//α相矛盾.所以m//n.于是,有下面的結(jié)論：
1.?判斷下列命題的真假,并說(shuō)明理由. （1）如果m//n,n?α,那么m//α;? （2）如果m//n,m?α,那么m//α;? （3）如果m//α,n?α,那么m//n; （4）如果m//α,m?β, α∩β=n,那么m//n.?
2.?填空題. (1) 如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么這條直線與這個(gè)平面有 個(gè)公共點(diǎn)； (2) 如果一條直線與一個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn),那么它們的位置關(guān)系是 ,此時(shí)直線與平面面共有 個(gè)公共點(diǎn)：? (3)如果一條直線與一個(gè)平面相交,那么它們有 個(gè)公共點(diǎn)； (4)如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么這條直線與平面內(nèi)的 條直線平行.
4.?已知正方體ABCD-A1B1C1D1.求證： (1) CD∥平面A1C1； (2) A1C1∥平面AC.
某型號(hào)無(wú)人機(jī)如圖所示,其每根螺旋槳(如BC)與旋轉(zhuǎn)軸?AB?均垂直,垂足是B.設(shè)螺旋槳旋轉(zhuǎn)時(shí)構(gòu)成的平面為α,顯然,無(wú)人機(jī)的每根螺旋槳都在平面α內(nèi).試問(wèn),平面α與旋軸?AB?之間有怎樣的位置關(guān)系？
容易看出,平面α內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的螺旋槳所在直線都與旋轉(zhuǎn)軸?AB?垂直.對(duì)于平面α內(nèi)不過(guò)點(diǎn)B的任意一條直線,它一定與平面α內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的某條直線平行.由異面直線所成角的定義可知,這條直線也與旋轉(zhuǎn)軸AB?垂直.因此,平面α內(nèi)的每一條直線都與AB?垂直.
? 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面互相垂直.這條直線稱為這個(gè)平面的垂線,這個(gè)平面稱為這條直線的垂面,直線與平面的交點(diǎn)稱為垂足.直線l與平面α垂直記作l ⊥α.
在日常生活和生產(chǎn)中,常常需要判斷直線與平面的垂直關(guān)系.例如,國(guó)旗的旗桿與地面垂直、建筑的立柱與地面垂直等.但是,判斷直線與平面內(nèi)每一條直線都垂直是很難做到的.
經(jīng)過(guò)觀察研究,人們發(fā)現(xiàn)以下判定直線與平面垂直的方法：
? 直線與平面垂直的判定定理? 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線與這個(gè)平面垂直.
例5是直線與平面垂直的另一個(gè)判定定理.
可以證明,例5中所述命題的逆命題也成立.如圖所示若m⊥α, n⊥α,則m∥n.
? 直線與平面垂直的性質(zhì)定理? 如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線平行.?
?在空間中經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.?
? 因?yàn)?AA'⊥α, BB'⊥α,所以AA'∥ BB'. 設(shè)經(jīng)過(guò)直線AA'、BB'的平面為β,則β∩α=A'B'.? 由l∥α ,可知l∥A'B' ,因此四邊形AA'B'B??為平行四邊形,所以AA'=BB'.?
例6 如圖所示,已知一條直線l和平面α平行,過(guò)直線l上任意兩點(diǎn)A、B分別引平面α的垂線?AA' 、BB',垂足分別為A' 、B'.?求證: AA'=BB'.?
3. 如果l⊥α,m//α,求證: l⊥m. 4.?己知線段AB、CD?位于平面α的同側(cè), AB ⊥α, DC⊥α, 垂足分別為?B、C,AB=DC.求證: AD=BC.
5.?某中職學(xué)校建設(shè)新校區(qū)時(shí),修建了升旗臺(tái),用于開(kāi)展愛(ài)國(guó)主義教育活動(dòng).技術(shù)人員在安裝旗桿時(shí),要保證旗桿與地面垂直.請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)一個(gè)方案以確保旗桿與地?面垂直.
我國(guó)是擁有斜拉索橋最多的國(guó)家.斜拉索橋是大跨度橋梁的主要橋型,依靠若干斜拉將梁體重量和橋面載荷傳至橋塔、橋墩.斜拉索安裝位置的設(shè)計(jì)是斜拉索橋設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容.如圖所示,斜拉索AC所在的直線與橋面所在的平面口相交,但是它們并不垂直.不同斜拉索相對(duì)于橋面的傾斜程度是不同的,如何描述這種不同呢？
? 如果直線與平面相交但不垂直,就稱直線是平面的斜線.斜線與平面的交點(diǎn)稱為斜足,經(jīng)過(guò)斜線上不是斜足的一點(diǎn)作平面的垂線,連接垂足與斜足的直線稱為斜線在這個(gè)平面上的射影.?
如圖所示, 直線m是平面α的斜線, 點(diǎn)P為斜足, A∈m且AB⊥α, 垂足為B,則BP是斜線m在平面α內(nèi)的射影.顯然, 直線?AP?與射影BP所成的角θ反映了斜線相對(duì)于平面的傾斜程度.?
? 一般地,平面的一條斜線與它在該平面上的射影所成的角,稱為這條斜線與這個(gè)平面所成的角.?
? 3.?在長(zhǎng)方體?ABCD-A1B1C1D1中, 找出對(duì)角線AC1分別在六個(gè)面上的射影.? 4.?己知AB∩α=A, 線段AB?的長(zhǎng)是它在平面α上射影的2倍, 求直線?AB?與平面α所成的角的大小.
? 5.?在長(zhǎng)正方體?ABCD-A1B1C1D1中, 求：? (1)?AD1?與平面ABCD所成的角的大?。? (2) AC1?與平面BCC1B1所成的角的正切值.
1.書(shū)面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；2.查漏補(bǔ)缺：根據(jù)個(gè)人情況對(duì)課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;3.拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容.

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊(cè)）電子課本

4.3 直線與平面的位置關(guān)系

版本： 高教版（2021·十四五）

年級(jí)： 拓展模塊一（上冊(cè)）

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