一般地,當(dāng)兩個(gè)平面有一條公共直線時(shí),稱兩個(gè)平面相交;當(dāng)兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)時(shí),稱兩個(gè)平面平行.
觀察發(fā)現(xiàn),兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有兩種:相交和平行.事實(shí)上,根據(jù)公理3可知,當(dāng)兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),這兩個(gè)平面相交于一條直線.
如圖(1)所示,平面α與平面β相交于直線l,記作α∩β=l.如圖(2)所示,平面α與平面β平行,記作α∥β,此時(shí)α∩β=
畫兩個(gè)平面平行時(shí),要使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行.
如圖(1)所示,如果m?β,n?β,且m∩n=P, m∥α, n∥α,是否有β∥α呢？
如圖(2)所示,假設(shè)平面β與α不平行,設(shè)α∩β=AB,則由m∥α可知m∥AB.同理可得,n//AB.根據(jù)直線平行的傳遞性,得m∥n ,這與已知條件m∩m=P矛盾,所以β∥α.?
于是有以下結(jié)論：
兩個(gè)平面平行的判定定理 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面互相平行.
既然可以用直線與平面平行、直線與直線平行判定平面與平面平行,那么能否利用平面與平面的平行來判定直線與平面平行、直線與直線平行呢？
如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面.也就是說,如果α∥β, l?α,那么l ∥β.
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理? 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么兩條交線互相平行.?
例2 證明：如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面垂直，那么它也與另一個(gè)平面垂直. 已知: α //β,l⊥α,如圖所示. 求證: l⊥β.
1.?在底面為矩形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面AD1與平面A1C1的位置關(guān)系是 ,平面AB1與平面DC1的位置關(guān)系是 .
3.?在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是A1B1、AB、AD、A1D1的中點(diǎn),求證:平面EFGH∥平面BB1D1D.
打開筆記本計(jì)算機(jī)時(shí),顯示屏的開合程度不同,鍵盤與屏幕所在平面的相對(duì)位置就不同,如圖所示.怎樣來描述這種不同呢？
觀察可知,顯示屏的開合程度可以用角度來描述.
? 平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分,其中的每一部分都稱為半平面. 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱為二面角,這條直線稱為二面角的棱,這兩個(gè)半平面稱為二面角的面.
根據(jù)二面角的不同擺放位置,常常把二面角畫成圖所示圖形.
當(dāng)二面角的棱為l,兩個(gè)面分別為α、β時(shí),二面角記為α-l-β.圖(4)所示的二面角也可記為A-BD-C.?
如圖,平面角∠AOB的大小就是二面角α-l-β的大小.
? 如圖所示,在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O,分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于校的射線OA、OB,射線?OA、OB?所成的最小正角稱為這個(gè)二面角的平面角.?
可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小.
我們己經(jīng)知道了兩條直線所成的角和直線與平面所成的角的定義,那么,兩個(gè)平面所成的角怎樣定義呢？
1.?己知二面角α-l-β,C∈α ,D∈β,AC⊥AB,AD⊥AB,垂足均為A,則二面角α-AB-β的平面角是 .? 2.?已知正方體?ABCD-A1B1C1D1,試找出二面角A1-BD-A?與二面角A1-BD-C?的一個(gè)平面角,并分析二者之間的大小關(guān)系.?
3.判斷下列說法是否正確. （1）兩個(gè)相交平面所成的角的取值范圍是 而二面角的取值范圍是[0,π]； （2）在正方體?ABCD-A1B1C1D1中,∠D1AB1是二面角D1-AA1-B1的平面角；? （3）分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)取一條直線,使兩條直線相交,則相交直線所成的角是二面角的平面角.?
4.?己知等腰ΔABC的腰長為5cm,底邊長為8cm. 現(xiàn)沿著底邊上的高AD?對(duì)折,折后 求二面角B-AD-C的大小. 5.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B1-CD-A的大小.
? 當(dāng)兩個(gè)平面所成的角是 時(shí),稱這兩個(gè)平面互相垂直.
我們知道,利用直線與直線垂直可以判定直線與平面垂直.類似地,也可以利用直線與平面垂直來判定平面與平面垂直.?
? 兩個(gè)平面垂直的判定定理? 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的條垂線, 那么這兩個(gè)平面互相垂直.
兩平面垂直的性質(zhì)定理? 如果兩個(gè)平面互相垂直, 那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面?.
? 5.?在墻上掛一個(gè)鏡框,為了使鏡框下沿與地面平行,可先拿兩根等長的木棍緊靠壁放在地上,并讓木棍與墻角線垂直,再把鏡框下沿放到木棍上. 試說明這一方法據(jù)的數(shù)學(xué)原理是什么.?
1.書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；2.查漏補(bǔ)缺：根據(jù)個(gè)人情況對(duì)課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;3.拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容.

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊(cè)）電子課本

4.4 平面與平面的位置關(guān)系

版本： 高教版（2021·十四五）

年級(jí)： 拓展模塊一（上冊(cè)）

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