與圓錐曲線有關(guān)的范圍、最值問題,在高考中常以解答題形式考查,且難度較大,它能綜合應(yīng)用函數(shù)、三角、不等式等有關(guān)知識,因而備受命題者青睞.解題時要緊緊抓住圓錐曲線的定義與性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化,充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用,其中把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值與值域是最常用的方法之一．
二、解題秘籍
(一) 利用函數(shù)思想最值與范圍問題求解方法與策略
1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面
(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍；
(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；
(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；
(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；
(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍．
2.利用函數(shù)思想求圓錐曲線中的最值或范圍,首先要把待求量用某個（些）量來表示,然后把待求量看作關(guān)于這個量的函數(shù),再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求最值與范圍,其中利用二次函數(shù)配方求最值是最常用的方法,有時也可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值.
【例1】（2023屆四川省成都市高三上學(xué)期10月月考）已知點 SKIPIF 1 < 0 是拋物線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 的公共焦點,橢圓上的點 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 的最大距離為3.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線,記切點分別為 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值.
【解析】（1）拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點為 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
橢圓上的點 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 的最大距離為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）拋物線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
對該函數(shù)求導(dǎo)得 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè)點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
同理可知,直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
由于點 SKIPIF 1 < 0 為這兩條直線的公共點,則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的坐標滿足方程 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
由韋達定理可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 ,
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以當 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
【例2】（2023屆新高考高中畢業(yè)班“啟航”適應(yīng)性練習）在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線M： SKIPIF 1 < 0 ．P,Q,R為M上相異的三點,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 負半軸交于點A,RQ,PQ分別與 SKIPIF 1 < 0 正半軸交于點B,C,記點 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若B為M的焦點,當 SKIPIF 1 < 0 最大時,求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）證明：因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以直線OP和OQ斜率之積為－1,
設(shè)PQ： SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
記直線OP、OQ的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
得 SKIPIF 1 < 0 ,
同理設(shè) SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因為B為M的焦點,所以 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
記 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增,在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減,
且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增,所以當 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 最大, SKIPIF 1 < 0 最大．
(二) 利用距離公式把距離問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值
與距離或線段長度有關(guān)的最值與范圍問題通常是把相關(guān)距離或線段長度利用距離公式表示成一個變量的函數(shù),若被開放式為二次函數(shù)類型,可通過配方求最值與范圍.
【例3】（2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ,且離心率為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程；
(2)設(shè)過點 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,設(shè)坐標原點為 SKIPIF 1 < 0 ,線段 SKIPIF 1 < 0 的中點為 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 橢圓 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ,其離心率為 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
故橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當直線 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在時,M與O重合,不合題意,
當直線 SKIPIF 1 < 0 斜率存在時,設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點在橢圓上,有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
兩式相減, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ,化簡得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,∴當 SKIPIF 1 < 0 時,
SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0
(三)把面積問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題
該類問題求解的基本思路通常是把面積用另一個量（如點的橫坐標、縱坐標,直線的斜率等）,把求面積最值與范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或值域,若函數(shù)式可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)類型,可利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.
【例4】已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ,其右焦點為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率；
(2)若點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上,右頂點為 SKIPIF 1 < 0 ,且滿足直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的斜率之積為 SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值.
【解析】（1）依題可得, SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
所以離心率 SKIPIF 1 < 0 .
（2）易知直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的斜率同號,所以直線 SKIPIF 1 < 0 不垂直于 SKIPIF 1 < 0 軸,
故可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 可得, SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
化簡可得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
化簡得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
因為直線 SKIPIF 1 < 0 不經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過定點 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)定點 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
當且僅當 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時取等號,即 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
(四) 與斜率有關(guān)的最值與范圍問題
與斜率有關(guān)的最值與范圍問題的思路一是設(shè)出動點.是利用斜率定義表示出斜率,然后利用函數(shù)知識求解,二是設(shè)出直線的點斜式或斜截式方程,利用根與系數(shù)之間的關(guān)系或題中條件整理關(guān)于斜率的等式,再利用函數(shù)思想求解.
【例5】已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ,過點 SKIPIF 1 < 0 作橢圓的兩條切線,且兩切線垂直.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)已知點 SKIPIF 1 < 0 ,若存在過點 SKIPIF 1 < 0 的直線與橢圓交于 SKIPIF 1 < 0 ,且以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓過點 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不與 SKIPIF 1 < 0 重合）,求直線 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范圍.
【解析】（1）由題可知,切線斜率存在,則設(shè)切線 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
相切得： SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
由兩切線垂直得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）得,橢圓方程為 SKIPIF 1 < 0
由題可知,直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,聯(lián)立得 SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,由韋達定理得： SKIPIF 1 < 0
由題意 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓過點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ①
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
代入①式得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）,所以 SKIPIF 1 < 0 過定點 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 隨 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
即直線 SKIPIF 1 < 0 斜率范圍 SKIPIF 1 < 0
(五)通過換元把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題
該類問題通常是所得結(jié)果比較復(fù)雜,通過換元把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.
【例6】已知橢圓C： SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分別為橢圓C的左、右焦點,過 SKIPIF 1 < 0 且與x軸垂直的直線與橢圓C交于點A,B,且 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于不同于右頂點P的M,N兩點,且 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】（1）因為橢圓C的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ①．
將 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ②．
由①②及 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
故橢圓C的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由題意知,直線l的斜率不為0,則不妨設(shè)直線l的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
聯(lián)立得 SKIPIF 1 < 0 消去x得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,化簡整理,得 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ,
將 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入上式,得 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）,
所以直線l的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,則直線l恒過點 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增,
所以當 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 取得最大值,為 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(六) 把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題后再借助導(dǎo)數(shù)求最值或范圍
該類問題通常是所得函數(shù)為分式函數(shù)或高次函數(shù),又不具備使用均值不等式的條件,只能借助導(dǎo)數(shù)求最值或范圍.
【例7】（2023屆云南省昆明市第一中學(xué)高三上學(xué)期第二次檢測）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 四個頂點的四邊形為菱形,它的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ,面積為 SKIPIF 1 < 0 ,過橢圓左焦點 SKIPIF 1 < 0 與橢圓C相交于M,N兩點（M,N兩點不在x軸上）,直線l的方程為： SKIPIF 1 < 0 ,過點M作 SKIPIF 1 < 0 垂直于直線l交于點E．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)點O為坐標原點,求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值．
【解析】（1）由題意可得： SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
橢圓C的標準方程為 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
由題意可設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0
聯(lián)立方程 SKIPIF 1 < 0 ,消去x可得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0
∴直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ,則直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ,則可得 SKIPIF 1 < 0
即直線 SKIPIF 1 < 0 過定點 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 面積為 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 當 SKIPIF 1 < 0 時恒成立
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減,則 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為 SKIPIF 1 < 0
(七) 利用橢圓的參數(shù)方程把把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值與范圍
此類問題通常是把橢圓 SKIPIF 1 < 0 上的動點設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ,再利用輔助角公式及弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求最值與范圍.
【例8】已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓C的方程；
(2)在橢圓C的第四象限的圖象上有一個動點M,連接動點M與橢圓C的左頂點A與y的負半軸交于點E,連接動點M與橢圓的上頂點B,與x的正半軸交于點F,記四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【解析】（1）依題意 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
故C的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）依題意, SKIPIF 1 < 0 ,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ．
直線 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ．
則 SKIPIF 1 < 0 ,
又易知 SKIPIF 1 < 0 ,所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
由題意可知 SKIPIF 1 < 0 的直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
再設(shè)橢圓的參數(shù)方程為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 為參數(shù),
則動點M到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
化簡得 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ．
三、跟蹤檢測
1.（2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知雙曲線E： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ）一個頂點為 SKIPIF 1 < 0 ,直線l過點 SKIPIF 1 < 0 交雙曲線右支于M,N兩點,記 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的面積分別為S, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .當l與x軸垂直時, SKIPIF 1 < 0 的值為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求雙曲線E的標準方程；
(2)若l交y軸于點P, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求證： SKIPIF 1 < 0 為定值；
(3)在（2）的條件下,若 SKIPIF 1 < 0 ,當 SKIPIF 1 < 0 時,求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】（1）由題意得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則當l與x軸垂直時,不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
將 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以雙曲線E的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,將 SKIPIF 1 < 0 代入E的方程得： SKIPIF 1 < 0 ,
整理得： SKIPIF 1 < 0 ①,
同理由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ②．
由①②知, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的兩個不等實根．
由韋達定理知 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 為定值．
（3）又 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得： SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
而由（2）知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
代入 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
由雙勾函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以m的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ．
.
2．（2023屆陜西省咸陽市武功縣高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 上一動點, SKIPIF 1 < 0 的最大面積為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 上兩點,且 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1）設(shè)橢圓 SKIPIF 1 < 0 的半焦距為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最大面積為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由題知 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得： SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增,在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減,
∴當 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 .
3．已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,其左焦點到點 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓相交于 SKIPIF 1 < 0 兩點,求 SKIPIF 1 < 0 的面積關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)關(guān)系式,并求面積最大時直線 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【解析】（1）由題意得： SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
解得： SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 與橢圓方程 SKIPIF 1 < 0 可得：
SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,解得： SKIPIF 1 < 0 ；
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由弦長公式可得： SKIPIF 1 < 0 ,
點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ,
其中 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增,
在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處取得極大值,也是最大值,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以當 SKIPIF 1 < 0 時,面積取得最大值,此時直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
4．如圖所示, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右頂點,離心率為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過 SKIPIF 1 < 0 點作兩條互相垂直的直線 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 與橢圓交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值.
【解析】（1）由已知可得： SKIPIF 1 < 0 ,解得： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴橢圓的方程為： SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 的直線方程為： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立方程： SKIPIF 1 < 0 ,
整理得： SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
由對勾函數(shù)單調(diào)性知, SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,當且僅當 SKIPIF 1 < 0 時,即 SKIPIF 1 < 0 時等號成立,
此時 SKIPIF 1 < 0 最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
5．已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,橢圓上一動點 SKIPIF 1 < 0 與左?右焦點構(gòu)成的三角形面積最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)設(shè)橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左?右頂點分別為 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點,記直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,已知 SKIPIF 1 < 0 .
①求證：直線 SKIPIF 1 < 0 恒過定點；
②設(shè) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面積分別為 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1）由題意 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以橢圓C的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①依題意 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
若直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為0則P,Q關(guān)于y軸對稱,必有 SKIPIF 1 < 0 ,不合題意．
所以直線 SKIPIF 1 < 0 斜率必不為0,設(shè)其方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
與橢圓C聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,整理得： SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0
因為 SKIPIF 1 < 0 是橢圓上一點,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
因為 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,此時 SKIPIF 1 < 0 ,
故直線 SKIPIF 1 < 0 恒過x軸上一定點 SKIPIF 1 < 0 ．
②由①得： SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
而 SKIPIF 1 < 0 ,當 SKIPIF 1 < 0 時 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2023屆北京市第四中學(xué)高三上學(xué)期測試）已知中心在原點,焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的橢圓 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 ,離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,點 SKIPIF 1 < 0 為其右頂點.過點 SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點,直線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 分別交于點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1）由題意設(shè)橢圓的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）,
由題意,得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
即橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
直線 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的方程分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
7．（2022屆上海市行知中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知曲線 SKIPIF 1 < 0 上一動點 SKIPIF 1 < 0 到兩定點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的距離之和為 SKIPIF 1 < 0 ,過點 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 相交于點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)動弦 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ,求點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【解析】（1）因為動點 SKIPIF 1 < 0 到兩定點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的距離之和為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以曲線 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 為焦點的橢圓, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
當 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不為0時,將 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入橢圓方程中得： SKIPIF 1 < 0 兩式相減得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 故得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ；
當 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在或為0時, SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,出滿足 SKIPIF 1 < 0 ；
所以點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程是 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ,
其中 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分別為點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距離,
因為點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2023屆河南省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,左?右焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點, SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓C的方程；
(2)橢圓左頂點為A,上頂點為B,直線 SKIPIF 1 < 0 且交橢圓于P,Q,求 SKIPIF 1 < 0 的面積最大時,l的方程.
【解析】（1）由題意得 SKIPIF 1 < 0 ,
化簡得 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 .
根據(jù)對稱性得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故橢圓C的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,l的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,代入橢圓方程 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ,
點 SKIPIF 1 < 0 到直線l的距離為 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 .
當t變化時, SKIPIF 1 < 0 的變化情況如下表：
比較 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 知,當 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 面積取最大,
此時,l的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
9．已知一條動直線 SKIPIF 1 < 0 ,直線l過動直線的定點P,且直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點．
(1)是否存在直線l滿足下列條件：①△AOB的周長為12；②△AOB的面積為6．若存在,求出直線l的方程；若不存在,請說明理由．
(2)當 SKIPIF 1 < 0 取得最小值時,求直線l的方程．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故動直線過定點 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)直線l的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
將 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ．①
由A（a,0）,B（0,b）,△AOB的周長為12,面積為6,得 SKIPIF 1 < 0 ,
令a＋b＝t,則 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,化簡得24t＝168,解得t＝7,
所以有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
其中 SKIPIF 1 < 0 不滿足①, SKIPIF 1 < 0 滿足①．
所以存在直線l的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,即3x＋4y－12＝0滿足條件．
（2）由（1）可知直線l過定點 SKIPIF 1 < 0 ,直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,所以直線l的傾斜角 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,②
令 SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
則 SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上為減函數(shù),所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上為增函數(shù),
故當 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
此時直線l的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,即3x＋3y－10＝0．
10．如圖,已知點 SKIPIF 1 < 0 為拋物線 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦點．過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點A在第一象限,點C在拋物線上,使得 SKIPIF 1 < 0 的重心G在x軸上,直線 SKIPIF 1 < 0 交x軸于點Q,且Q在點F的右側(cè),記 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的面積分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求p的值及拋物線的準線方程；
(2)設(shè)A點縱坐標為 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及此時點G的坐標．
【解析】（1）因為點 SKIPIF 1 < 0 為拋物線 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦點,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,準線方程 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè)直線AB的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,與拋物線方程 SKIPIF 1 < 0 聯(lián)立可得：
SKIPIF 1 < 0 ,故： SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè)點C的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ,由重心坐標公式可得：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 ,
由斜率公式可得： SKIPIF 1 < 0 ,
直線AC的方程為： SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 ,代入上式可得： SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為 SKIPIF 1 < 0 .
（3）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
當且僅當 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 時等號成立,
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ,
此時 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則點G的坐標為 SKIPIF 1 < 0 .
11.（2022屆河南省中原頂級名校高三上學(xué)期1月聯(lián)考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,過點 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點.當直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為1時,點 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點.
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程；
（2）如圖,若過點 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,且 SKIPIF 1 < 0 ,求四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積的最大值.
【解析】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
由題意可得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根據(jù)對稱性知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形,又 SKIPIF 1 < 0 ,
∴問題可轉(zhuǎn)化為求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,代入 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
記 SKIPIF 1 < 0 ,易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增.
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積的最大值是6.
12.（2022屆浙江省紹興市高三上學(xué)期12月月考）已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點是 SKIPIF 1 < 0 ,如圖,過點 SKIPIF 1 < 0 作拋物線 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線,切點分別是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,線段 SKIPIF 1 < 0 的中點為 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求拋物線 SKIPIF 1 < 0 的標準方程；
（2）求證：直線 SKIPIF 1 < 0 軸；
（3）以線段 SKIPIF 1 < 0 為直徑作圓,交直線 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)拋物線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以拋物線方程 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1） SKIPIF 1 < 0 ,因為 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立上述兩直線方程,得 SKIPIF 1 < 0 點坐標 SKIPIF 1 < 0 ,
又因為 SKIPIF 1 < 0 點為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點,所以 SKIPIF 1 < 0 點坐標 SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以直線 SKIPIF 1 < 0 軸：
（3）因為點 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,圓心 SKIPIF 1 < 0 ,
直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
圓心到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ,半徑 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 時單調(diào)遞減, SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2022屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期綜合測試）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ,離心率為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 兩點,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ,
因此橢圓C的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以MA⊥MB,三角形MAB為直角三角形,
設(shè)d為點M到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離,故 SKIPIF 1 < 0 ,
又因為 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,由于 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,當 SKIPIF 1 < 0 ,即k=0時,等號成立.
因此, SKIPIF 1 < 0 的最大值為32.
14．（2022屆貴州省遵義市高三上學(xué)期聯(lián)考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左?右焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 四點中恰有三點在橢圓C上.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）點P是橢圓C上位于x軸上方的動點,直線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 分別交于G和H兩點,設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,若線段GH的長度小于 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1）由于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點關(guān)于y軸對稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點.
又由 SKIPIF 1 < 0 ,知C不經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 ,所以點 SKIPIF 1 < 0 在C上.
所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
所以橢圓C的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,如圖,過點P作直線 SKIPIF 1 < 0 軸,
分別交x軸和直線 SKIPIF 1 < 0 于M,N兩點.
易知 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,從而 SKIPIF 1 < 0
所以當 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
t
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
+
-
+
-
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0

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新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 圓錐曲線專項重難點突破專題28 圓錐曲線中的范圍和最值問題（2份打包，原卷版+解析版）：

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