2.掌握同類二次根式及合并同類二次根式；
3.掌握二次根式的加減法則，會運用法則進行二次根式的加減運算；
4.能應用運算律及乘法公式熟練地進行二次根式的混合運算.
知識點01 最簡二次根式
我們把滿足①被開方數(shù)不含分母且分母中不含根式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．
知識點02 同類二次根式
1.同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。
2.合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如
知識點03 二次根式的加減
二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.
二次根式加減運算的步驟：
①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；
②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；
③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變.
題型01 判斷、化為最簡二次根式
【典例】（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義進行判斷即可．
【詳解】解：A中，不是最簡二次根式，故不符合要求；
B中，是最簡二次根式，故符合要求；
C中，不是最簡二次根式，故不符合要求；
D中，不是最簡二次根式，故不符合要求；
故選：B．
【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，最簡二次根式．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．
【變式1】（2023春·廣東云浮·八年級?？计谥校┫铝卸胃街械淖詈喍胃绞牵? ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：．的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
.是最簡二次根式，故本選項符合題意；
.的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
.的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
故選：．
【點睛】本題考查了最簡二次根式，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，具備以下兩個條件的二次根式叫最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．
【變式2】（2023春·全國·八年級專題練習）把下列二次根式化成最簡二次根式：
(1) (2) (3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把32寫成16×2，然后化簡；
（2）先把小數(shù)寫成分數(shù)，然后分子分母都乘以2，然后化簡；
（3）分子分母都乘以3，然后化簡．
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【點睛】此題主要考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵．
【變式3】（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）將下列二次根式化成最簡二次根式：
(1)； (2)； (3)（） (4)（，，）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計算方法即可求解；
（2）將小數(shù)化為分數(shù)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計算方法即可求解；
（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計算方法即可求解；
（4）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計算方法即可求解．
【詳解】（1）解：．
（2）解：
（3）解：．
（4）解：．
【點睛】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進行化簡，掌握二次根式的性質(zhì)，二次根式分母有理化的計算方法是解題的關鍵．
題型02 已知最簡二次根式求參數(shù)
【典例】（2023春·全國·八年級專題練習）若二次根式與可以合并，則的值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】B
【分析】把a的值依次代入即可判斷求解．
【詳解】當a=6時，=，不能與可以合并，
當a=5時，=，能與可以合并，
當a=4時，=，不能與可以合并，
當a=2時，=，不能與可以合并，
故選B．
【點睛】此題主要考查二次根式的性質(zhì)，解題的關鍵是熟知二次根式的化簡方法．
【變式1】（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）兩個最簡二次根式與可以合并，則_____．
【答案】5
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即可解答．
【詳解】解：由題意得：
，
∴，
∴，
但當時，，不是最簡二次根式，應舍去，
∴；
故答案為：5．
【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義，理解二次根式的定義是解題的關鍵．
【變式2】（2023春·江蘇·八年級專題練習）如果兩個最簡二次根式與能合并，那么________．
【答案】4
【分析】根據(jù)題意得到，求出a即可求解．
【詳解】解：∵最簡二次根式與能合并，
∴，
解得．
故答案為：4
【點睛】本題考查了最簡二次根式，同類二次根式，解題的關鍵是根據(jù)題意判斷最簡二次根式與是同類二次根式．
題型03 同類二次根式
【典例】（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個進行判斷即可．
【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，不符合題意；
B、與不是同類二次根式，不符合題意；
C、，與是同類二次根式，符合題意；
D、，與不是同類二次根式，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了同類二次根式，解題的關鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式；最簡二次根式的特征：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
【變式1】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先將二次根式化簡為最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同即可．
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，故A不符合題意；
B、與不是同類二次根式，故B不符合題意；
C、與是同類二次根式，故C符合題意；
D、與不是同類二次根式，故D不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查同類二次根式和化簡二次根式，熟練掌握同類二次根式的概念是解題的關鍵．
【變式2】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）若最簡二次根式與二次根式能合并，則m＝____．
【答案】1
【分析】根據(jù)最簡二次根式、同類二次根式的定義解決此題．
【詳解】解：，
若最簡二次根式與二次根式能合并，則．
．
故答案為：1．
【點睛】本題主要考查最簡二次根式、同類二次根式，熟練掌握最簡二次根式、同類二次根式的定義是解決本題的關鍵．
題型04 二次根式的加減運算
【典例】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學?？级＃┯嬎愕慕Y果是____________．
【答案】0
【分析】先化簡二次根式，再根據(jù)二次根式的減法計算法則求解即可．
【詳解】解：，
故答案為：0．
【點睛】本題主要考查了二次根式的減法計算，化簡二次根式，正確計算是解題的關鍵．
【變式1】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）計算的結果是___________．
【答案】0
【分析】先化簡二次根式，再合并同類項即可得．
【詳解】解：原式===0，
故答案為：0．
【點睛】本題考查了二次根式的的加減運算，解題的關鍵是正確化簡二次根式．
【變式2】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習）計算___________．
【答案】/
【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后根據(jù)二次根式的加減計算法則求解即可．
【詳解】解：原式，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二次根式的加減計算，化簡二次根式，熟知相關計算法則是解題的關鍵．
題型05 二次根式的混合運算
【典例】（2023春·浙江杭州·八年級浙江師范大學附屬杭州筧橋實驗中學校考期中）計算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將二次根式化為最簡二次根式，再根據(jù)二次根式加減法法則合并同類二次根式即可；
（2）先利用完全平方公式計算，再去括號，最后合并同類二次根式即可．
【詳解】（1）原式 ；
（2）原式 ．
【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，解題關鍵在于熟練掌握完全平方公式：．
【變式1】（2023春·廣西梧州·八年級統(tǒng)考期中）計算
(1)； (2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再合并同類二次根式即可；
（2）根據(jù)二次根式混合運算的法則求解即可．
【詳解】（1）解：原式；
（2）原式．
【點睛】本題考查了二次根式的運算，屬于基礎題型，熟練掌握二次根式混合運算的法則是解題的關鍵．
【變式2】（2023春·黑龍江雙鴨山·八年級校聯(lián)考期中）計算：
(1)； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)二次根式的運算法則即可求解；
（2）根據(jù)二次根式的運算法則即可求解．
【詳解】（1）．
（2）．
【點睛】此題主要考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟知二次根式的運算法則．
題型06 二次根式中的分母有理化
【典例】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）【信息閱讀】
在進行二次根式運算時，會遇到形如、的式子，可以按如下方法化簡：
；
．
對于，還可以這樣化簡：
．
【問題解決】
利用上述方法解決下列問題：
(1)= ；
(2)化簡：
①；
②．
【答案】(1)
(2)①；②44
【分析】（1）根據(jù)材料的方法即可求解，
（2）①根據(jù)材料的方法：利用平方差公式進行分母有理化即可求解，
②先把每一個加數(shù)進行分母有理化，再找出規(guī)律后面的第二項和前面的第一項抵消，得出答案．
【詳解】（1）解：，
故答案為：．
（2）① ，
②原式=
．
【點睛】本題主要考查了分母有理化，解題的關鍵是找準有理化因式．
【變式1】（2023春·河南許昌·八年級許昌市第一中學?？计谥校╅喿x材料：在進行二次根式的運算時，如遇到這樣的式子，還需做進一步的化簡：
方法一：；
方法二：
這種將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．
解決問題：
(1)選擇你喜歡的一種方法化簡；
(2)下面是甲、乙兩個同學對分母有理化的過程：
甲：
乙：
請你判斷，甲、乙兩個同學的化簡過程（ ）
A．甲、乙都對 B．甲對乙錯 C．甲錯乙對 D．甲、乙都錯
(3)化簡：
【答案】(1)
(2)A
(3)
【分析】（1）根據(jù)乘以有理化因式或根據(jù)平方差公式因式分解化簡計算即可；
（2）根據(jù)（1）中方法進行判斷即可；
（3）根據(jù)方法一，進行分母有理化計算即可
【詳解】（1）方法一：
方法二：；
（2）解：根據(jù)（1）中的方法進行判斷可知，甲、乙都對
故選A；
（3）解：
．
【點睛】本題主要考查了分母有理化，解題的關鍵是找準有理化因式．
題型07 已知字母的值，化簡求值
【典例】（2023春·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）已知，求：
(1)代數(shù)式的值；
(2)代數(shù)式的值．
【答案】(1)代數(shù)式的值為
(2)代數(shù)式的值為
【分析】（1）根據(jù)平方差公式進行計算即可求解；
（2）先提公因式，然后代入字母的值，根據(jù)二次根式的混合運算進行計算即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握完全平方公式，平方差公式是解題的關鍵．
【變式1】（2023春·全國·八年級專題練習）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式進行化簡，再代值計算即可．
【詳解】原式；
∴當時，原式．
【點睛】本題考查二次根式的化簡求值．熟練掌握平方差公式和完全平方公式，正確的進行計算，是解題的關鍵．
【變式2】（2023春·全國·八年級專題練習）已知 ， ．
(1)填空： ， ；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)二次根式的加法法則、乘法法則計算即可；
（2）根據(jù)完全平方公式、多項式乘多項式的運算法則把原式變形，代入計算，得到答案．
【詳解】（1）解：，；
故答案為：，；
（2）解：原式；
∵，，
∴原式．
【點睛】本題考查二次根式的加減運算，乘除運算，同時考查了完全平方公式，平方差公式，熟練掌握相關運算法則，是解題的關鍵．
題型08 比較二次根式的大小
【典例】（2023春·河北邯鄲·七年級邯鄲市漢光中學校考期中）比較大?。篲________6（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】
【分析】由，再根據(jù)即可得出答案．
【詳解】解：
又
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了實數(shù)大小的比較，比較簡單，中考易考題型．
【變式1】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）比較大?。篲_________．（用＞，＝或＜填空）
【答案】＞
【分析】先根據(jù)分母有理化的法則進行計算，化簡為，再根據(jù)實數(shù)比較大小的方法：若，則；若，則；若，則，即可得出答案．
【詳解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，
故答案為：＞．
【點睛】本題考查分母有理化，二次根式的大小比較，實數(shù)的大小比較，平方差公式，掌握相應的法則是解題的關鍵．
【變式2】（2023·全國·九年級專題練習）比較大?。篲__________；____________ ；___________.
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式性質(zhì)比較大小即可得到結論．
【詳解】解：①，
；
②，
；
③，
，
，
，即；
故答案為：；；．
【點睛】本題考查二次根式比較大小，熟練掌握二次根式性質(zhì)是解決問題的關鍵．
一、單選題
1．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）下列根式中是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A．，選項不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B．是最簡二次根式，故本選項符合題意；
C．，選項不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
D．的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，滿足以下兩個條件的二次根式，叫最簡二次根式，①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)或因式．
2．（2023春·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)同類二次根式的概念逐一判斷即可.
【詳解】解：A. 與不是同類二次根式，此選項不符合題意;
B. 與是同類二次根式，此選項符合題意；
C. 與不是同類二次根式，此選項不符合題意；
D. 與不是同類二次根式，此選項不符合題意；
故選：B.
【點睛】本題主要考查同類二次根式，一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式.
3．（2023春·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次根式的運算法則計算判斷即可．
【詳解】A. 不是同類二次根式，無法計算，不符合題意；
B. ，不符合題意；
C. ，符合題意；
D. ，不符合題意；
故選Ｃ．
【點睛】本題考查了二次根式的運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
4．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）下列名式化成最簡二次根式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行求解即可．
【詳解】解：A、，原式化簡錯誤，不符合題意；
B、，原式化簡錯誤，不符合題意；
C、，原式化簡正確，符合題意；
D、，原式化簡錯誤，不符合題意；
故選C．
【點睛】本題主要考查了化簡二次根式，熟知化簡二次根式的方法是解題的關鍵．
5．（2023春·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）若最簡二次根式與能夠合并，則a的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)最簡同類二次根式可以合并，即被開方數(shù)相同即可求解．
【詳解】解：∵最簡二次根式與能夠合并，
∴，
解得：．
故選C．
【點睛】本題考查最簡二次根式的定義，同類二次根式的定義．解題的關鍵是熟知同類最簡二次根式的被開方數(shù)相同．
二、填空題
6．（2021春·廣東東莞·八年級東莞市東莞中學松山湖學校?？计谥校┌鸦癁樽詈喍胃剑Y果是 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：；
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式，掌握二次根式的性質(zhì)是解題關鍵．
7．（2023春·北京朝陽·七年級期末）比較兩數(shù)的大?。? 3．
【答案】＜
【分析】先將兩數(shù)都寫成二次根式的形式，再比較被開方數(shù)的大小即可．
【詳解】解：∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的大小比較，解題關鍵是將它們都寫成二次根式的形式．
8．（2023春·湖北恩施·八年級校考期末）當 時，和兩個最簡二次根式是同類二次根式．
【答案】3
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義列一元一次方程求解即可．
【詳解】解：∵和兩個最簡二次根式是同類二次根式，
∴，解得：．
故答案為3．
【點睛】本題主要考查了同類二次根式的定義，根據(jù)同類二次根式的定義列出一元一次方程是解答本題的關鍵．
9．（2023春·江西南昌·八年級南昌市第三中學?？计谀┮阎?，則的值為 ．
【答案】14
【分析】直接利用完全平方公式將原式變形，進而計算得出答案．
【詳解】解：．
∵，，
∴原式
．
故答案為：14．
【點睛】此題考查二次根式的化簡求值，完全平方公式和平方差公式．正確運用完全平方公式是解題關鍵．
10．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如果與的值互為相反數(shù)，那么的值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)可得，根據(jù)二次根式的非負性可得，，代入所求代數(shù)式，利用二次根式的性質(zhì)計算即可．
【詳解】解：與的值互為相反數(shù)，
，
，，
，，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查相反數(shù)、二次根式的非負性、二次根式的混合運算等，解題的關鍵是根據(jù)二次根式的非負性求出a，b的值．
三、解答題
11．（2020秋·廣東佛山·八年級佛山市華英學校?？计谥校┯嬎泐}．
(1)． (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再計算即可；
（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再計算即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：
【點睛】本題考查二次根式的混合運算，正確計算是解題的關鍵．
12．（2023春·浙江寧波·八年級?？茧A段練習）計算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先將二次根式化為最簡二次根式，根據(jù)二次根式的加減混合運算即可求解；（2）利用完全平方公式和平方差公式即可求解 ．
【詳解】解：（1）；
（2）．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算、乘法公式等知識點．掌握相關運算法則是解題關鍵．
13．（2023春·河南漯河·八年級統(tǒng)考期中）計算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡，進而合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合運算法則計算，進而合并得出答案；
（3）直接利用二次根式的乘除運算法則計算，進而合并得出答案．
【詳解】（1）；
（2）；
（3）
．
【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
14．（2023春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）計算：
(1) (2)
(3) (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化簡各二次根式，再合并即可；
（2）先把除法運算化為乘法運算，再計算即可；
（3）利用平方差公式與完全平方公式先計算乘法運算，再合并即可；
（4）先化簡二次根式與絕對值，再合并即可．
【詳解】（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）．
【點睛】本題考查的是二次根式的加減乘除乘方運算，二次根式的混合運算，熟練的利用乘法公式進行簡便運算是解本題的關鍵．
15．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）（1）當時，求代數(shù)式的值．
（2）當，，求代數(shù)式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用完全平方公式去根號，再代入的值求解即可；
（2）利用完全平方公式變形求值即可．
【詳解】解：（1），
，
故代數(shù)式的值是．
（2） ，，
，，
．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算及完全平方公式的運用，靈活運用完全平方公式計算是解題關鍵．
16．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）【材料閱讀】
把分母中的根號化去，使分母轉化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化．
例如：化簡．
解：．
【問題解決】
(1)若a是的小數(shù)部分，化簡：；
(2)化簡：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）估算出的整數(shù)部分，即可求得a的值，然后把值代入并化簡即可；
（2）利用分母有理化的方法化簡每個二次根式，最后合并同類二次根式即可．
【詳解】（1）解：（1）∵，
∴，
即的整數(shù)部分為2，
∴．
當時，．
（2）解：原式=
=．
【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算，二次根式的混合運算，讀懂題中材料：分母有理化的方法是解題的關鍵．

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初中數(shù)學北師大版（2024）八年級上冊電子課本

7 二次根式

版本： 北師大版（2024）

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