必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知
(1)某養(yǎng)殖場要用100米的籬笆圍成一個(gè)矩形的雞舍，怎樣設(shè)計(jì)才能使雞舍面積最大？(2)某農(nóng)場主想用籬笆圍成一個(gè)10 000平方米的矩形農(nóng)場，怎樣設(shè)計(jì)才能使所用籬笆最省呢？問題　實(shí)例中兩個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是什么？如何求解？
知識(shí)點(diǎn)　重要結(jié)論已知x，y都是正數(shù)．(1)若x＋y＝S(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值___．(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值____．上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大．
學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)
思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)正數(shù)的積為定值，一定存在兩數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值．(　　)
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，則ab≤4．(　　)
關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難
發(fā)現(xiàn)規(guī)律　利用均值不等式求最值時(shí)的注意點(diǎn)(1)x，y一定要都是____．(2)求積xy最大值時(shí)，應(yīng)看_______是否為定值；求和x＋y最小值時(shí)，應(yīng)看____是否為定值．(3)____是否能夠成立．簡記為“一正二定三相等”，三個(gè)條件缺一不可．
反思領(lǐng)悟　通過拼湊法利用均值不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：(1)拼湊時(shí)，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及對等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形．(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)．(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用均值不等式求最值的三個(gè)條件．
反思領(lǐng)悟　用常數(shù)代換法求最值的方法步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))．(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1．(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式．(4)利用均值不等式求最值．
類型3　利用均值不等式解決實(shí)際問題【例4】　如圖，動(dòng)物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．現(xiàn)有36 m長的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長、寬分別設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？
反思領(lǐng)悟　用均值不等式解決實(shí)際問題的步驟(1)理解題意，設(shè)好變量．(2)建立相應(yīng)的關(guān)系式，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化、抽象為最大值或最小值問題．(3)在自變量范圍內(nèi)，求出最大值或最小值．(4)結(jié)合實(shí)際意義求出正確的答案，回答實(shí)際問題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．為了持續(xù)推進(jìn)“喜迎生物多樣性，相約美麗春城”計(jì)劃，某市在市中心廣場旁的一塊矩形空地上進(jìn)行綠化．如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍(斜線部分)均種滿寬度相同的鮮花．已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米．(1)若矩形草坪的長比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值．
[提示]　利用均值不等式，通過恒等變形及配湊，使“和”或“積”為定值．常見的變形方法有拆、并、配．(1)拆——裂項(xiàng)拆項(xiàng)對分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對整式進(jìn)行拆項(xiàng)，為應(yīng)用均值不等式湊定積創(chuàng)造條件．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：利用均值不等式求最值有哪些技巧？
(2)并——分組并項(xiàng)目的是分組后各組可以單獨(dú)應(yīng)用均值不等式；或分組后先對一組應(yīng)用均值不等式，再在組與組之間應(yīng)用均值不等式得出最值．(3)配——配式配系數(shù)有時(shí)為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用均值不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項(xiàng)之和為定值．
閱讀材料·拓展數(shù)學(xué)大視野
上述(3)的幾何意義如圖所示．

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊

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