（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試范圍：
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A．或B．
C．D．或
【答案】B
【分析】根據(jù)分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合，再按照集合的并集運(yùn)算即可.
【詳解】，則，且，解得，
則集合，
則
故選：B.
2．如果復(fù)數(shù)滿足，那么復(fù)數(shù)可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將選項(xiàng)代入條件，利用模的公式進(jìn)行驗(yàn)證.
【詳解】A.時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
B.，則，故B錯(cuò)誤；
C. ，則，故C錯(cuò)誤；
D. ，則，故D正確.
故選：D
3．設(shè)m，n是不同的直線，，是不同的平面，下列說法正確的是
A．若，，則B．若，，，則
C．若，，則D．若，，，則
【答案】C
【解析】由線面的位置關(guān)系，面面平行與垂直的判斷定理逐一判定、排除即可得到答案.
【詳解】在中，若，，則或，故錯(cuò)誤；
在中，若，，，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；
在中，若，，則由面面垂直的判斷得到，故正確；
在中，由，，， 故或，故 錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．有一組樣本數(shù)據(jù)：，，，其平均數(shù)為2，由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：，，，2，那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定有相同的（ ）
A．眾數(shù)B．中位數(shù)
C．方差D．極差
【答案】D
【分析】
根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、方差以及極差的定義，結(jié)合題意，即可判斷和選擇.
【詳解】對A：假設(shè)，，中，有兩個(gè)2，兩個(gè)3，其它4個(gè)數(shù)據(jù)都不相同，且這8個(gè)數(shù)據(jù)平均數(shù)為，那么眾數(shù)為和；
再添加一個(gè)2后，有三個(gè)2，故眾數(shù)為2，眾數(shù)發(fā)生改變，故A錯(cuò)誤；
對B：假設(shè)，，分別為：，滿足平均數(shù)為，其中位數(shù)為；
添加以后，其中位數(shù)為，中位數(shù)發(fā)生改變，故B錯(cuò)誤；
對C：，，的平均數(shù)為，方差；
添加2以后，其平均數(shù)還是，方差，故方差發(fā)生改變；
對D：若是，，的最大值或最小值，因?yàn)槠淦骄鶖?shù)為，故這組數(shù)據(jù)都是2，其極差為，添加2后，極差也是0；
若不是，，的最大值，也不是最小值，添加2后，最大值和最小值沒有改變，極值也不發(fā)生變化，故D正確.
故選：D.
5．函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)奇偶性和的符號(hào)，使用排除法可得.
【詳解】的定義域?yàn)镽，
因?yàn)?br>，所以為偶函數(shù)，故CD錯(cuò)誤；
又因?yàn)?，，所以，故B錯(cuò)誤.
故選：A
6．已知函數(shù)，設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題可得函數(shù)關(guān)于直線，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，即得.
【詳解】∵函數(shù)，
∴函數(shù)關(guān)于直線，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，
∴，
∴.
故選：B.
7．已知函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）．
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可討論時(shí)，可看出在上單調(diào)遞增，而在上不是增函數(shù)，顯然不合題意；時(shí)，可看出在上單調(diào)遞減，從而得出，解出a的范圍即可．
【詳解】解：①時(shí)，在上是增函數(shù)；
∴在R上是增函數(shù)；
顯然在上不是增函數(shù)；
∴的情況不存在；
②時(shí)，在上是減函數(shù)；
∴在R上是減函數(shù)；
∴，解得；
綜上得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
故選：C．
8．如圖，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，點(diǎn)在上底面（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐外接球表面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由條件確定球心位置，引入變量表示球的半徑，由此確定球的表面積及其最大值.
【詳解】因?yàn)闉榈妊苯侨切?，?br>所以的外接圓的圓心為的中點(diǎn)，且，
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，則平面，
設(shè)三棱錐外接球的球心為，由球的性質(zhì)可得在上，
設(shè)，，外接球的半徑為，
因?yàn)?，所以?br>即，又，則，
因?yàn)椋?br>所以三棱錐外接球表面積的最大值為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見幾何體的外接球半徑求法：
（1）棱長為的正方體的外接球半徑為；
（2）長方體的長，寬，高分別為，則其外接球的半徑為；
（3）直棱柱的高為，底面多邊形的外接圓半徑為，則其外接球的半徑為.
多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）
9．已知向量，，且，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．向量與夾角是D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，則，
且，則，解得，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，則，故B正確；
因?yàn)?，則，故C正確；
因?yàn)?，則，故D正確；
故選：BCD
10．若，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】BCD
【解析】對于選項(xiàng)A B C：利用基本不等式化簡整理求解即可判斷，對于選項(xiàng)D：利用作差法判斷即可.
【詳解】對于選項(xiàng)A：若，
由基本不等式得，
即，
得，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
所以選項(xiàng)A不正確；
對于選項(xiàng)B：若，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，
即時(shí)取等號(hào)，
所以選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C：由，
，
即，
由基本不等式有：
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，
即時(shí)取等號(hào)，
所以選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D：，
又，得，
所以，
所以選項(xiàng)D正確；
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
11．如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（ ）
A．三棱錐的體積是定值
B．過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面是六邊形
C．存在唯一的點(diǎn)，使得
D．與平面所成的角為定值
【答案】AC
【分析】利用，結(jié)合的面積為定值，點(diǎn)到平面的距離為定值，可判斷A；平面的基本性質(zhì)作出面與的交點(diǎn)，利用正方體的性質(zhì)及線線平行、線面平行、中位線性質(zhì)判斷B；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，可得，進(jìn)而判斷C；到平面的距離一定，而長度隨運(yùn)動(dòng)會(huì)變化，結(jié)合線面角定義判斷D.
【詳解】因?yàn)槭蔷€段上的動(dòng)點(diǎn)，而且，
所以的面積為定值，又點(diǎn)到平面的距離為定值，
，所以三棱錐的體積是定值，A正確；
過作分別交，的延長線于，，連接，，如圖，
為，的交點(diǎn)，為，的交點(diǎn)，所以截面為五邊形，B錯(cuò)誤；
在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，，而為中點(diǎn)，
所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，故存在唯一的點(diǎn)使得，C正確；
由，平面，平面，則平面，
所以到平面的距離一定，而長度隨運(yùn)動(dòng)會(huì)變化，
故與平面所成的角不為定值，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題A選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于，利用線線平行得到點(diǎn)到的面積為定值，從而得解.
填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）
12．某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊(duì)共有人，他們的年齡分別是，，，，，，，，則這人年齡的分位數(shù)是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案.
【詳解】把這個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得：，，，，，，，，
，所以這人年齡的分位數(shù)是．
故答案為：．
13．我國古代有一種容器叫“方斗”，“方斗”的形狀是一種上大下小的正四棱臺(tái)（兩個(gè)底面都是正方形的四棱臺(tái)），如果一個(gè)方斗上底邊長為4分米，下底邊長為2分米，高為3分米，則該方斗的外接球的表面積為 平方分米．
【答案】
【分析】首先根據(jù)棱臺(tái)的對稱性得到外接球的球心所在位置，根據(jù)垂直關(guān)系列出方程組，求解方程組解得外接球半徑，最后求出外接球面積即可.
【詳解】由題意，方斗的示意圖如下：設(shè)棱臺(tái)上底面中心為，下底面中心為，
由棱臺(tái)的性質(zhì)可知：外接球的球心落在線段上，
設(shè)外接球的半徑為，，則，
因?yàn)榇怪庇谏舷碌酌妫?br>所以即，
所以即，
聯(lián)立解得，,
所以該方斗的外接球的表面積為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.
14．在銳角中，角所對的邊分別為為的面積，且，則的取值范圍 .
【答案】
【分析】利用三角形面積公式與余弦定理,可得，再根據(jù)同角關(guān)系式可得， ，然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡可得出，結(jié)合條件可得的取值范圍，進(jìn)而即得.
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，即，
由余弦定理得：，
所以，又，
所以，
解得：或，
因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
由正弦定理得：
，
因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，即,
所以，
所以，
所以，
所以，，
故.
故答案為：.
解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分）
15．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱，當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)y＝f(x)在上的表達(dá)式；
(2)求方程f(x)＝的解．
【答案】(1);(2)∴x＝－或－或－或．
【詳解】試題分析：解：(1)當(dāng)x∈時(shí)，A＝1，＝－，T＝2π，ω＝1.
且f(x)＝sin(x＋φ)過點(diǎn)，
則＋φ＝π，φ＝.
f(x)＝sin.
當(dāng)－π≤x＜－時(shí)，－≤－x－≤，
f＝sin，
而函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱，
則f(x)＝f，
即f(x)＝sin＝－sin x，－π≤x＜－.
∴
(2)當(dāng)－≤x≤時(shí)，≤x＋≤π，
由f(x)＝sin＝，
得x＋＝或，x＝－或.
當(dāng)－π≤x＜－時(shí)，由f(x)＝－sin x＝，sin x＝－，
得x＝－或－.
∴x＝－或－或－或.
考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與解析式
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)來結(jié)合圖像來得到參數(shù)的求解，同事解三角方程，屬于基礎(chǔ)題．
16．為了解某農(nóng)場的種植情況，該農(nóng)場的技術(shù)人員對種植出來的水果進(jìn)行抽樣檢測，將測得的水果重量分成六組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.
（1）估計(jì)該農(nóng)場的水果重量的平均數(shù)(同一組當(dāng)中的水果重量用該組的中間值代替)；
（2）從樣本中重量不小于克的水果中任取個(gè)，求至少有個(gè)水果的重量不小于克的概率.
【答案】（1）18.45；（2）.
【分析】（1）取中間值與該組頻數(shù)相乘，除以總數(shù)，即得平均數(shù).
（2）列出所有基本事件，找出所求事件包含多少個(gè)基本事件，按照古典概型概率計(jì)算公式求解即可.
【詳解】解：（1）設(shè)該農(nóng)場的水果重量的平均數(shù)為，則
（2）重量不小于克的水果有個(gè)，記為
其中重量不小于克的水果有個(gè)，記為
從中任取個(gè)，有
，共種情況
至少有個(gè)水果的重量不小于克的有
，共種情況
則至少有個(gè)水果的重量不小于克的概率
【點(diǎn)睛】有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.
17．如圖，已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，平面平面，，，分別是，，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）若是線段上一點(diǎn)，求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2） ．
【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理，證出平面．在中根據(jù)中位線定理，證出，從而平面，結(jié)合面面垂直的判定定理，可得平面平面；
（2）根據(jù)線面平行判定定理，得到平面，推出三棱錐的體積等于三棱錐的體積．再由面面垂直的性質(zhì)證出點(diǎn)到平面的距離等于正的高，算出的面積，利用錐體體積公式算出三棱錐的體積，即可得到三棱錐的體積．
【詳解】（1）平面平面，平面平面，平面，
平面，
又中，、分別是、的中點(diǎn)，
，可得平面
平面，平面平面；
（2），平面，平面，
平面，
因此上的點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
，
取的中點(diǎn)，連接、，則，
平面，平面，，而 ,
于是，
平面平面，平面平面，
由題意知 , 是正三角形，則,是正三角形，
點(diǎn)到平面的距離等于正的高，即為，
因此，三棱錐的體積．
18．在中，角所對的邊分別為，已知．
(1)若的外接圓半徑為，且，求；
(2)若，求銳角的面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由已知及正弦定理得到，然后據(jù)（1）的條件得到，進(jìn)一步可得到，最后使用余弦定理解出；
（2）先由已知及是銳角三角形，得到，再對任意的構(gòu)造滿足題目條件且面積等于的，即可得到的面積的取值范圍是.
【詳解】（1）由及正弦定理得.
故，得.
所以，知.
記的外接圓半徑為，則，且，故.
又有，
所以，即.
故，
解得.
（2）我們已有，記的外接圓半徑為，則.
是銳角三角形當(dāng)且僅當(dāng)，即，故的范圍是.
又因?yàn)?br>.
故由的范圍是，知的范圍是，所以的范圍是.
而，所以的面積的取值范圍是.
19．如果函數(shù)的定義域?yàn)?，且存在?shí)常數(shù)，使得對定義域內(nèi)的任意，都有恒成立，那么稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”.
(1)已知具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，，求在的最大值；
(2)已知定義在上的函數(shù)具有“性質(zhì)”，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)給定的性質(zhì)，求出函數(shù)在的解析式，再分類討論求出最大值.
（2）根據(jù)給定的性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式，并分析函數(shù)性質(zhì)作出圖象，令，把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程實(shí)根分布求解.
【詳解】（1）由具有“性質(zhì)”，得對恒成立，則函數(shù)是上的偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，最大值為；當(dāng)時(shí)，最大值為.
（2）函數(shù)具有“性質(zhì)”，則，即，
而當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，
于是，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，
在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，
在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，函數(shù)的圖象如圖，
令，顯然當(dāng)時(shí)，方程無解，當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)解，
當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)解，
函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)，則在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
因此，解得，
所以的取值范圍為.

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